三种曲线拟合方法的精度分析

三种曲线拟合方法的精度 L, 曲线拟合是皂丝圈宁的曲线光滑方法它根据给定的离散点?建立一个适当的解析 式,使所表示的连续曲线反映和逼近已知点构成的特征多边形.地形图上的曲线具有多种类 型.例如境界,道路,等高线和水网线等.这些曲线图形多数是多值函数,呈现出大挠度,连续 拐弯的图形特征.在传统的测绘工作中,各种曲线是根据实测点位由人工联接勾绘而成.随 着测绘自动化及数字化技术的不断发展,野外地面测量仪器中的经纬仪.已被全站仪逐渐取 代.而在平板仪上进行的地形图清绘整饰工作,则可在微机上借助交互式图形技术完成.这 一 进步不仅可增加工作效率,缩短生产周期,减低劳动强度,也提高了图形质量. 野外实测数据确定的特征多边形,需在计算机图形编辑中采用一定的曲线线跫对其作曲 线拟合.本文对三种曲线拟台线型——圆曲线,二次B样条曲线,三次 B样条曲线的理论拟 台精度展开讨论.并在实验中得到验证. l三种曲线拟合方法 1.1圆曲线 平面上三点;(?,y1),B(?.),(南,ya)}其圆弧方程++/)X+Ey+F =0.过上述三点作圆弧(图1).当 I丑yl1f ?的顶点.二次B样条的一阶导数为: 小l.B.且 B o?t?l 0?t?1 其端点性质如下: P(o)一?(Bo4-且)}P(1)=告(B】+岛); (0)一BI一&}(1)=岛一B} P(专)吉&+}且+吉岛=1{吉[P(o)+P(1)]+蜀}; (音)一{(岛一Bo)一P(1),P(0) 以上性质说明二次B样条曲线的起点P(0)在B特征多边形第一边的中点处,且其切向 量且一&即为第一边的走向;终点P(1)在第二边的中点处,且其切向量B:一B为第二边 的走向.而且P(1/Z)正是凸P(O)昌P(1)的中线B,M的中点,在P(1/2) 处的切线平行于 P(O)P(1)(图2). 图2二次B样条拟台特征多边形 上海蚨道大学第17告 1.3三次B样条曲线 三次B样条的分段函数式为 ..c一 霎c一-,d一c+一一,,c一=s,z=.,,z,s 三次B样条曲线的矩阵为: 3 P()=?.3(f)BL= J一口 其一阶导数为: [产1]?百1? (t)一[产t1]?告? 一 l3—3l 3—630 , 3030 1410 一 l3—3l 2—42O 一 10l0 昂 目 岛 鼠 鼠 且 岛 且 0?t?1 0?t?l 三次B样条曲线的端点性质如下: P(0)=音(岛+4且+岛)一{(堡{)+号且} P(1)=吉(且+4B+鼠)={(鱼{)+导局; (0)一百1(岛一Bo);(1):I(B一Bi) 以上性质说明:三次B样条曲线起点P(0)落在反目B的中线/3.研上 距/3的三分之 一 处,该点的切向量(0)平行于厶‰矗岛的底边/3.Bz,长度为其一半;终 点P(1)处的情况 与此相对应(见图3). if一 } 图3三次B拌条拟合特征多边形 2三种拟合曲线的比较 2+l圆曲线与二次B样条曲线的比较 取平面上三点/3-,马…/3井分两种情况进行比较 一 一 一 第3期许恺.三神曲拽拟音方法的情虚分析 (1)当瓦=瓦瓦时(见图4),过岛,B,岛作圆曲线岛Q最岛,其与特征多边 形有两 处偏离值最大,即QR与c,,且QR=UV.而二次B样条曲线RTU与特 征多边形有一处偏 离值最大,即B?则. 0??,,7j,一— ,/I/ /,?L—r /. s 图4圈曲线与二趺B样条比较(1) QR=s 蜀T={(2r?si譬) 式中,为圆弧半径l0为弦届置所对圆心角l2,6为弦BoBz所对圆心角.由此即可知. 器=>1(>0) (2)鼠晶?蜀岛时,随着岛蜀与蜀岛的差值加大,QR也加大,而B,T值是一定值(见 图5).由此可得出二次B样条曲线拟合优于圆曲线拟合的结论. j,一0 /..7. 一\ ,}l一 ? I1 形图等高线上选定点位组成特征多边形. 分别用圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线对等高线特征多边形进行曲线拟合,测出 拟合曲线与特征多边形的偏离值.共50个观测值,对测中误差为0. 05rnm,取偏离值的平均 值列于附表. 附裹兰莫拟台曲线平均偏差比较裹哪 由上分析可得出如下结论: 1?圆曲线拟合特征多边形时,其偏差值要太于=次B样条曲线的拟合偏差.特征多边形 相邻两边的长度相差越大.上述两种曲线拟合偏差之差越大. 2一二次B样条曲线的拟合误差是三次B样条曲线拟合误差的四分之三. 3一对特征多边形作曲线拟合时,在圆曲线.二次B样条,三次B佯条中使用二次B样条 参考文献 1盒延赞.计算机图形学.杭州t浙江大学出版杜.1988165,167 2许隆文.计算机绘图.北京机槭工业出版杜.1989,334,338 3孙家广.扬长贵.计算机图形学.北京清华大学出版杜.1994:288,2g0 AnalysisofAccuracyofThreeCurve—FittingMethods XHKdi (Dept?ofCivilE.ShanghaiTiedaoUniv) .. Abst喇{reecurve—fittigmethodsareanalyzedandcornpared . ThequadraticB ph”re岛ekcted.heopjmlJmcurvefittingforimp?Vingmapaccuracyoftopo graghical drawing?andthey8reverifiedbexperiments. dsltopographicmap,eurve—fittig,fittingaccuraey ,BsDlines