【教学论文】圆的切点弦方程（浙江省温州中学 董玲臣）【教师职称评定】

【教学论文】圆的切点弦方程（浙江省温州中学 董玲臣）【教师职称评定】 圆的切点弦方程 222 1.,(,)已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。xyrMxy，,00 2222 【结论1】过圆上一点的切线方程xyrMxyxxyyr，,，,(,):。0000 【方法】1.设出直线，再求解; 2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 2222【问题】对于坐标平面内任一点，直线L:与圆O:xx，yy,rM(x,y)x，y,r0000究竟是什么关系呢,下面我们进行探究: 一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。 二、当点M在圆O外时， 1.直线L不是圆O的切线，下面证明之: 2r22d,?圆心O到L的距离为,由在圆O外,得 M(x,y)x，y,r000022x，y d,r?，故直线L与圆O相交. 2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢? y首先研究L的特征: ,y)M(xL00易知:OML。 ,A 2r222 ？rxy,,，,0022oxxy，00B 2(N为L与OM的交点) ？,,OAONOM,图1从而OAMA，MA为圆的一条切线， , 故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上(另证)， 如图1，设过点M的圆O的两条切线为L,L,切点分别为A、B, 12 22则直线MA:，直线MB:. xx，yy,rxx，yy,r2211 ?点M的坐标满足直线MA与MB的方程, (x,y)00 2,xx，yy,r,1010?, ,2,xx，yy,r2010, 2由此可见A、B的坐标均满足方程xx，yy,r， 00 由于两点确定一条直线 2?直线AB的方程为xx，yy,r。 00 所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆O的切线。 【注】上述点M、直线L实质上是射影几何中的极点和极线。 特别的，当M在圆上时，极线即为切线。 三、当点M在圆O内时， 1.直线L也不是圆O的切线。下面给出证明: 2r22d,?圆心O到L的距离为，由在圆O内,得 M(x,y)x，y,r000022x，y ?d,r 故直线L与圆O相离. y2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢? LLP0首先研究L的特征: A由上述探讨过程易知， M直线LOM， ,oxB此外，L一定过点P(P为两切线的交点，ABOM)， ,从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。 图2事实上(另证)， xy00k,,k,?直线L的斜率，而直线OM的斜率， lomyx00L,OM? 一方面，过点M与OM垂直的直线方程为 (x,x)x，(y,y)y,0,L00000 22xx，yy,x，y即 0000 2,xx，yy,r00,另一方面，将直线OM与L的方程联立， y,0y,x,x0, 22xryr00得到它们的交点P的坐标为， (,)2222x，yx，y0000 22xryr200由(二)可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为， ,x，,y,r2222x，yx，y0000 22xx，yy,x，y即，即为直线的方程。 L00000 由此我们看到?，直线L是由点M确定的。 LL0 另外，直线L是过点M的弦(除O，M的弦)的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹， 证明如下: 2,,,,Pxy(,),设由(二)可知动弦AB的方程为， xxyyr，, 22,,,,xy,又因为点M在AB上，则xxyyr，,，以x，y分别代，则xx，yy,r。 0000