四元数数据投影DOA跟踪算法

四元数数据投影DOA跟踪算法 *陶 军,虞 飞,林智勇 (空军航空大学航空控制系 长春 130022) 摘 要: 本文研究了基于两分量简化电磁矢量传感器阵列的多个信号波达方向(DOA)跟踪问题，提出了 一种基于四元数模型的数据投影(QDPM)跟踪算法。此算法对初始化条件引起的波动具有很强的鲁棒性，并 且具有比常规DPM算法更快的收敛速度，尤其在信号角度变化较剧烈时体现得更明显。此外，在低信噪 比的情况下，QDPM算法比DPM算法具有更高的DOA跟踪精度。仿真实验验证了算法的有效性。 关键词: 电磁矢量传感器阵列;四元数;波达方向;子空间跟踪;信号处理 中图分类号: TP 391.1 DOA Tracking Algorithm Based on Quaternion Data Projection Method TAO Jun，YU Fei， LIN Zhiyong (Aviation University of Air Force, Changchun 130022, China) Abstract:The problem of direction-of-arrival (DOA) tracking for multi-signals is researched based on simplified polarization vector-sensor array, and a novel quaternion data projection method (QDPM) is proposed. The proposed algorithm has high robustness to the undulate phenomenon arisen from the initialization, and converges faster than the conventional DPM method, especially when the DOA is changing drastically. In addition, the QDPM algorithm shows a higher tracking precision than DPM algorithm at low signal-to-noise ration (SNR). Simulation results are finally shown to verify the efficacy of the proposed algorithm. Keywords:Electromagnetic vector-sensor array; quaternion; direction-of-arrival (DOA); subspace tracking; signal processing 1 引言 矢量模型更有利于矢量传感器阵列的信号 处理。 电磁矢量传感器具有极化敏感特性，因近年来，基于四元数模型的矢量传感器而具有比传统的标量传感器更优越的性能。[1-5]。阵列信号处理已经得到了长足的发展基于电磁矢量传感器阵列的数学模型目前文献[1-3]已经成功地将MUSIC算法和有两种:一种是传统的复数域长矢量模型，ESPRIT算法引入到四元数框架下，得到了它是将各个相互垂直的天线分量的输出数优于长矢量模型的估计性能，这些算法的一据按照阵列空间维数展开排列，从而形成一个共同特点是都用到了静态数据协方差矩个长的数据矢量，故称之为长矢量数据模阵的特征分解。由于实际应用中，目标(如型。此模型的优点是可利用复数矩阵代数方飞机等)通常是移动的，需要对其DOA进行法进行逐个分量处理，但由于该模型没有考准确的跟踪估计。为了解决DOA跟踪问题，虑矢量传感器内部各个天线分量的垂直关[6-10]近年来，子空间跟踪算法得到了广泛的系，而是简单的将所有分量的输出数据排成研究。这些算法利用当前时刻接收数据对先一个列矢量，因此它破坏了各分量输出数据前估计的子空间进行更新，具有较小的运算[1]本身所具有的矢量结构;另一种是四元数量。目前国内外对子空间跟踪类算法的研究模型，它将每个阵元的各分量接收数据合成主要是基于标量传感器阵列，而基于矢量传为一个四元数，突破了传统的基于复数域长感器阵列的跟踪问题研究相对较少。文献矢量模型的局限性，利用四元数的正交特性[11]研究了利用叉乘(Cross Product)算法对很好地考虑了信号分量之间的垂直关系，从电磁波的跟踪问题，但该方法仅适用于单信而对矢量传感器阵列进行了更全面的描述。号源情形。 在某些方面，四元数模型比基于复数域的长 *通信作者:虞飞 yufei19871128@163.com 针对上述问题，本文提出了一种基于四个复数合成为一个四元数。下面，将上述单元数模型的数据投影(QDPM)跟踪算法，实个两分量矢量传感器扩展到矢量传感器阵现了利用矢量传感器阵列对多个信号的列情形。设上述均匀线阵以坐标原点上的阵DOA进行跟踪。此算法对初始化条件引起 元为参考阵元，则整个阵列的四元数空间响的波动具有很强的鲁棒性，并且具有比常规 应达式为 DPM算法更快的收敛速度，尤其在信号角 (5) zq()(,,)()()tpst,,,,,s度变化较剧烈时体现得更明显。此外，在低T式中，为阵列的q()[(),,()],,,,qqL1信噪比的情况下，QDPM算法比DPM算法T域导向矢量，这里“”表示矩阵的转空(),具有更高的DOA跟踪精度。 置。为第个阵元的空间相移因子，且 lq(),l2 阵列的四元数接收模型 jl(1),, (6) qelL(),1,,,,,l 2,假设均匀线性阵列(ULA)由L个沿轴y其中，表示相邻阵元间接收信,,sin,,,正方向排列的电磁矢量传感器组成，每个阵是信号的波长，表示两号的相位延迟，,, 元采用沿轴严格正交的电偶极子对，在xy,个相邻阵元的间距。 空间同一点处放置，同时接收空间中和yx考虑()个远场、窄带完全极化电KKL, 方向的电场分量，则此两分量简化矢量传感磁信号从不同方向入射到均匀线性阵列，同 [4] 器的空间响应矢量为时考虑测量(接收)噪声的影响，则阵列输出 矢量的四元数模型为 E，，x(,,,),,,,h,,,KEy，，zqn()[(,,)()]()()tpstt,，,,,,, (1) kkkkk (7) ,j,1kcoscossin,，，sine，，,,,,,,,,，Asn()()tt,,cossincoscos,,,，，,，， 式中，其中，(从Z轴测量)和,,,,,(2,2] 为Aqq,[(,,)(),,(,,)()]pp,,,,,,,,1111KKKK分别表示入射波的俯仰角和方位,,,[0,2) 角;和为其极化参数。,,,[0,2),,,,,[,)LK，阵列的维四元数方向矩阵，且为了后面分析方便，现固定所有信号的方位中包含了信号的角度和极化信p(,,),,,kkk 角。 ,,90TK，1息。为信号的维矢s()[(),,()]tstst,K1考虑一个窄带、远场电磁横向极化信号c(2),,，jtk,在各向同性、均匀介质中传播，则和y轴xstpte()(),,k量，其中表示第个kkk 方向上的电场强度分量分别为 k信号的复包络，表示第个信号的功率，pk (2) ztEstst()()cos(),,,,xx 是零均值单位方差的复随机过程，表,()tckj,ztEstest()()cossin(),,,, (3) yyk0,2,示波的传播速度，是第个信号在,，,k式中，是信号的复包络。将这两个st() 之间均匀分布随机相位。方向上的电场分量合成为一个四元数，即 T1L，为阵列四元数加n()[(),,()]tntnt,,1Lzt()，，xztztizti()()()1,，,,,T,,sxyzt()，，性噪声矢量，其中ntintnt()[1]()(),y，，llxly，， ,,cos，，l表示第个矢量传感器的四元数加性噪声， (4) ,1()ist,,,,j,cossine,,，，y而和分别为和轴方向上的复nt()nt()xlylx,pst(,,)(),,, 数加性噪声分量。 式中，是一个四元数，将四元p(,,),,, 数域记为“”。通过上述方式，我们将两 3 基于四元数模型的数据投影(QDPM)跟。对的更新计算包基向量，记为U()tU()tss踪算法 括数据压缩和压缩矩阵正交化两个步骤，即 (11) TU()(1)tRt,,本文提出的QDPM跟踪算法是通过四ts (12) UT()orthnorm{()}tt,元数矩阵的QR分解，来获得个主特征向Ks LK，量，亦即信号子空间，使得在子空间更新过这里，可以看作是一个L，1T()t, 程中，各子空间向量之间的正交性得以保维数据矢量与一个维的压缩数据K，1z()t 持，从而保证了DOA估计的精度。 矢量之间的互相关矩阵，而这个压缩数据矢[12]LL，引理 设为一个对称非负R,t量为 定方阵，设为,,,,,,,,,,011KKL， (13) rUz()(1)()ttt,,s 其个特征值，而为其相应的特征Luu,,1LLK，通过数据压缩过程，我们将T()t,向量。考虑LK，维矩阵序列，定义{()}UtsK，1和存入到数据存储空间，而不用rt(),迭代式 像一般的子空间类算法一样需要存储数据 (8) URU()orthnorm{(1)}1,2,ttt,,,stsLL，协方差矩阵和阵列接收数据R,torthnorm其中，“”表示通过复数域QRL，1，在DOA跟踪算法中，其节省的z()t,分解或改进的Gram-Schmidt正交化等方法 数据存储空间是很可观的。压缩矩阵的正交H实现正交化。如果矩阵Uuu(0)[,,]sK1化的目的是确保在子空间的更新过程中，各非奇异，则 子空间向量之间的正交性能够得到保持，以lim()[,,]Uuut, (9) sK1,,t保证DOA跟踪估计的精度。综上分析可到 H如下的QDPM算法: 其中，“”表示复矩阵的共轭转置(), t,1,2,对 运算。文献[6]通过一种自适应处理实现了引 (1) 计算压缩数据矢量理中的正交迭代过程: ; rUz()(1)()ttt,,sUIRU()orthnorm()(1),1,2,ttt,，,,,,,sLts (2) 计算互相关矩阵 (10) ; TUzr()(1)(1)()()tttt,,,，,,s,其中，是一个小标量参数，称为步长(3) 对互相关矩阵进行QR分解，即 L因子，表示维的单位阵。在阵列信号处IL; TQR()()()ttt,LL，理中，引理中的非负定方阵为阵列R,tK(4) 取正交矩阵的前列向量，Q()t接收数据的协方差矩阵，则为信号子U()ts构造的矩阵即为信号子空间的更新U()ts空间在时刻的更新值。对的选择不同，tRt值; 我们得到的子空间跟踪算法也就不同了。本[3](5) 通过四元数域的ESPRIT算法估文的基于四元数模型的数据投影方法计出信号在时刻的DOA; t (QDPM)选择采用阵列在时刻的瞬时接收t算法初始化:根据引理可知，只U(0)s数据的协方差矩阵来代替，即RtK要是由个线性无关的列向量构成的矩阵LL，，但应注意，此时。 Rzz,()()ttR,tt即可，只是收敛速度不同。一般可以设 LL，QDPM算法主要是通过维的瞬时，式中表示单位矢量，Uee(0)[,,],esK1iLK，接收数据协方差矩阵来实现对维信Rt除了第i个元素为1外，其他都为0。 号子空间的跟踪。在每一次迭代中，我们可需要注意的是，QDPM算法中的各种运以更新计算出当前时刻信号子空间的一组算都是四元数值之间的运算，不同于DPM 算法中的复数域运算，而在计算量方面，虽 然四元数比复数的计算量大，但是，在 QDPM算法中，四元数矩阵，和U()tz()ts 的行数都只是DPM算法中对应矩阵分T()t 量行数的一半，因此，QDPM算法的计算复 2杂度与DPM算法一样，仍为。在第OLK() 01,,,(2)步中小标量参数满足，称为遗, 忘因子，可以看出，遗忘因子越大，前一, 时刻信号子空间的估计值对当前时刻信号,,0.01(a) 子空间估计起到的作用越弱，反之作用越 强。 4 仿真实验 考虑一个均匀线性矢量传感器阵列由5 个排列在轴上的二分量电磁矢量传感器y 构成，相邻两个阵元的间距取为波长的一 ,,,/2半，即:。考虑两个等功率窄带独 立、完全极化电磁横向(TEM)平面波的信号 源入射到上述阵列，且阵列对空间信号单次,,0.1 (b) 采样，加性噪声假设为零均值高斯白噪声， 信噪比SNR定义为:，SNR10lg(/),PPPsns 和分别为信号和噪声的平均功率。 Pn 实验1 遗忘因子,对QDPM跟踪性能的 影响 假设两个信号相对于阵列初始DOA 为:。信号源移动的角度变化,,[3040] 律分别为:，,,,，300.05t1 。两信号的极化参数(,,,),,，，400.05t2 分别为:，。快拍数为300(50,30)(30,45),,0.5(c) 次。信噪比取为SNR=15dB。图1中(a)、(b)、图1 QDPM对两个信号DOA的跟踪情况 ,,0.01,,0.1(c)、分别为遗忘因子取，，比较图1的三组仿真图可以看出，遗忘,,0.5时QDPM算法对两个信号DOA跟踪,因子越小，算法跟踪过程越稳定，且随着 快拍数增大，跟踪曲线的波动越来越小，但曲线。 此时跟踪受初始化条件的影响越大，导致算 法的收敛速度下降。而随着遗忘因子的逐渐 增大，算法跟踪的稳定性有所下降，且跟踪 估计值相对于实际DOA的偏差随着快拍数 的增加并没有明显的收敛，波动较大，但此 时算法的初始收敛速度加快了。这是因为， ,遗忘因子越小，前一时刻对信号子空间的 跟踪结果在当前时刻迭代中的作用越大。 实验2 初始化条件对跟踪性能的影响 假设两个信号源相对于阵列的初始 DOA为:。信号源移动的角,,[3040] 度变化律分别为:(平稳时,,,，300.05t1 ,,,，4010sin100t变信号)，(周期变化，，2 信号)。两信号的极化参数()分别为:,,, ，。采样次数(快拍数)为(50,30)(30,45) ,,0.150次。遗忘因子，信噪比取为(c) ROST算法 [13]SNR=15dB。基于QDPM算法、DPM算法图2 三种跟踪算法的初始性能比较 [14]和秩-1子空间跟踪(ROST)算法分别进行从图2的仿真结果可以看出，在相同的仿真实验，图2中给出了DOA估计随快拍初始化条件下，QDPM算法的波动最小，并 且收敛总体最快(在第15次快拍时基本收敛数的变化曲线。 了)，这说明QDPM算法对初始化条件引起 的波动具有很强的鲁棒性，而DPM算法和 ROST算法的初始波动范围很大，在收敛性 方面，DPM算法在第25次快拍时才达到收 敛，ROST算法虽然在平稳时变信号情况下 的收敛很快，但是在角度变化较剧烈(如: 周期时变信号)的情况下其收敛性明显不如 前两种算法。 实验3 DOA跟踪精度的比较 图3中给出了三种算法在跟踪区间内的 (a) QDPM算法 DOA估计随快拍数的变化曲线，除了快拍 数取300外，所有仿真条件同实验2。由图 3的三组仿真曲线可以看出，当信噪比与遗 忘因子一定时，随着信号源方向的改变，三 种算法都能实现对目标信号DOA的成功跟 踪。在平稳时变信号的情况下，三种算法的 跟踪精度相差不多。但是当角度变化较剧烈 (如:周期时变信号)时，可以看出QDPM算 法对DOA的跟踪精度明显高于另外两种算 法，DPM算法主要体现在当两个目标的 DOA接近时跟踪的误差比较大，而ROST (b) DPM算法 算法的跟踪曲线总体滞后于实际的DOA变 化曲线，其跟踪误差显然最大。 (a) QDPM算法 图4 DOA估计的RMSE随信噪比变化曲线 从图4的仿真结果可以看出，随着信噪 比的增加，这两种算法DOA估计的RMSE 都是逐渐减小的，说明其跟踪性能越来越 好。在同一信噪比条件下，QDPM算法的 RMSE曲线始终位于最下方，这说明，此时 QDPM算法的跟踪精度高于DPM算法和 ROST算法，尤其在低信噪比情况下，这种 优势更明显。 5 结论 本文基于两分量简化矢量传感器阵列 (b) DPM算法 的四元数时域信号模型，提出了一种基于四 元数模型的数据投影(QDPM)DOA跟踪算 法，实现了利用矢量传感器阵列对多个信号 的DOA进行跟踪。仿真结果表明:QDPM 算法对初始化条件引起的波动具有较强的 鲁棒性，在低信噪比的情况下，QDPM算法 对DOA的跟踪精度明显高于常规DPM算 法。因而，QDPM算法非常适合于信噪比很 低以及对收敛速度要求较高的场合下对快 变信号方向的跟踪。 参 考 文 献 (c) ROST算法 [1] Miron S, Le Bihan N, Mars J. 图3 三种跟踪算法的跟踪精度比较 Quaternion-music for vector-sensor array processing[J]. IEEE Trans. on Signal Processing, 为了更直观的比较上述三种跟踪算法 2006, 54(4):1218-1229. 的跟踪精度，图4中给出了三种算法在跟踪 [2] Le Bihan N , Miron S, Mars J. MUSIC 区间内DOA估计的均方根误差(RMSE)随 algorithm for vector-sensors array using 信噪比的变化曲线，除了信噪比外，所有仿 biquaternion[J]. IEEE Trans. on Signal 真条件同实验2。这里取跟踪区间为 t,[25,300]，以消除初始化对跟踪的影响，Processing, 2007, 55(9):4523-4533. [3] Xiaofeng Gong, Yougen Xu, Zhiwen Liu. 从而更合理的评价三种算法的跟踪精度。 Quaternion ESPRIT for Direction Finding with a Polarization Sensitive Array. ICSP2008 Proceedings, 2008, 378-381. subspace tracking. IEEE Trans. on Signal [4] 崔伟，陶建武，徐惠斌. 极化信号波达方向估Processing, 2005, 53(8):2931-2941. 计算法[J]. 兵工学报，2010，31(7):982-986. [10] Toshihisa T. Fast Generalized Eigenvector Cui Wei, Tao Jianwu, Xu Huibin. A new Tracking Based on the Power Method[J]. IEEE estimation algorithm of direction-of-arrival[J]. Signal Processing Letters. 2009, Acta Armamentarii, 2010, 31(7):982-986. 16(11):969-972. [5] 陶建武，常文秀. 四元数最小均方误差算法及[11] Nehorai A, Tichavsky P. Cross-Product 其在波束形成中的应用[J]. 航空学报，2011，Algorithm for Source Tracking Using an EM 32(4):729-738. Vector Sensor[J]. IEEE Trans. on Signal Tao Jianwu, Chang Wenxiu. Quaternion MMSE Processing. 1999, 47(10):2863-2867. Algorithm and Its Application in [12] Golub G H, Van Loan C F. Matrix Beamforming[J]. Acto Aeronautica et Computation[M].Third Edition. Baltimore and Astronautica Sinica, 2011, 32(4):729-738. London: The Johns Hopkins University Press, [6] Xenofon G D, George V M. Fast and Stable 1996. Subspace Tracking. IEEE Trans. on Signal [13] Yang J F, Kaveh M. Adaptive eigensubspace Processing, 2008, 56(4): 1452-1465. algorithm for direction or frequency [7] Imran A, Doug N K, Taikyeong T J. A new estimation and tracking[J]. IEEE Trans. Subspace tracking algorithm using Acoust. Speech, Signal Process, 1988, approximation of Gram-Schmidt Procedure. 36(2):241-251. International Conference on Information and [14] 陈辉，王永良. 秩-1子空间跟踪算法[J].电子 Multimedia, 2009, 244-248. 与信息学报，2002，24(5):626-630. [8] 孟艳，汪晋宽，朱俊，等. 基于子空间跟踪的Chen Hui, Wang Yongliang. A Method of 空时多用户检测[J]. 数据采集与处理，2008，Rank-1 Subspace Tracking[J]. Journal of 23(6):702-705. Electronics and Information Technology, Meng Yan, Wang Jinkuan, Zhu Jun, et al. 2002,24(5):626-630. Space-time multiuser detection based on 作者简介:陶军(1966-)，男，副教授，研究方向: subspace tracking[J]. Journal of Data 阵列信号处理，E-mail: 980626918@qq.com; 虞飞 Acquisition and Processing, 2008, (1987-)，男，博士研究生，研究方向:阵列信号 23(6):702-705. 处理;林智勇(1986-)，男，硕士，研究方向:阵 [9] Badeau R. Fast approximated power iteration 列信号处理。