杨氏不等式

杨氏不等式 编辑 杨氏不等式又称Young不等式 ，Young不等式是加权算术,几何平均值不等式的特 例，Young不等式是Holder不等式的一个快捷。 1定义 2证明 定义编辑 杨氏不等式又称Young不等式 [1]实数 ，且有1/p + 1/q = 1 ，那么:假设 a, b, p 和q 是正 ab?(1/p)*(a^p)+(1/q)*(b^q) 等号成立当且仅当a^p=b^q. Young不等式是加权算术,几何平均值不等式的特例，Young不等式是证明Holder 不等式的一个快捷方法。 证明编辑 如果a>0且b>0，而数p,q满足:1/p+1/q=1，那么 a^(1/p)*b^(1/q)?(1/p)*a+(1/q)*b，当p>1 a^(1/p)*b^(1/q)?(1/p)*a+(1/q)*b，当p<1 证明: 可以先证明:x>0时， x^α-αx+α-1?0，当0<α<1时; x^α-αx+α-1?0，当α1时; f(x)=x^α+αx+α-1 f'(x)=α[x^(α-1)-1],f'(1)=0 0<α0，当x?(0,1) f'(x)<0，当x?(1,+?) ?f(x)在x=1处取最大值，f(1)=0，?f(x)?0 α1时，f'(x)<0，当x?(0,1)时 f'(x)>0，当x?(1,+?)时 ?f(x)在x=1处取最小值，f(1)=0，?f(x)?0 代入，x=a/b,α=1/p，得 f(a/b)=(a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1 当p>1时，即0<α<1: (a/b)^(1/p)-(1/p)*(a/b)+1/p-1?0 即(a/b)^(1/p)?(1/p)*(a/b)+1/q 同时乘以b，得: a^(1/p)*b^(1/q)?(1/p)*a+(1/q)*b 当p<1时，即α<0(p1(0