几类含参变量积分的极限的证明

几类含参变量积分的极限的证明 几类含参变量积分的极限的证明 38 高等数学研究 STUDIESINC0LLEGEMATHEMATICS Vo1.8.No.6 Nov..2o()5 几类含参变量积分的极限的证明. 陈飞跃(保险职业学院人文科学系湖南长沙410114) 摘要根据命题的条件分类归纳,找出几种含参变积量积分的极限的分析证明方法. 关键词含参变量积分周期函数绝对可积广义积分收敛逼近中图分类号0172.2 含参变量积分的极限的证明,初学者感到困难,无从下手,主要是因为由条件向结论过渡的解 题方向难以确定.下面介绍了两种根据命题的条件分类归纳的分析证明方法. (一)若被积函数为一具体函数和一抽象函数的积,则先求出具体函数在对应区间上的积分, 然后根据题设条件例如函数的连续性,limf()存在,广义积分收敛性等将积分区间分段讨论,再 证明每个区间上的积分值任意小即可. 例1设厂()在[o,1]上连续,求证im[te-t2x2f()=o)明t— ??.,u H?Z 分析因为.I1t?edz=fedJO"=上ed"=字'_++? 所以.1im[teo)=0) 因此要证明原式便成为要证明limf【te[)一0)]dx=0 又由于厂()在=0处右连续,所以V占>0,j>0,当0<?时,I)一厂(0)J<占, 于是我们可以把区间[0,1]分为两个子区间[0,],[,1]来讨论,只要证明每个区间上积分 值任意小即可. 证明因)在E0,1]上连续,故jM>0,使M:maxl厂()l; 解.时;属于型 原lim:.原式丛=o 例7设函数厂()可导,且厂(o)=o,F()=一dt,求 解分析因为被积函数中含有变量,所以应先作代换. 令=一t,则F()=厂()du,F()=一) l 枷 imF(x)=l 枷 im 2 F'(. 一 x)=乏1 , l —imf(X~')-=坚}=(o) ?收稿日期:2Oo4—o9—O8 第8卷第6期陈飞跃:同类含参变量积分的极限冉勺证明39 又为(在=0处右连续,对V>0,>0,便当0<时, 有I)一o)I<于是lte-lrf()一o)]出l Ij~re-,2,2rf(f(oI+f(oe2.d 由于广义积分ed=孚收敛,根据广义积分收敛的性质,对上述>o,3A>o,当 t> A且>A即t>max(A,A)时 , ~@-u2d<,记A=max(A,A),所以V>o,3A>A,当t >A时,有lte-l)一o)]出l<予寿+2.故该命题得证? 例2设)在[.,+..)上连续,且lim)=0,求证:lime,?Jt)e'dt=0.— +?_.+?J:T,I1 分析由于等式右端为0,所以不必计算Ie'dt.要证limeIt)e'dt=0,即证当充分大nl_++?J 时,leJ.厂(t)e'dtl任意小.由题设lim)=0知,V>0,]A>0,当A时,I)I<等,l如l_++0二 利用找到的A,把区间[.,]分成两个子区间[.,A],[A,]来研究. 证明由于lim)=0,所以V>0,]A>0,当A,有I)I<詈— +? Ie一J三.(t)e'dtI;e一J[:It)le'dt+e一』I)le'dt 记S.LIt)Ie'dt是个有限数,由于.+lim+.e一=0,对上述,]M>A,使当>M时, 有e< o0 . 于是,当>时,有lI et)elI<号+詈(ee)=号+号(1一e)-J知--- <此即所要证的结论.. (二)若被积函数为一抽象函数与正弦或余弦函数之积且积分区间为[O,+..),则可利用正弦 或余弦函数的周期性,将积分区间[O,+..]分成[O,2nrr]和[2mr,+..)来讨论,并利用定积分的 可加性,积分中值定理以及定积分定义等给予证明. 例3设)在任一有限区间[O,0](0>O)上连续,并在[O,+..]上绝对可积,则 上t)Isin(嬲)la+上) 分析由于要证等式中出现周期为27r的函数sint,所以把[O,+..)分成[O,2mr]和[2n7r, +..)来讨论.在[O,2mr]和[2n~r,+..)上分别应用题设条件. 证明由于 Isinnxla+一.出IIsinr~la+一舳l+ J:)Jsinr~J一)出JJJc2)lsin肼J一r)出J+ (1+吾)上IA)la+ 高等数学研究2005年11月 卜回分网呗米诃: (1)由)在[o,?]上绝对可积,对V>0,jAo,使当2norAo时,有:(1+三)【)dx仃J2ntr <手 一不,'不n不,'n不 (2)先证上)IsinnxIdx=三77"上)dx,再证:上)IsinnxIdx寺上)dx hn一1i丝n— I 事实上,上)'sinnxIdxkn )'sin'(定积分的可加性)=一 lim : . )Is=n-I) s(o<,积分中值定理)= 一 lim2薹)=(定积分定义) 同理:一 lim).sin麒Idx ,J[)Isin耽Idx= … n-, … n-, n~f(2kcr+)Is= n-In-I 2kcr+)?sintl.<)= n-In-I 2kcr+)=)ax 因此,jA>A.,当2n不>A,时,I)IsinnIdx一)出I<号 综合(1)和(2),当2凡仃>A->A.时,有If)IsinhaldxdO一Jfo)I<l'仃'l 这就证明了要证的结论成立. 注有关含参数变量积分的极限的证明,常用到下列一些方法进行讨论: (1)根据题设条件(如连续性,lim+ f()存在性,广义积分收敛性),将积分区间分段讨论. (2)用多项式逼近被积式中的函数(如函数泰勒展开). (3)计算或估计积分值(如用积分中值窄殚估计积分信. 2005年高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单揭晓 全国大学生数学建模竞赛组委员日前发布了2005高教社杯全国数学建模竞赛获奖名单.其中优秀组织工作 奖共8个赛区组委会(排名不分先后):河北,江苏,福建,河南,湖北,湖南,海南,四川;高教社杯获得者(从一等奖 中选出,甲乙组各一名)甲组:王颖,高德宏,施恒(西北工业大学),乙组:伍利兵,雷中博,王翠(成宁学院). 此次竞赛,共评出甲组一等奖189个队,二等奖457个队;乙组一等奖60个队,二等奖137个队.