康托洛维奇不等式的概率证明
康托洛维奇不等式的概率证明 第27卷第2期
2007年4月
河池学院
JOURNALOFHECHIUN?ERSITY
V01.27N0.2
Apr.2007
康托洛维奇不等式的概率证明
赵培信
(河池学院数学系,广西宜州5463o0)
[摘要]利用概率方法,通过定义合适的随机变量,证明了康托洛维奇不等式.该证明方法比已有的证明
方法简洁.
[关键词]康托洛雏奇不等式;概率方法;随机变量
[中图分类号]0151.2[文献标识码]A[文章编号]1672—9021(2007)02—0020—02 [作者简介]赵培信(1981一),男,山东曹县人,河池学院数学系讲师,主要研究方向为数理统计.
0引言
设矩阵A正定,其特征根为.<A?A?…?A..则对任意?.有?. 这就是着名的康托洛维奇不等式,对于此不等式的证明已有大量文献讨论.文献分别用初等的方法给
出此不等式的一个证明,文献[3]对此不等式给出了一个构造性证明.但这些证明都比较繁琐.本文利用
概率的方法,给出了一个较为简洁的证明.
1主要结果
定理1:设矩阵A正定,其特征根为0<A?A?…?A1.则对任意X#O有 (:lA2(:lA::)!?:
(xrx)4AlA
证明:令A的正交分解为
r,Al1
A=,f'.1J1
Aj
其中J1为正交阵.令Y=(Y.,…,Y)=则
(2(::)一圣圣:茎
(xrx)一(曼),):
^,^
i=1
2
令=},则.=1.
J:l,,
2
令为一随机变量,其概率分布为P(=A)=,i=I,2,…,m则 .(互Ai),)(.)E()E()
=生—_=_一
(五),2)
所以我们只须证E()E(-1)?又因为-1(—A.)(—A)?.,所以
E(一(—A.)(—A))=E(一(一(A.+A)+A.A))=E()一(A.+A)+AtA(一.)?o
即E()+AlAE(一)?Al+A.进而有.
.()?()2?():
所)?御?
此不等式可以推广为更一般的形式,即康托洛维奇不等式的极限形式.
定理2:设(F,)为一可测空问,且(F)=1.f为一可测函数,且0<A2??A若,关于的积
分
存在.则『,.『,专?击
证明:因为(F)=1,所以(F,)为一概率空间,进而厂为此空间上的随机变量.所以
E??E()=?71.再由定理l得?手?.
从以上分析可以看出,根据待证不等式的特点灵活地构造出一个适当的随机变量
的分布列是证明的关
键.通过运用概率方法,构造一个适当的概率分布密度,去证明不等式,比运用代数
方法证明要简单明了,
并且它使数学的不同分支之间架起了桥梁.用研究随机现象的概率方法去处理非
随机性数学问题对于学生
的创造性思维的训练是十分有益的.
参考文献:
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AProofofKantorovichInequalitywithProbablityMethod ZHAOPei.xin
(DepartmentofMathematics,HechiUIIiversity,Yizhou,Guangxi546300,China)
[Abstract]Inthispaper,basedonProbablitymethod,whichismoreconciser,KantorovichIne
qualityis
provedbyingeniouslychoosingrandomvariable.
[Keywords]KantomvichInequality;Probablitymethod;randomvariable 收稿日期2007一O1—28
[责任编辑刘景平]
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