★三角函数求最值问
三角函数求最值问题
编写者:沈幼妹
知识目标:能熟练掌握求三角函数最值的几种类型及方法,进一步深
化求三角函数最值时的一些变换,掌握三角函数有界性在
求三角函数最值时的作用;
能力目标:培养对三角函数基本知识的综合应用能力,培养对换元、
数形结合思想的应用能力,培养独立归纳、思考的自学能
力;
情感目标:在体验教学活动的过程中,激发学习
知识的积极性,
树立学好数学的信心。
重点:求三角函数最值的几种常见类型
难点:三角知识在求最值时的综合应用
三角函数是高中数学中重要的
之一,而最值问题的求解是三角函数的重要题型,在近几年的高考题中经常出现,极具灵活性。现举例
解决这种题型的若干方法,供大家参考。
一:利用三角函数的有界性
y,3sinx,1例1、函数的最大值为__________;
y,asinx,1变式、函数的最大值为____________;
小结:对于“一次类型”可利用正弦函数和余弦函数的有界性求三角函数的最值。
二:利用配方法
例2. 求函数的最值。
解:将函数化为,
配方得
当
当
变式1、求函数的最小值; y,cos2x,cosx,2
2y,cosx,2acosx,a变式2、求函数的最大值;
2a变式3、有实数解,求的取值范围; sinx,cosx,a,0
2yaxbxc,,,sincos小结:型的函数,用角的变换“化二为一”,则问题转化为闭区间上的二次函数的值域问题。
三: 化为一个角的三角函数
,例3: 如何求函数的最大值和最小值, yxx,,,sincos()6
33,,,,,,,,,,yxxxxxxsincoscossinsinsincos3sin()解: 66226
,2,y,,3()kZ,()kZ,当xk,,2,,当,,,( xk2y,3,,minmax33
y,3sinx,cosx变式1、函数的最大值为____________;
π,,2fxxx()2sin3cos2,,,fx()变式2、函数,求的最大值_____; ,,4,,
小结: y=asinx+bcosx型函数的特点是含有正余弦函数。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种形式的三角函数。 应
b22用公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),(a,b?0,其中tanφ=) a,ba
拓展引申:
y,sinx,cosx,sinxcosx求函数的最大值和最小值。
分析:表达式含sinx–cosx和sinxcosx,应考虑到其内在关系,考虑用换元法
2,t1,xx,sincost,sinx,cosx,2sin(x,)解:设,则,2,t,2,且。 24
21,t12y,1y,t,,,(t,1),1max由于,故当t=1时,;当时,t,,222
12y,,,。 min2
sin,,cos,,sin,,cos,,sin,cos,小结:这三者之间有着相互制约,不可
sin,cos,分割的密切联系。是纽带,三者之间知其一,可求其二。
若表达式中出现sinx,cosx,sinxcosx函数,属与
y,sinx,cosx,bsinxcosx型函数;应考虑到其内在关系,利用换元
来求函数最值.
四:利用数形结合
例4. 求函数的最值。
解:原函数可变形为这可看作点的直线的斜率,而A是单位圆上的动点。由下图可知,过作圆的切线时,斜率有最值。由几何性质,
sin2,,变式 求函数的最值。 y,cos3,,
五. 利用换元法
例5. 求函数的最值。 解:令,则
由于,故
2变式:求函数的最值。 yxx,,,31