基于COMSOL软件下截锥体电阻的计算

基于COMSOL软件下截锥体电阻的计算 基于COMSOL软件下截锥体电阻的计算 物理与工程Vo1.21No.22011 基于COMSOL软件下截锥体电阻的计算 桑芝芳蒋新晨 (苏州大学物理科学与技术学院,江苏苏州215006) (收稿日期:2O10—05一I2;修回日期:2010—09—03) 摘要本文应用Comsol软件讨论了截锥体内电势和电流的分布,并计算了截锥体的电阻. 关键词截锥体;电势;电阻;Comsol软件 CALCULATIoNoFRESISTANCEOFATRUNCATED CoNECoNDUCToRBASEDoNCoMSoLSoFTWARE SangZhifangJiangXinchen (CollegeofPhysicalScienceandTechnology,SoochowUniversity,Suzhou,Jiangsu215006 ) AbstractThedistributionofelectrica1potentialandcurrentinthetruncatedconewasdis— cussedinthispaper,byusingtheComsolsoftware.Theresistanceofthetruncatedconewas alsocalculated. KeyWordstruncatedcone;electricalpotentia1;resistance;Comsolsoftware 1引言 稳恒条件下导体内电势,电流的分布,不规则 或不均匀导体电阻的计算等问题是电磁学教学的 基本问题.在电磁学教材__】中就有关于求解截锥 体电阻的习题,甚至在2009年江苏省高考卷中也 以实验题的形式出现了这样的问题.另外,有一些 微电子器件呈锥体形状,例如真空微电子器件中 最常用的阴极就是尖锥,其电阻可影响尖锥的场 致发射特性.因此对截锥体中电势,电流的分布以 及截锥体电阻等问题的讨论不仅对电磁学教学有 很好的参考价值,而且也有一定的实际意义.电磁 rj1 学教材中主要应用公式R:lfD求解截锥体的J 电阻,这种方法在截锥体两端面半径近似相等(即 截锥体近似于圆柱体)时是一种比较好的近似方 法;但两端面半径相差较大时,该方法误差就较 大,不够准确.要严格求解截锥体电阻,首先是要 解决一个关于电势的边值问题,然后再应用电 基金项目江苏省高校自然科学基金资助项目(Q21O87O3) 势,电流和电阻的关系求出电阻.事实上要得到这 一 问题的解析解非常困难,一般只能通过数值方 法求解.文献[3]提出了用差分法求解的思路与步 骤,但比较烦琐.本文应用Comsol软件可方便,形 象地显示出截锥体内电势,电流的分布,从而求出 电阻. 2求解截锥体电阻的理论模型 问题如图1所示,截圆锥体电阻率为JD;长 为L;两端面的半径分别为a,b;试计算此锥体两 端面之间的电阻. 方法1应用公式R==:IID求解,截锥体的 r 电阻为R.一. 7【以D 此方法相当于将截锥体看成垂直于轴的一系 列薄片串联而成,若在两端面加上一定的电势差, 则在截锥体内的等势面为垂直于轴的一系列平 面,电流将平行于轴向流动,如图2所示,这显然 物理与工程Vo1.21No.22011 不妥.尤其在两端面半径相差较大时,会产生较大 误差. 图l图2 方法2通过边值问题求解.若在截锥体两端 加上恒定的电势差,则导体内有恒定电流(设恒定 电流密度为I,),由恒定电流条件有V?d=0,又根 据欧姆定律J一E,所以有.E一0.由于截锥 pp 体材料均匀,电阻率P为常数,所以?E一0,其 中E为导体内部恒定电场强度.恒定电场和静电 场类似,与电势的关系为E一一,所以导体内 部电势满足拉普拉斯方程 ?一0(1) 在边界上满足边界条件,因而两端面上有 J一'一(2) 【一6,一 其中,,分别为—a,z—b两端面上的电势, 侧面上有 l一0(3) 侧面 其中rl为导体侧面的外法线方向. 求解上述边值问题,可得到导体内部的电势 分布,根据欧姆定律,导体内部的电流密度为J一 E一一,通过导体任一截面的总电流为 PP 一 『J.ds一?f?dS 从而求得导体电阻为 R—b--, 9~.(4) 3用Comsol软件求解截锥体电阻 上述边值问题是一个关于电势的椭圆形方 程的边值问题,用解析法求解非常困难,本文用 Comsol软件可方便地求解上述问题. ComsolMultiphysics(简称Comso1)是一款 大型的高级数值仿真软件,目前广泛应用于科学 研究,教学研究以及工程计算中,它具有高效的计 算性能,实现了任意多物理场的高度精确的数值 仿真.Comsol省去了繁杂的转换和编程过程,提 供了现成的求解模块来对问题进行求解.本文利 用了其中的AC/DC模块对截锥体电阻进行了基 于有限元的仿真模拟. 具体建模过程为了全面地获得截锥体的整 个电势,电流分布等物理图像,我们首先运用AC/ DC模块建立了截锥体电阻的三维模型.方法是: 在Comsol界面下选择AC/DC模块下的子模 块——传导介质DC,并选择空间维度为3D.进入 图形用户界面后,运用绘图工具进行几何建模,并 设置求解域电阻率和边界条件(为方便起见,截锥 体一端面接地,另一端面电势为一IOV).设置 完毕后,使用自由网格剖分功能初始化网格,并在 适度细化网格后使用共轭梯度求解器求解模型. 最后,在Comsol后处理模式下可以观察到三维截 锥体的电势分布,电流分布等一系列的模拟效 果图. ,图6从不同角度形象,直观地反映了电 图3 势,电流的分布规律,图3(a),(b),(c)分别为?一 0.3,0.6,0.9时截锥体的电势分布纵截面图;图4 为一0.5时的切面图;图5(a),(b)分别为詈一 0.05,0.5等势面立体图.从图中可以看出,它完 全符合稳恒电场的规律,结果是比较准确的.从 图3,图5中可以看出,等势面不是垂直于轴的平 面,而是近似于球冠面,随着的增大,等势面越 来越接近于平面.从图6可以看出,电流并不是沿 轴向传播,在左右两端面处,电流垂直于端面,在 中段电流呈分散形,在侧面与端面交界处,没有电 流线,电流为零.这是由于电场线既要平行于侧 面,又要垂直于端面,因此在其交界处电场为零, 从而电流为零. 我们进一步讨论了截锥体的电阻.图7给出 了两端面半径比例()不同时的电阻的值(其 中R.一,方法1的结果).从图中可以看出, 物理与工程Vo1.21No.22011 (a) 图3 图6 始终大于1,即R>R.,且R随a的增大而减小. 当一0.7时,.R?1.03R.,用方法1求解误差约 3%,因而在精度要求不高的情况下,>0.7时 可用方法1近似求解,当a—b时,R—R.,截锥体 二_二一,,?王?|_?0'l7 l ] I 二=_==___:,-07 ::: " - i-0,-! I|一|"..:-2:12-一 L// ? 图5 图4 ? 图7 即为圆柱体,与圆柱体电阻结论一致. 参考文献 [1]马文蔚等.物理学(中册)[M].北京:高等教育出版社,1999 [2]赵凯华.电磁学r-M].北京:高等教育出版社,1985 [3]张祖寿.锥形体电阻的计算I-J].大学物理,1994,(10):12 }{{nu