运筹学案例

案例1：某集团摩托车公司产品年度生产的优化研究 1. 问题的提出 某集团摩托车公司是生产各种类型摩托车的专业厂家，有30多年从事摩托车生产的丰富经验。近年来，随着国内摩托车行业的发展，市场竞争日趋激烈，该集团原有的优势逐渐丧失，摩托车公司的生存和发展面临严峻的挑战。为此，公司决策层决心顺应市场，狠抓管理，挖潜创新，重振辉煌。为制定1999年度摩托车生产计划，公司从市场调查入手，紧密结合公司实际，运用科学方法对其进行优化组合，制定出企业总体经济效益最优的。 2. 市场调查与生产状况分析 1998年，由于受东南亚金融风暴的影响，国内摩托车市场出现疲软，供给远大于需求。该集团的摩托车生产经营出现出开工不足、库存增加和资金周围困难等问题。对此，在制定1999年生产计划时必须给予充分考虑。 该集团共有3个专业厂，分别生产轻便摩托车、普通两轮车和三轮摩托车三大系列产品。在市场调查的基础上，从企业实际出发普遍下调整车出厂和目标利润率，有关数据见附表1.1 附表1.1 摩托车品种、厂价、利润和生产能力 产品系列 轻便摩托车 普通两轮摩托车 三轮摩托车 型号 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 出厂价（元） 1800 2100 2300 3800 4800 6500 8200 8800 9200 目标利润率 6% 7% 10% 5% 6% 8% 6% 6% 6% 最大生产能力 50000辆 60000辆 10000辆 1999年，该集团可供摩托车生产的流动资金总量为4000万元，年周转次数为5次，生产各种型号摩托车资金占用情况见附表1.2 附表1.2 各种摩托车的生产需占用资金量 型号 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 占用资金（元/辆） 1520 1700 1850 3200 4100 5400 6900 7450 8600 由于发动机改型生产的限制，改型车M3和M6两种车1999年的生产量预测数分别为20000辆和22000辆。 合理地控制1999年末产成品的库存量减少资金占用和降低仓储压力的必要措施。经预测，三种系列摩托车1999年产销率列于附表1.3中，同时还列出各系列摩托车仓储面积战用率。 附表1.3 1999年摩托车产销率和仓储面积占用率 产品系列 轻便摩托车 普通三轮车 三轮摩托车 产销率 97% 97% 92% 单车占用面积 1个仓储单位 1.5个仓储单位 3个仓储单位 公司1999年可提供的最大仓储能力为3000个仓储单位，库存产品最大允许战用生产资金为1600万元。 3. 建模与求解 设xj表示生产Mj型摩托车的数量（j=1,…,9），综上所述数据，可列出如下摩托车产品生产计划总利润最大的数学模型： 目标函数： 约束每件： 模型说明： 约束式（1）（2）（3）分别表示三种系列摩托车的最大生产能力限制； 约束式（4）表示摩托车生产受流动资金的限制； 约束式（5）（6）表示x3和x6两种车受发动机供应量的限制； 约束式（7）表示销售的产量受库存能力的限制； 约束式（8）表示未销售产品占用资金的限制； 该模型是一个线性规划模型，可运用软件在计算机上进行求解，计算结果见附表1.4和1.5 附表1.4 线性规划模型计算结果（1） Variable Solution Opportunity cost Variable Solution Opportunity cost X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 26000 20000 0 0 22000 0 0 0 0.002344 0 0 0.015071 0.006653 0 0.002682 0.011621 0.037165 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 4000 38000 10000 0 0 0 630 675.2 0 0 0 0.08647 0.00700 0.00531 0 0 Maximized OBJ.=1986.2 Iteration=4 附表1.5 线性规划模型计算结果（2） 约束条件 状态 RHS 影子价格 松驰变量值 最小RHS 最大RHS 1 2 3 4 5 6 7 8 Loose Loose Loose Tight Tight Tight Loose Loose (50000 (60000 (10000 (20000 (20000 (22000 (3000 (1600 0 0 0 0.08647 0.00700 0.00531 0 0 4000 38000 10000 0 0 0 630 675.2 5000 22000 0 15580 0 2074.74 2370 924.8 Infinity Infinity Infinity 2068.0 43891.89 30185.184 Infinity Infinity 4. 结果分析 （1）根据计算结果，能够使年利润达到最大化的产品生产计划，见附表1.4，共计68000辆，目标利润为1986.2万元； （2）松驰变量s1,s2,s3不为零，其取值表示三种系列的摩托车的生产能力均有富余，尤其是三轮摩托车未安排生产，生产能力完全剩余；s4＝0，说明用于摩托车生产的流动资金完全用完，s5=s6=0，说明M3和M6两种车型的发动机也无剩余。S7,s8不为零，其取值表示库存容量及库存车战用的生产资金额度尚有富余； （3）从附表1.5结果来看，约束式（1）（2）（3）（7）（8）为松约束与松驰变量取非零值相对应，说明生产能力、库存量、库存品占用资金有剩余。约束式（4）（5）（6）为紧约束，与松驰变量取零值相对应，其含义与松驰变量分析相同；与约束式（1）（2）（3）（7）（8）对应的影子价格为零，说明约束右边项的增加不会引起目标函数的改善。因此，我们可以考虑通过增加流动资金的注入和扩大M3和M6两种车发动机的供应能力来提高盈利水平，且增加流动资金注入，能够使盈利水平提高最快。 5. 方案调整分析 上述计算得出的生产方案虽然是最优的，但也存在明显缺陷，主要问题是公司摩托车生产能力利用严重不足，利用率仅57%左右。因此，有必要对该方案作进一步分析，并做出适当调整。 （1）关于流动资金约束的讨论。根据前面分析，流动资金是紧约束，其影子价格最高。因此，如果适当增加，可以使盈利水平有较大提高。 首先，可以从加快生产经营节奏，加速资金周转来考虑提高资金使用效率，即保持流动资金供应总量4000万元不变。争取净年周转次数增加1次，即由5次加至6次，其他条件不变。计算结果见附表1.6. 附表1.6 加速资金周转后计算结果 Variable Solution Opportunity cost Variable Solution Opportunity cost X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 30000 20000 0 6873.95 22000.00 836.13 0 0 0.002716 0 0 0.010278 0 0 0 0.00594075 0.02910756 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 0 31126.053 9163.865 0 0 0 0 502.91592 0.002299 0 0 0.065798 0.007313 0.014646 0.040504 0 Maximized OBJ.=2284.1 Iteration=5 从附表1.6可见，资金周转加速后，摩托车总产量由68000辆提高到79710辆，目标利润由1986.2万元提高到2284万元。 由于s4依然为零，说明如果进一步考虑注入新的流动资金，可以使产量和利润有更大的提高。附表1.7所示为增加1000万元流动资金后的计算结果，摩托车的生产量为73333辆，目标利润为2506.4万元。 附表1.7 增加流动资金1000万元后的计算结果 Variable Solution Opportunity cost Variable Solution Opportunity cost X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 0 20000 0 31333.34 22000 0 0 0 0.008400 0.004500 0 0.016200 0 0 0.104400 0.100800 0.116400 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 30000 6666.667 10000 1573.334 0 0 0 599.200 0 0 0 0 0.003800 0.023200 0.640000 0 Maximized OBJ.=2506.4 Iteration=4 （2）关于发动机生产量约束讨论。约束5和约束6表明，发动机的生产量限制了M3和M6两种车的产量。因此，应设法多增产这两种发动机。如果将这两种发动机的产量增加，使M3和M6两种车的产量各增加5000台，则计算结果见附表1.8所示，摩托车产量为75000辆，目标利润为2641.4万元。 附表1.8 增加M3和M6发动机后的计算结果 Variable Solution Opportunity cost Variable Solution Opportunity cost X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 0 25000 0 23000 27000 0 0 0 0.008400 0.004500 0 0.016200 0 0 0.104400 0.100800 0.116400 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 25000 10000 10000 1365.00 0 0 0 555.95 0 0 0 0 0.003800 0.023200 0.640000 0 Maximized OBJ.=2641.4 Iteration=4 （3）关于合理安排生产品种的讨论，根据生产和销售的实际需要，为保持公司种种系列摩托车有一定的市场占有率，需对上述结果做出修改。即要保证三轮摩托车达到一个最低生产产量，安排生产M9型不少于2000辆。为此，需增加约束式（9）：x9>=2000。其计算结果为附表1.9所示，摩托车产量为66333万辆，目标利润为2408.6万元。 附表1.9 规定必须生产M9型车2000辆后计算结果 Variable Solution Opportunity cost Variable Solution Opportunity cost X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 0 25000 0 12333.33 27000.00 0 0 2000 0.00840 0.00450 0 0.01620 0 0 0.10440 0.10080 0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 25000 20666.666 8000.00 4018.3328 0 0 0 549.550 00 0 0 0 0 0.003800 0.023200 0.640000 0 0.116400 Maximized OBJ.=2408.6 Iteration=4 （4）关于适当增加库存能力的讨论。为保证三轮摩托车生产线的开动，使公司整个摩托车的生产量和目标利润受到较大影响。从附表1.8可知，由于三轮摩托车占用的库存量较大，约束式（7）的影子价格非常高。因此，可考虑适当增加库存量，以提高生产量和目标利润。若将库存量扩大500个单位，则计算结果见附表1.10，摩托车产量为79176辆，目标利润为2705.2万元。 附表1.10 扩大库存能力500辆后计算结果 Variable Solution Opportunity cost Variable Solution Opportunity cost X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 0 5198.93 25000.00 0 19978.49 27000.00 0 0 2000.00 0.003116 0 0 0.012281 0 0 0.035303 0.038018 0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 19801.07 13021.51 8000.00 0 0 0 0 393.65 0 0 0 0 0.043548 0.007647 0.017539 0.243226 0 0.058626 Maximized OBJ.=2705.205 Iteration=6 综上分析，我们认为在安排1999年摩托车生产计划时，需要适当增加流动资金的注入和扩充库存面积，这样，不仅能有效利用现有的生产能力，还可增加企业盈利。因此，1999年摩托车生产的合理计划是： M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 0 5199 25000 0 19978 27000 0 0 2000 需补充说明的是，摩托车的生产数量是整数，原本应用整数规划来求解，但由于摩托车的生产数量较大，相对于1而言误差不大，故直接采用线性规划单纯形法求解。 案例2：A市柴油机厂年度产品生产计划的优化研究 1. 问题的提出 A市柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一，主要产品有2015柴油机，X2105柴油机、X4105柴油机、X4110柴油机、X6105柴油机、X6110柴油机，产品市场占有率大，覆盖面广，广泛用于农业机械、工程机械、林业机械、船舶、发电机组等。在同行业中占有一定的优势。但另一方面，也确实存在管理方法陈旧、管理手段落后的实际问题，尤其是随着经济体制改革的深入，以前在计划经济体制下生存的国营企业越来越不适应市场经济要求。 为改变这种不利局面，厂领导决定降低成本，实行科学管理。经过研究分析，认为年度产品生产计划是企业的纲领性计划，它直接影响到企业整个计划体系。因此，努力提高企业编制产品生产计划的科学性就成为一个重要的目标。 2. 生产现状及资料分析 柴油机的主要生产过程如附图2.1所示： 附图2.1 柴油机的生产过程 由附图2.1可知，柴油机的主要生产过程为原材料经过锻造、铸造或下料，再进行热处理、机加工工序，进入总装，最后试车、装箱、入成品库。根据国家提倡的企业应由粗放型经营向集约型经营、橄榄型经营向哑铃型经营转变的两个基本思想，该厂将毛胚生产工艺，即锻造、铸造或下料过程渐渐向外扩散，形成专业化生产，以达到规模效益，故柴油机生产过程主要可以分三大类：热处理、机加工、总装。可以看出，与产品生产有关的主要因素有单位产品的产值、生产能力、原材料供应量及市场需求情况等。 每种产品的单位产值如附表2.1所示： 附表2.1 各种产品的单位产值表 序号 产品型号及产品名称 单位产值（元） 1 2105柴油机 5400 2 x2105柴油机 6500 3 X4105柴油机 12000 4 X4110柴油机 14000 5 X6105柴油机 18500 6 X6110柴油机 20000 为简化问题，根据一定时期的产量与所需工时，测算了每件产品所需要的热处理、机加工、总装工时，见附表2.2 附表2.2 单位产品所需加工工时表 序号 产品型号及产品名称 热处理（工时） 机加工（工时） 总装（工时） 1 2105柴油机 10.58 14.68 17.08 2 x2105柴油机 11.03 7.05 150 3 X4105柴油机 29.11 23.96 29.37 4 X4110柴油机 32.26 27.7 33.38 5 X6105柴油机 37.63 29.36 55.1 6 X6110柴油机 40.84 40.43 53.5 同时，全厂所能提供的总工时如附表2.3所示： 附表2.3 各工序所能提供的总工时 工序名称 热处理（工时） 机加工（工时） 总装（工时） 全年提供总工时 120000 95000 180000 产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源。供应科根据历年的统计资料及当年的原材料市场情况估算出当年四大类材料的货源情况，从而给出一个原材料供应最大的可能值，见附表2.4 附表2.4 原材料最大供应量 原材料名称 生铁（吨） 焦碳（吨） 废钢（吨） 钢材（吨） 最大供应量 1562 951 530 350 单位产品原材料消耗情况如附表2.5所示： 附表2.5 单位产品原材料消耗定额表 序号 产品型号及产品名称 生铁（吨） 焦碳（吨） 废钢（吨） 钢材（吨） 1 2105柴油机 0.18 0.11 0.06 0.04 2 x2105柴油机 0.19 0.12 0.06 0.04 3 X4105柴油机 0.35 0.22 0.12 0.08 4 X4110柴油机 0.36 0.23 0.13 0.09 5 X6105柴油机 0.54 0.33 0.18 0.12 6 X6110柴油机 0.55 0.34 0.19 013 市场情况可以依照历年销售情况、权威部门的市场预测，及企业近期进行的市场调查结果，分别预测出各种型号柴油机今年的市场需求量，如附表2.6所示： 附表2.6 各种型柴油机今年的市场需求量表 序号 产品型号及产品名称 生产能力（台） 市场最大需求量（台） 1 2105柴油机 8000 8000 2 x2105柴油机 2000 1500 3 X4105柴油机 4000 4000 4 X4110柴油机 2000 1000 5 X6105柴油机 3000 3000 6 X6110柴油机 3000 2000 根据以上资料，就可以研究如何制定较为科学的产品生产计划 3. 建模与求解 厂领导希望尽量挖掘企业潜力，在力所能及的条件下各种产品的总产值尽可能提高。因此，在制定产品计划时，可以将产值作为目标要求，使其尽可能大。 假设6种产品产量分别为xj，j=1,…,6，若将相应的单位产品产值分别用Cj，j=1,…,6来表示，则其总产值可以用下面的线性函数来表示，即： Z=(cjxj 根据附表2.2、附表2.3所列数据，及相关资料可以将工时限制分别就热处理、机加工、总装列出3个线性不等式约束；根据附表2.4、附表2.5及相关资料可以就4类主要原材料供应限制列出4个线性不等式约束；根据附表2.6市场需求量限制条件则可以列出6个线性不等式约束，这样就可以建立产品品种计划的数学模型如下： (1)10.58x1+11.03x2+20.11x3+32.26x4+37.68x5+40.84x6(120000 (2)14.58x1+7.05x2+23.96x3+27.7x4+29.36x5+40.43x6(95000 (3)17.08x1+150x2+29.37x3+33.38x4+55.1x5+53.5x6(180000 (4)0.18x1+0.19x2+0.35x3+0.36x4+0.54x5+0.55x6(1562 (5)0.11x1+0.12x2+0.22x3+0.23x4+0.33x5+0.34x6(951 (6)0.06x1+0.06x2+0.12x3+0.13x4+0.18x5+0.19x6(530 (7)0.04x1+0.04x2+0.08x3+0.09x4+0.12x5+0.13x6(350 (8)x1(8000 (9)x2(1500 (10)x3(4000 (11)x4(1000 (12)x5(3000 (13)x6(2000 Xj(0 上述数学模型由于目标函数和约束条件均为线性，可以用相关软件求解，结果如下： 附表2.7 变量 解 机会成本 变量 解 机会成本 X1 X2 X3 X4 X5 X6 S1 S2 S3 S4 0 206.91 0 1000.00 2097.70 0 6521.47 4252.92 0 29.93 763.41 0 314.69 0 0 25.99 0 0 2.53 0 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 3.93 10.00 0 8000.00 1293.09 400.00 0 902.30 2000.00 0 0 153003.92 0 0 0 145.12 0 0 Max OBJ=5.4152E+07, Iteration=8 4. 结果分析 （1）由计算结果可知，使总产量最大的产品生产计划是……：，这样可使企业全年总产值达到5415万元。 （2）松驰变量s1,…,s13的取值表明各种资源的节余量及市场需求量的非饱和量，具体分析如下： S1=6521, s2=4253,s3=0，说明热处理工时尚节余6521工时，机加工尚节余4253工时，总装工时全部用完没有节余。从原材料消耗来看，各种原材料使用较为均匀，生铁节余30吨，焦碳节余4吨，废钢节余104吨，钢材全部用完没有节余。工厂一方面可以提高总装的生产能力以提高产品产量；另一方面也可适当增加钢材的采购，使原材料配置更趋优化。 （3）市场需求限量是通过市场预测得到的，其预测值是否准确对建模及求解结果均有较大影响，其中，x4110柴油机市场需求量若能够扩大，则对总产值有较大帮助。 （4）求解结果表明，当前的最优解是唯一的，因为所有非基变量的检验数均严格大于0，即根据计算结果所确定的产品生产计划是唯一使总产值达到最大的生产计划。因此，厂领导只能通过适当调整某些约束条件，才能得到更优的计划方案。 5. 进一步讨论 上述计算结果的最优生产方案是唯一的，这个结果中生产的产品品种太少，全厂共有6种产品，但最优化生产计划中只安排了3中，这无论是从市场需求及企业本身来说都不能令人满意，因此，作为企业应该进一步修改计划，使之更切合实际需求。 （1）关于工时约束的讨论 结果分析表明，总装工时全部用完没有节余，热处理工时尚节余6521工时，机加工尚4253工时。因此，应设法提高总装的生产能力。假设总装的生产能力从原有的180000工时提高到320000工时，其他条件不变，则可得到计算结果如附表2.8所示： 附表2.8 变量 解 机会成本 变量 解 机会成本 X1 X2 X3 X4 X5 X6 S1 S2 S3 S4 0 1288.99 0 1000.00 1310.48 393.71 8129.81 3819.09 0 32.89 763.56 0 315.54 0 0 0 0 0 2.42 0 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 0 11.97 0 8000.00 211.01 4000.00 0 1689.52 1606.29 1525.95 0 148860.78 0 0 0 170.90 0 0 Max OBJ=5.4497E+07, Iteration=10 由附表2.8所示可知，当总装的生产能力从原有的180000工时提高到320000工时，总产值可从原有的5415.23万元提高到5449.66万元。 从数据可知，尽管总装的生产能力有较大提高，但总产值提高不大，说明该种改进方法不合算。 （2）关于原材料约束的讨论 从结果分析可知，钢材全部用完没有节余，因此，适当提高钢材的最大供应量可相应提高总产值。如钢材的最大供应量从原有的350吨提高到400吨，其他条件不变，则可得到计算结果如附表2.9所示。 附表2.9 变量 解 机会成本 变量 解 机会成本 X1 X2 X3 X4 X5 X6 S1 S2 S3 S4 0 211.55 0 1000.00 1711.19 385.06 5288.58 0 0 25.98 1209.18 0 733.15 0 0 0 0 92.54 0.83 0 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 0 6.13 26.14 8000.00 1288.45 4000.00 0 1288.81 1614.94 47687.88 0 0 0 0 0 440.51 0 0 Max OBJ=5.4733E+07, Iteration=8 由附表2.9可知，当钢材的最大供应量从原有的350吨提高到400吨，总产值可以从原有的5415.23万元提高到5473.33万元。 （3）关于轮番生产方案的构想 生产部门根据市场实际需要，希望能提出一个在几年内轮番生产所有6种产品的方案。根据这一要求（按如下方式实现），即：将第一年安排的3种产品在原材料中删除，重新计算修改后的线性规划，算出第二年的生产品种，再将第二年生产的产品从模型中删除，重新计算，得第三年的生产产品品种。由此可得出一个按产值大小排列的若干年的生产计划，具体计算结果见附表2.10、附表2.11和附表2.12. 附表2.10 变量 解 机会成本 变量 解 机会成本 X1 X3 X6 S1 S2 S3 S4 0 3964.94 0 4580.55 0 63549.67 174.27 1902.17 0 248.75 0 500.83 0 0 S5 S6 S7 S8 S9 S10 78.71 54.21 32.80 8000.00 35.06 2000.00 0 0 0 0 0 0 Max OBJ=4.7579E+07, Iteration=4 附表2.11 变量 解 机会成本 变量 解 机会成本 X1 X6 S1 S2 S3 S4 969.82 2000.00 28059.29 0 56435.45 287.43 0 0 0 370.37 0 0 S5 S6 S7 S8 S9 164.32 91.81 51.21 7030.18 0 0 0 0 0 5025.93 Max OBJ=4.5237E+07, Iteration=2 附表2.12 3年轮番生产计划 年份 安排生产的产品及产量（台） 总产值（万元） 1 2 3 X1=207,x4=1000,x5=2098 X3=3965 X1=970,x6=2000 5415.23 4757.93 4523.7 为适应市场要求，同时也不浪费设备，如果要求每年6种产品都必须生产，则可通过市场调理后确定产品x1,x3,x6的产量下限为： X1>=600,x3>=500,x6>=200 将上述3个产品产量下限作为约束条件加到原来的线性模型中，其计算结果如附表2.13所示。 附表2.13 变量 解 机会成本 变量 解 机会成本 X1 X2 X3 X4 X5 X6 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 600.00 224.40 500.00 566.28 1666.14 200.00 7488.65 0 0 22.79 0 9.01 0.12 0 0 0 0 0 0 0 154.62 2.56 0 41876.15 0 0 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 s15 S16 7400.00 1275.60 3500.00 433.72 1333.86 1800.00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1504.49 992.69 626.25 Max OBJ=5.3450E+07, Iteration=9 由附表2.13，可得到一个1年内每种产品都生产的计划，此时最大总产值为5345.02万元。 案例3 某设计项目人员指派方案的研究 1. 问题的提出 某设计院是国家甲级工程勘察设计单位，主要从事煤矿、选煤厂、电厂、水泥厂、铁路、工业及民用建筑及其他工程的勘察设计工作。近几年来，随着经济体制改革的不断深化，逐步走向市场，该院设计项目管理的方法落后、手段陈旧的矛盾日益突出，造成设计质量不高、设计工期较长，严重影响该院的经济效益和市场竞争力。为此，必须加强和重视对设计项目管理的分析和研究。 以下就该院具典型意义的某较大型设计项目，对设计项目管理中的核心问题——设计人员指派问题进行分析研究，作为设计项目管理现代化的开端。 2. 基本情况 该设计项目为一较大型矿井设计项目，牵涉到采矿、电气、机制、设备、土建、总运、技经，共7个专业。每个专业又需若干名设计人员分别担任设计和检审工作。各专业现有人员中可抽调人员数和需要人员数见附表3.1。由于专业技术的限制，各专业之间专业技术人员不能流动。 附表3.1 各专业可用人员和员数量表 专业 采矿 电气 机制 设备 土建 总运 技经 可用人数 5 7 4 7 10 3 5 需设计人数 3 2 2 4 5 2 3 需检审人数 1 1 1 2 2 1 1 由于每个设计人员的素质不同，因而他们从事设计或检审工作的效率和质量也各不相同。为简化问题，由该院专业技术委员会对每个设计人员从事设计或检审的工作效率和质量进行综合评估，以百分制来衡量他们从事设计或检审工作的综合素质，而不对效率和质量分别考虑，各设计人员从事设计或检审工作的综合素质评分见附表3.2。 附表3.2 设计人员质量效率综合素质评分表 人员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 采矿专业 设计 89.54 72.3 78.5 65.9 82.3 检审 70.25 90.02 82.35 86.8 78.78 电气专业 设计 77.21 93.5 68.75 85.64 73.56 82.78 80.16 检审 88.15 72.31 82.56 87.85 78.26 69.76 73.15 …… 根据以上条件和数据，可以建立其数学模型并求解。 3. 建模与求解 该问题的目标就是根据各设计人员从事设计或检审工作的综合素质评分，选取各专业合适的人员进行设计工作或检审工作，以使参加项目人员的综合素质总分最高，从而从人员选配方面保证整个设计项目达到效率和质量综合效果最好。 对于这个问题，我们可以对每个设计人员分别就设计工作、检审工作引用两个0-1变量，以参加项目人员的综合素质总分最高为目标，以参加各专业设计或检审工作的人数作为约束，并考虑同一个人不能同时参加设计和检审，就可以建立一个0-1规划模型。但是，我们可以想象该模型变量和约束众多，而0-1规划的求解也比较困难，有必要寻找更简捷的解决办法。 由于该问题是人员指派问题，我们可以考虑通过化简，将其化为的指派问题进行求解。首先，该问题中每个专业都分别是一个指派问题，因而，可以分成7个指派问题；其次，每个专业的指派问题并不是标准的指派问题，但可以运用技巧化为标准的指派问题，以采矿专业为例说明如下： 该专业可用人数5人，设计需3人，检审需1人。我们可以将设计当成3项不同工作，检审1项，再增加1项虚拟工作，就可化为平衡的标准指派问题了，其综合素质矩阵见附表3.3。 附表3.3 采矿专业综合素质矩阵 人员 1 2 3 4 5 设计1 89.54 72.3 78.5 65.9 82.3 设计2 89.54 72.3 78.5 65.9 82.3 设计3 89.54 72.3 78.5 65.9 82.3 检审 70.25 90.02 82.35 86.8 78.78 虚拟工作 0 0 0 0 0 同理，可以将其他专业也化为标准的指派问题，其综合素质矩阵分别见附表3.4~3.9所示。 附表3.4-3.9略 这样，就可以利用匈牙利法求解，得到整个问题的最优解，详见附表3.10。 附表3.10 From to shipment @pfrt. Opp.ct From to shipment @pfrt. Opp.ct T1 T1 T1 T1 T1 T2 T2 T2 T2 T2 T3 T3 T3 01 02 03 04 05 01 02 03 04 05 01 02 03 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 89.54 72.30 78.50 65.90 82.30 89.54 72.30 78.50 65.90 82.30 89.54 72.30 78.50 0 0 0 3.18 0 0 0 0 3.18 0 0 0 0 T3 T3 T4 T4 T4 T4 T4 T5 T5 T5 T5 T5 04 05 01 02 03 04 05 01 02 03 04 05 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 65.90 82.30 70.25 9002 82.35 86.80 78.78 0 0 0 0 0 3.18 0 37.01 0 13.87 0 21.24 20.46 3.22 9.42 0 13.22 Maximized OBJ=340.56 其它专业表略。 4. 结果分析讨论 根据附表3.10的计算结果，我们可以归纳得到附表3.11。 附表3.11 某设计项目各专业人员工作安排表 人员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 采矿专业：综合素质评分合计最大值：340.36，平均：85.09 设计 89.54 78.5 82.3 检审 90.02 电气专业：综合素质评分合计最大值：267.29，平均：89.1 设计 93.5 85.64 检审 88.15 …… 附表3.11中空白格表示无此人或不安排该工作，有数字格表示此人安排该工作，其数字就是此人从事该工作的综合素质评分。全体30名参加项目人员的综合素质总分为2563.33分，平均为85.44分。 对以上结果分析如下： （1）从上面的讨论可以看到，应用运筹学原理，利用计算机技术，能够快速有效地选取各专业合适的人员进行设计工作或检审工作，从人员的选配方面保证保整个设计项目的工期和质量； （2）从各专业选派人员的综合素质平均评分来看，电气专业和土建专业较高，而技经专业和总运专业较差。这主要是因为电气专业和土建专业可选派人员较多，选择余地较大，而总运专业就没有选择余地，技经专业人员素质普遍较差。这一方面要求在该项目实施过程中，要对技经专业和总运专业密切关注，及时检查指导，保证整个项目的工期和质量。另一方面，也要抓紧抓好提高技经专业人员素质的工作，同时要优化电气专业、土建专业和总运专业的人员结构配置； （3）设计项目人员指派问题的优化的关键在于各专业设计人员从事设计或检审工作综合素质评价的准确性。综合素质评价工作要定期进行，要建立一套完整、客观、准确的综合素质评价体系。 有甲、乙、丙、丁、戊、己6名运动员报名参加A，B，C，D，E，F等6项比赛，下表显示的“*”是各运动员报名参加的比赛项目，问6个项目比赛顺序如何安排，可使每名运动员不连续参加两项比赛？ A B C D E F 甲 * * 乙 * * * 丙 * * 丁 * * 戊 * * 己 * * _1354446631.unknown _1354452492.unknown _1354446630.unknown