初二数学难题
初二数学难题篇一:2012年初二数学经典难题及答案
初二数学经典题型
1(已知:如图,P是正方形ABCD内点,?PAD,?PDA,150(求证:?PBC是正三角形(
证明如下。
首先,PA=PD,?PAD=?PDA=(180?-150?)?2=15?,?PAB=90?-15?=75?。
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ, 连接PQ, 则 ?PDQ=60?+15?=75?,同样?PAQ=75?,又AQ=DQ,,PA=PD,所以?PAQ??PDQ, 那么?PQA=?PQD=60??2=30?,在?PQA中,
?APQ=180?-30?-75?=75?=?PAQ=?PAB,于是PQ=AQ=AB, 显然?PAQ??PAB,得?PBA=?PQA=30?,
PB=PQ=AB=BC,?PBC=90?-30?=60?,所以?ABC是正三角形。
2.已知:如图,在四边形ABCD中,AD,BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、
F(求证:?DEN,?F(
证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM. 又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN?AD,?GNM=?DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM?BC,?GMN=?CFN;(2)
又AD=BC,则:GN=GM,?GNM=?GMN.故:?DEM=?CFN.
C D
3、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点(求证:点P到边AB的距离等于AB的一半(
证明:分别过E、C、F作直线AB的垂线,垂足分别为M、O、N, 在梯形MEFN中,WE平行NF 因为P为EF中点,PQ平行于两底 所以PQ为梯形MEFN中位线, 所以PQ,(ME,NF)/2
又因为,角0CB,角OBC,90?,角NBF,角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B,角Rt,角BNF CB=BF
所以?OCB全等于?NBF
?MEA全等于?OAC(同理) 所以EM,AO,0B,NF
F
所以PQ=AB/2.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且?PBA,?PDA(求证:?PAB,?PCB(
过点P作DA的平行线,过点A作DP的平行线,两者相交于点E;连接
BE
因为DP//AE,AD//PE
所以,四边形AEPD为平行四边形 所以,?PDA=?AEP 已知,?PDA=?PBA 所以,?PBA=?AEP 所以,A、E、B、P四点共
圆
所以,?PAB=?PEB
因为四边形AEPD为平行四边形,所以:PE//AD,且PE=AD 而,四边形ABCD为平行四边形,所以:AD//BC,且AD=BC 所以,PE//BC,且PE=BC 即,四边形EBCP也是平行四边形 所以,?PEB=?PCB 所以,?PAB=?PCB
5.P为正方形ABCD内的一点,并且PA,a,PB,2a,PC=3a正方形的边长( 解:将?BAP绕B点旋转90?使BA与BC重合,P点旋转后到Q点,连接PQ 因为?BAP??BCQ
所以AP,CQ,BP,BQ,?ABP,?CBQ,?BPA,?BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以?CBA,90?,所以?ABP,?CBP,90?,所以?CBQ,?CBP,90? 即?PBQ,90?,所以?BPQ是等腰直角三角形 所以PQ,?2*BP,?BQP,45 因为PA=a,PB=2a,PC=3a
所以PQ,2?2a,CQ,a,所以CP ,9a ,PQ ,CQ ,8a ,a ,9a 所以CP ,PQ ,CQ ,所以?CPQ是直角三角形且?CQA,90? 所以?BQC,90?,45?,135?,所以?BPA,?BQC,135? 作BM?PQ
则?BPM是等腰直角三角形
所以PM,BM,PB/?2,2a/?2,?2a 所以根据勾股定理得: AB ,AM ,BM ,(?2a,a) ,(?2a) ,[5,2?2]a
所以AB,[?(5,2?2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管,倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解:设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。
由题意得:
v2x
?
v8x
?t
解之得:x?
5v8t
5v8t
经检验得:x?是原方程解。
5v8t
?小口径水管速度为
,大口径水管速度为
5v2t
。
7(如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(,2,-1),且P(-1,,2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B( (1)
写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得?OBQ与?OAP面积相等,如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值(
1
解:(1)设正比例函数解析式为y?kx,将点M(?2,?1)坐标代入得k=,所以正比例函数解
2
图
析式为y=
12
x
2x
同样可得,反比例函数解析式为y=(2)当点Q在直线DO上运动时, 设点Q的坐标为Q(mm),
21
于是S?OBQ=而S?OAP=所以有,
1412
2
12
OB?BQ
1
1
创m22
m=
14
m,
2
(-1)?(2)=1,
m=1,解得m??2
所以点Q的坐标为Q1(2,1)和Q2(-2,-1)
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP,CQ,OQ,PC,
而点P(?1,?2)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值(
因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为Q(n),
n2
由勾股定理可得OQ2=n2+所以当(n-2n
)=0即n-2
4n
2
=(n-
2n
)+4,
2
2
2n
=0时,OQ有最小值4,
又因为OQ为正值,所以OQ与OQ2同时取得最小值, 所以OQ有最小值2(
由勾股定理得OP
OPCQ周长的最小值是
8.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且
PE=PB.
(1)求证:? PE=PD ; ? PE?PD;
(2)设AP=x, ?PBE的面积为y.
? 求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围; ? 当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.解:(1)证法一:
? ? 四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
? BC=DC, ?BCP=?DCP=45?. ? PC=PC,
? ?PBC??PDC (SAS).? PB= PD, ?PBC=?PDC.又? PB= PE ,
? PE=PD.
? (i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时, ? PB=PE, ? ?PBE=?PEB, ? ?PEB=?PDC,
? ?PEB+?PEC=?PDC+?PEC=180?,
? ?DPE=360?-(?BCD+?PDC+?PEC)=90?, ? PE?PD. )
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE?PD. (iii)当点E在BC的延长线上时,如图. ? ?PEC=?PDC,?1=?2, ? ?DPE=?DCE=90?,
D
B
C E
? PE?PD.
综合(i)(ii)(iii), PE?PD.
(2)? 过点P作PF?BC,垂足为F,则BF=FE. ? AP=x,AC=2, ? PC=2- x,PF=FC=BF=FE=1-FC=1-(1?? S?PBE=BF?PF=即 y??? y??? a??? 当x?
(1)证法二:? 过点P作GF?AB,分别交AD、BC于G、F. 如图所示. ? 四边形ABCD是正方形,
? 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形, ?AGP和?PFC都是等腰直角三角形.
? GD=FC=FP,GP=AG=BF,?PGD=?PFE=90?. 又? PB=PE,? BF=FE,? GP=FE,
? ?EFP??PGD (SAS).? PE=PD.? ? ?1=?2.
? ?1+?3=?2+?3=90?. ? ?DPE=90?.
? PE?PD.(2)?? AP=x,? BF=PG=? S?PBE=BF?PF=即 y??
? y??
1212x?x?
22
2222
(2?x)?1?x)=22
22x. 12x?
2
D
22
x.
222
x(1?x)??
22
x.
B F E
121212
x?x?
2
2
222
x(0,x,x??
12(x?
22
2).
2
)?
14
.
,0,
22
时,y最大值?
14
.
D
B F E C
22
x,PF=1-22
22
x. 12x?
2
222
x(1?x)??
22
x.
222
x(0,x,x??
12(x?
22
2).
2
)?
14
.
初二数学难题篇二:初中数学经典难题(含答案)
经典难题(一)
1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD?AB,
EF?AB,EG?CO( 求证:CD,GF((初二)
E
A B
D O F
2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,?PAD,?PDA,150(
A D 求证:?PBC是正三角形((初二)
C B
3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、
C2、D2分别是AA1、BB1、
CC1、DD1的中点(
A D
求证:四边形A2B2C2D2是正方形((初二) DAA1
1
C
B2 2
C
4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD,BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC
的延长线交MN于E、F(
求证:?DEN,?F(
B
1、已知:?ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O
(1)求证:AH,2OM;
(2)若?BAC,600,求证:AH,AO((初二)
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA?MN于A,自A及D、E,直线EB
及CD分别交MN于P、Q( 求证:AP,AQ((初二)
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、
EB分别交MN
于P、Q(
求证:AP,AQ((初二)
4、如图,分别以?ABC的AC和BC为一边,在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形
CBFG,点P是EF的中点(
求证:点P到边AB的距离等于AB的一半(
F
1、如图,四边形ABCD为正方形,DE?AC,AE,AC,AE与CD相交于F(
求证:CE,CF((初二)
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE?AC,且CE,CA,直线EC交DA延长线于F(
求证:AE,AF((初二)
E
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF?AP,CF平分?DCE(
求证:PA,PF((初二)
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于
B、D(求证:AB,DC,BC,AD((初三)
1、已知:?ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA,3,PB
,4,PC,5(
求:?APB的度数((初二)
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且?PBA,?PDA( 求证:?PAB,?PCB((初二)
3、Ptolemy(托勒密)定理:设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB?CD,AD?BC,AC?BD( (初三)
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且 AE,CF(求证:?DPA,?DPC((初二)
1、设P是边长为1的正?ABC内任一点,l,PA,PB,PC,求证:3?L,2(
2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA,PB,PC的最小值(
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA,a,PB,2a,PC,3a,求正方形的边长(
4、如图,?ABC中,?ABC,?ACB,800,D、E分别是AB、AC上的点,?DCA,300,?EBA,200,求?BED的度数(
初二数学难题篇三:数学八年级上册易错题难题整理含答案
2009—2010学年度第一学期期终检测
八年级数学试题(120分钟 120分)
一、选择题(把正确答案的代号填在下面对应的
格中,每小题3分,共30分)
3、下列说法中,?一组数据的中位数只有一个?一组数据的中
位数可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数 ?一组数据的众数可能有多个 ?一组数据的众数是这组数据中出现次数最多的数据的次数?一组数据的众数一定是这组数据中的数
正确说法的个数有( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、下列说法正确的有()
(1)数轴上的点不是表示有理数,就是表示无理数;(2)实数a的倒数是1 ;a
(3)带根号的数都是无理数;(4)两个绝对值不相等的无理数,其和、差、积、商仍是无理数。
,、1个 ,、2个 ,、3个 ,、4个
内容补充
一个数的平方=它本身这个数0,1
一个数的平方根=它本身这个数是0,1
一个数的算术平方根=它本身这个数是0,
一个数的立方等于它(来自:WWw.HnnscY.com 博文 学习 网:初二数学难题)本身,这个数是,1,0,1
一个数的立方根=它本身这个数是,1,0,1
6、一个自然数的算术平方根为m,则与这个自然数相邻的下一个自然数是( ) ,、m?1 ,、 m2?1,、m2?1 ,、m?
分析:此题注意审题
二、填空题
11、某市对全市3万名初中学生的视力进行了一次抽样调查,得到如图所示的统计图。在这次调查中,所选取样本的容量是;如果视力在4.9到5.1之间(含4.9与5.1)为正常,那么全市大约有 名初中生视力是正常的。
12、设的整数部分为a,小数部分为b,则代数式b(+a)的值等于。
根号9根号10根号16,所以3根号104,所以,a=3 b=【根号10-3】 所以,b(+a)=【根号10-3】【根号10+3】
所以利用因式分解的结果为1
13、比较大小:-
15、如图所示,AD,4,CD,3,?ADC,90?,AB,13,BC,12,该图形的面
积等于 .
16、已知x满足(x-1)=-
38,则
x= ; 27
?x?a17、若不等式组?的解集为x,a,则a与b的关系是 。
?x?b
注意等号
18、一个水池有甲、乙两个进水管。单独开甲管,6小时注满全池,两管同时开,3小时注满全池。如果设单独开乙管x小时注满全池,由此得到方程 。
二、填空题
11、240,7500; 12、113、,,, 14、4+7或4-7
15、24 16、-21111
3,y?2 17、a?b 18、6+x=3
三、解答题
20、(每小题4分,共16分)计算:
(1)因式分解 题略【注意区别计算,结果要逐步考察】
(2)已知?a?b?2=9,?a?b?2=49,求a2+b2和ab的值。
解:(2) 由 ?a?b?2=9得:a2+b2+2ab=9?
由?a?b?2=49得:a2+b2-2ab=49 ?
?+?得:2(a2+b2)=58 ?a2+b2=29
?-?得:4ab=-40?ab=-10
(3)已知1xy2x?3xy?2y=-,求的值。 3x?yx?2xy?y
由1xy=-得:x-y=-3xy 3x?y
?2x?3xy?2y2(x?y)?3xy= x?y?2xyx?2xy?y
=?6xy?3xy?3xy3== ?3xy?2xy?5xy5
x?14=无解,求a的值。 x?aa?x(4)已知分式方程
去分母得:x+1=-4 解得:x=-5
?方程无解 ?x-a=0即:-5-a=0 解得:a=-5
22、(本题6分)一商场将一种进价是800元的商品以标价1200元出售,后由于商品积压,商场决定打折出售,但必须保证这种商品的利润率不低于5%。问最多可打几折出售,
解:设最多可以打x折。根据题意得:
1200x?800?5%800
7解得:x?10
?最多可以打7折。
23、(本题12分)如图?,PB和PC分别是?ABC的两条内角平分线;如图?,PB和PC分别是?ABC的内角平分线和外角平分线;如图?,PB和PC分别是?ABC的两条外角平分线。
(1)已知?A=500,在图?中分别求?BPC的度数。
如图?:?PB和PC分别是?ABC的两条外角平分线
??PBC+?PCB=11(?DBC+?ECB)=(?A+?ABC+?A+?ACB) 22
1=(1800+?A)=1150 2
??BPC=1800-(?PBC+?PCB)=650
(2)在图?中探求?BPC与?BAC的数量关系,并加以说明。
如图?:?BPC=1?A 2
证明:?PB和PC分别是?ABC的内角平分线和外角平分线
且?ACD=?A+?
ABC