二项展开式中系数最大值问题的探究学习

二项展开式中系数最大值问题的探究学习 浙江省诸暨市草塔中学 何 勇 鲁芝珍 311812 倡导“积极主动、勇于探索的学习方式”是新课程所提出的一项基本理念，二项式定理中经常出现一类求二项式系数最大值的问题,除了搞清楚某一项的二项式系数与系数的区别以外,还要对一些常见的系数最大值问题进行探求分析。笔者对二项展开式中系数最大值问题进行了探究教学的尝试。 1103问题、求(+)展开式中系数最大的项。 x5y 师:本题小括号内的项看似复杂,既有三次和五次根式,又在分母中含有变量,请思考展开式中各项系数与二项式系数的关系。 13生:因为小括内的两个项和本身的系数为1,所以展开式中每一项的系数都等于x5y 该项的二项式系数,而展开式中中间项的二项式系数最大,故只需求二项式系数最大项即可。 解:由题，二项展开式的系数即该项的二项式系数，所以系数最大的项为第6项，即 51,155533x,yT==252。 C,(x)()6105y 9探究1、求()展开式中系数最小的项。 x,y 师:本题小括号的项的系数与上题有何区别, ,1生:本题小括号的两项的系数分别为1和，故展开式中奇数项的系数等于该项的二项式系数，而偶数项的系数等于该项的二项式系数的相反数。即每一项的系数与该项的二项式系数的绝对值相等。 解:由题，二项展开式的系数与该项的二项式系数的绝对值相等，而展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，且第5项的系数为正，第6项的系数为负，故展开式中系数 54545最小的项为第6项，即T=C,x(,y)=。 ,56x,y69 4探究2、求(1+2x)展开式中系数最大的项。 师:可以发现，本题中小括号内两项的系数与二项式系数既不相等也不相反，该如何来求系数最大的项, 生:„„ 1 师:该题显然不能按上述两题的方法直接转化成二项式系数，我们可以尝试应用“夹逼法”求解。 rr解:设展开式中的第r+1项为T= (r=0,1,„4)， C,(2x)r+14 rrr,1r,1,C,2,C,244,令——? ,rrr，1r，1,C,2,C,2,44 rr,1,,,4!24!210,,r,,,r!,(4,r)!(r,1)!,(5,r)!,,3即得， ,,rr，174!,24!,2,,r,,,,3,r!,(4,r)!(r，1)!,(3,r)!, 33332x故r=3，即第四项的系数最大，T==。 C,(2x)44 探究3、:由?式求解系数的最大值时的r一定有解吗,如果有解，会有几个解,你能证明吗, 生1:可能会有多个解，比如有可能第3项比第2项和第4项的系数大，第6项比第5项和第7项的系数大„„ 生2:可能会无解，比如各项的系数依次减小或依次增大时，这样的r就不存在。 n师:那我们不妨对一般结论加以证明，例如求(1+ax)展开式中系数最大的项(其中a>0).请同学们按照夹逼法的思想进行探求。下面由同学们自己思考。 rr解:设展开式中的第r+1项为T= C,ar+1n an,1a1,,rrr,1r,1r,,,,C,a,C,a,nn,,,a，1rn，1,r令，展开得，即 ,,,rrr，1r，1an，a1a,CaCa,,,,,nn,r,,,,n,rn，1a，1,, an,1an，aan,1an,1an，aan，a,r,,a>0, >,故，又=1， ？？a，1a，1a，1a，1a，1a，1 an,1an,1an，aan，a上述方程组必有解，且当和都为整数时，r有两解:、，？a，1a，1a，1a，1否则r有且只有一解。 101,2x探究4、求()展开式中系数最大的项。 ,2师:本题小括号中第二项的系数为,所以各项的系数与二项式系数不同且展开式的项呈正负相间变化，与上题又有区别，又该如何求解呢, rr生一:用“夹逼法”。设展开式中的第r+1项为T=C,(,2x) r+110 2 rr,1,10!,(,2)10!,(,2),rrr,1r,1,,C,(,2),C,(,2)r!,(10,r)!(r,1)!,(11,r)!,,1010令,即„„ ,,rr，1rrr，1r，1,C,(,2),C,(,2)10!,(,2)10!,(,2),1010,,,r!,(10,r)!(r，1)!,(9,r)!, rr，1师:若将此式展开化简，则由于r的奇偶性不确定，所以、等的正负性，，，，,2,2不定，而且由于项的正负相间，会有多个满足条件的r，故此法不可取。 生二:既然根据思路一直接用“夹逼法”不可行，是因为项正负相间。因为展开式的奇数项为正，偶数项为负，故系数最大的项必为奇数项，即r为偶数。 rrr,2r,2,C,(,2),C,(,2),1010， 设r为偶数，令,rrr，2r，2,C,(,2),C,(,2)1010, rr,2,10!,210!,2,,r!,(10,r)!(r,2)!,(12,r)!,即， ,rr，210!,210!,2,,,r!(10r)!(r2)!(8r)!,,，,,, 41,,,r(r,1)(12,r),(11,r),即„„ ,14,,,(10,r)(9,r)(r，2),(r，1), 师:上述不等式组中的两个不等式都是二次不等式，虽然理论上可以求出满足条件的r,但求解过程较繁。 生三:由变式1想到项r与项的绝对值之间的关系，于是不妨先求绝对值最大的项。 rrrrr，1r，1rr解:T=C,(,2x)，令a=C,2，令a>a,即C,2>C,2,rN,r,6,？,？r+1rr+1r10101010 8866即rr>r>r,又r=7时系数小于0，故只要比较C,2和C,2的大小， 68866x求得C,2小结

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