整体原理的应用——“配对”解题
整体原理的应用——“配对”解题
雅安教育学院院刊
整体原理陶廑阐
“配对”解题
整体原理是系统论的基本原理之一,该
原理说的是:”组成整体即系统的各部分都是
相互联系,相互影响,相互制约的;任何系
统整体的功能不等于各孤立部功能之阳.”
恩格斯把各部分的总:阳认为是一种”新的力
量”,井说:这件力量午口它的一个个力量的
总和有本质的差别”?我们常用的一些解题
技巧,如削弱条件,扩大范围,一般化,抽
象化等,从系统论的观点看来都是为了获取
整体效益,追求整体功能大于孤立部分功能
之和.本文仅就整体原理的又一应用一一”配
对解题作些介绍.
铡l求值:Sin22.Cos68.+Sin8”Sin52
解:设M=Sin22.Cos68.+Sin8.Sin52,
N—Cos22.Sin68+Cos8.Cos52.,
则M+N=Sin90.+Cos44.一1+Cos44.?
N—M=Sin46.+Cos60.;妻+c0s44.?
?减去?得:2M={,.?.M一?
例2求值:C.s专c.s毒c.s……C.s毒
解;设M=coS吾c.s嘉-..…Cos.
N=Sin吾sin吾……sin熹,
则MN一sinxSin吾……sn
一
!s专sin季……Sin2”Sin羔
一N
2Sin
?
贺泰安?
?N~0.M=
2Sin
由于配了对,以上两题就可应用和角,
„倍角公式,充分体现丁整体功能.
例3:解方程
-f}+()一
解:设u一()
v一
()
则u+v=4,UV=1
:.iu=.
2
…+CY3或3.x=士2,经检验,它们都是原方程的根.
此题本身中显含成对根式,因而配对解
题就是十分自然的了.
例4求值;
l.g(?6+4/—一~,6—4/2)
Io,
,r
(V/6+4+?6—4/)
解:设
M=log(46+4一06—
N=log(?6+4+?6—4/)
则M+N=log8~/2—7
M—N=log去一一l
.M一3,N一4
此题是78年成部市敏学竞赛题-原解答
分别直接化简计算.较繁配对解题从整悼
考虑,简捷,明快,且叉同时得出二式之值,
真是一箭双雕!
雅安教育学院院刊1994年第l期
例5化简:
[『+[
解:设
,N— M—
qI2
2
1一q12
2
则M+N—lMN:一,/6
.原式一[(M+N)一2MN3一2(MN).
一
(1+厂)一3
=4+2/百
此题的解答使”整体原理的思想发挥
得淋漓尽致l
例6x,是方程x一x一1—0的两恨,不
懈方程,求代数式
解
xi+3x2一xl+1的值
设M—x{+3x2一Xl+1
N—x;+3x1一x2+1
则M+N=x}+x;+3(x1+X2)一(x1+X)+2
一
(x1+x2)一2xl2+2(xl+x!)+2
—
7(1)
M—N=X{一X{+3(x2--K1)一(xl—x2)
一
(x1--X2)(x1+X2)一4(xl--X2)
=
(xl—X2)E(x】+x2)一4)
„
.?(x】一)一(x1+)--4x-X2—5
.
(x】一)一士/5
.
.
.
M—N-4-35(2)
(1)加(2)得:M:7”_3~/5
此题若不配对.则寸步难行
由例l,例2可以看出:正弦函数和余弦
函数可”配对解三角题,联想到复数的三角
式:z—r(Cos0+iSin0)恰好含有正弦和余弦
函数,因此,利用复数的三角式可为证三角恒
等式开辟更广阔的领域,正是”配对”解题的
整体思想使人耳目一新!
倒7证明正,余弦的和角公式
证明;设zl—Cosaq—iSina,z:一Co郎+jSnp
„
】?2一Cos(?+8)+iSin(?+p)
另一方面,z】?2:(CosaCos一SinaSinf1)+i
20
(CosBsina+CosaSin~)
分别比较其实部和虚部,得;
Cos(?+B)=CosaCosO--SinctSinl~
Sin(?+)一sinaCosp+C0s?sjnp
例8证明正,余弦的倍角公式
证明:设z=Cosa+iSina
则有:z-二Cos2e+iSin2a
但又有:一(Cosa+iSina)一(Cosa—
Sin.?)+i2SinaCosa
...Cos2a=COS?一Sin?.
Sin2a一2SinaCOSa
同理可证明;
Cosna—Cosa-C~Cos.aSin?+CACos叫?
Sin??……
Sinna—C.CosaSina—CCosaSina+
C0s?aSin?a……
例9如口+口+7一?
求证:
Sino.Sinl3Sin7=~-(Sin2.a+~n2O+Sin2T)
CosaCospCos一一1一i1(c.s2a+cOS2p+
Cos2T)
证明:设zl=Cosa+iSina
z2=Cos~+iSinO
z==CosT+iSinT
...z】-2-za—Cos(?+8+)+iSin(?++
)一一l
但又有:(CosaiSina)(Cos~iSin口)(Cost
+iSinT)一(c0s?c0spCos7一Sin?Sinpc0一
SinaSinTCos~一SnBsinTCosq)+i(一
SinaSinflSinT+CosaCos~Sin7+
Cos~Cosina+CosaCosTSinf1)
分别比较实部和虚部得:
CosaCos~CosT一一1+SinaSinl3CosT+
SinaSin?/CosO+SinBSinTCosa
一一
1{(Sin?.sinp+
Sin)
一一一一
1(c
.s2n+cOS2
-
COS2T)
雅安教育学院院刊1994年第1期
SinaSi~l~in?t=Cos~CospS+C.sBC.sSin口
+Cos~CosaSinfl
=
音(Coginp+CosYSinY+
Cos~Sina)
~(Sin2q+Sinz~+sin27)
f
倒10计算Je”Sinhxdx
『
解:设A;Je”Sinbxdx
B—je”c.sbxdx
『
则B+Ai—Je”(Cosbx+iSinbx)dx
;
Jc一d
„
一e”“h
=
等{e*E(Cosbsinbx)
一
,
eLE
f~(aCosbx+bSinbx)+i
(aSinbx--bCosbx)]
分别比较实部和虚部得:(结果中略写丁
任意常数c)
A—(aSinbx--bCosbx)
B一(aCosbx+bSinbx)
在解题中同时得出了B的值,这是可贵
的副产物!
例1O求和:1+c.s0+c.s20+……+ConnO
解:令z~CosO+iSin0
则—COSnOiSinn0
但1zTz+……+zn一:
l—z
-..1+(CosO+iSin0)+(Cos20+iSin20)+
……
+(Cosn0+iSinnO)
l一[COS(n+1)0---iSin(n+1)03
l一(CosO_LiSinO)
即:(1+Cos04-Cos20+……+Cosn0)+i
(sinO+Sin20--……+Sinn0)
[1一(二os(n+1)0一iSin(n+1)03(1--CosO+iSin0)
(1--CosO)+Sin0
f(0)”8)
0
其中:f(0)=[1一Cos(n+1)03(1--Cos日)+
Sin0Sin(nT1)0+;:SinOC1一Cos(n+1)03一
(I—CosO)Sin(n+I)e}
-._1十CosO+Cos28+……+Cosn0
fl21
=Re1导f
sin+Sin(n+丢).
2Sin导
同时,我们还可求出:
SinO+Sin2t9+……+SinO
f_f)_,1
一
1&nz导f—C..
2Si昙
(-It任煽辑刘景礼)
(上接第16页)途径.近年来,许多地方
由于党和国家宗教政策的贯彻落实.不少宗
教组织,宗教人士关心支持教育工作,为促进
学龄儿童入学,改善办学条件,促进当地的教
育事业的发展发挥了积极作用.这充分说明
当地行政部门,学校领导处理好了教育与宗
教的关采.但局部地方由于把宗救当成一无
是处的迷信,领导干部忽褪宗教与教育的关
系.出现了令人不满的情况.孤立宗救.结果
给自己的工作设置了障碍应该利用宗教组
织与宗教人士在群众中的特殊影制,健进教
育的顺利发展.这些力量参与教育工作后,学
校应当注意摆正社会主义的办学方向.将德
育教育摆在首要的任务不能放松.保护青
少年的键康成长,保证国家教育方针的贯彻
执行.
(本文怍苔系我院”甘孜州中学睦长培训
班”学员)
(责任编辑许忠江)