[最新]一维势阱和势垒题目

[最新]一维势阱和势垒题目 ?15-4一维势阱和势垒问题 上一节我们简要地阐述了量子力学的一些基本概念和基本原理,这些概念和原理都在一维无限深方势阱、势垒和一维谐振子等问题中以最简单的形式现出来,所以本节和下一节的可以看作为量子力学概念和原理的具体应用。同时,一维无限深方势阱是金属中自由电子的一个简化模型,是解释金属物理性质的基础,一维谐振子则是处理黑体辐射、晶格振动等多种物理问题的基础。 一、一维无限深方势阱 所谓一维无限深方势阱,就是粒子在势阱中的势能为零,而在势阱外势能等于无限大,即 (15-44) 这样,粒子就被限制在x=0和x= a两点之间的无限深的平 底深谷中运动,如图15-1所示。 因为势能u(x)与时间无关,所以这是定态问题,可以用定态 薛定谔方程求解。在势阱内u(x) =0,哈密顿算符的形式成为 图15-1 ,定态薛定谔方程可写作 ,(15-45) 令 , (15-46) 方程(15-45)的解可以表示为 , (15-47) 式中a和,是积分常数,应分别由归一化条件和边界条件确定。 粒子不可能穿越阱壁而到达阱外去,所以在阱壁和阱外波函数应为零。根据,可以确定,= 0或m ,,m =1,2,3,,,,。于是,式(15-47)可以写为 . 根据,可以得到 ka = n ,, n = 1,2,3,…(15-48) 于是归一化波函数可以表示为 (15-53) 由式(15-46)和式(15-48)可以得到 (15-49) 其中任意一个能量值e,都是能量的本征值,由式(15-49)所表示的整套能量本征值,就是系统的能n 谱。显然,一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这个分立的能谱就是量子化了的能级。粒子的最低能量状态称为基态,就是n = 1的状态,基态的能量为 . (15-50) 此本征值能量称为零点能,是束缚在无限深方势阱内的粒子所具有的最低能量。既然量子系统具有零点能,就必定存在零点运动。这一结果与经典物理学概念相矛盾,经典物理学的结论是当系统的温度达到绝对零度时,一切运动都将停止,能量变为零。 图15-2中画出了对应于能量本征值e、e、e3和e4的波函数,、,、,3和,4,以及相应的概率1212 密度、、和。>>>>详细说明 二、势垒穿透和隧道效应 从上面对无限深方势阱的讨论我们已经看到,无限高的势垒把粒子完全束缚在阱区之内。现在让我们看一下,有限高的势垒是否也能把粒子束缚住。 有一如图15-3所示的方形势垒,具有下面的形式 当能量为e(答案

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