c椭圆——椭圆的方程
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程 【知识提要】
1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程3、椭圆的几何性质: 【例题讲解】
22例1、(1)的长轴长为 ; cmxmy:(1)1,,,
22xy22(2)圆和椭圆总有交点,则的取值范围为 ; ,,1a()9xay,,,94
25例2、(1)求短轴长是,且经过点的椭圆的标准方程。 (3,,2)
(2)求长轴长是短轴长2倍,且过点(4,3)的椭圆的标准方程。
(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴,两焦点与短轴一个端点组成正三角形,焦点到椭圆的最
3短距离为,求此椭圆的标准方程。
22xyP,,1例3、已知椭圆,为其上的点,是两焦点, F,F12259
,(1) 若,求的面积; ,FPF,,FPF601212
,FPF(2) 若为钝角,求点横坐标的取值范围; P12
1
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程
(3) 设是过椭圆的中心的弦,是椭圆的一个焦点,求?的面积的最大值。 ABFFAB11
ABC例4、(1)已知的周长为20,且,求点A的轨迹方程。 ||6BC,
22(2)已知圆,动圆经过点且与已知圆相内切,求圆心的轨A(3,0),xyx,,,,6550M
迹方程。 M
22xyO,,,,1(0),,abFF例5、设椭圆方程分别为左右焦点,为椭圆上一点,以为圆P1222ab
O心,为半径作圆,以为直径作圆, FPOa21
O(1) 若为椭圆右顶点,判断圆与的位置关系; OP1(2) 若为椭圆上任意一点,判断(1)的结论是否成立。 P
【归纳小结】
1、主要方法
?待定系数法求椭圆标准方程;
bac?利用、、的几何意义求解;
?焦点三角形问题借助正(余)弦定理求解。 2、易错、易漏点:
ab,,0||FF椭圆的定义:常数大于;标准方程中,总有。 12
2
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程
【课后练习】
1、椭圆的对称轴在坐标轴上,长轴是短轴的2倍,且过点(2,1),则它的方程是_____________;
22222、已知圆和椭圆总有交点,则的取值范围为 ; (1)xyr,,,xy,,44r
22xyb,c3、已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是 ; ,,1(a,b,0)c22aab
22yx4、已知F、F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M、N两点,则?MNF21169
的周长为____________;
22yx5、已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F、F,点P在椭圆上,若P、F、F2是一个直121169
角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为___________;
,ABC6、设A(-2,0),B(2,0),的周长为10,,则动点C的轨迹方程为 ;
22xy7、P为椭圆上任意一点,为其焦点,则 。 ,,1FF,(),,FPF1212max34
228、已知圆C:和定点A(2,0),动点P在圆上,AP的中垂线与直线CP(x,2),y,25
交于点Q,求Q点的轨迹方程。
3r9、已知两圆内切于A,?的半径为,?的半径为,动圆M与?外切 O,OOOOr12121
于Q,与?内切于P,求动圆圆心M的轨迹方程。 O2
22yx,,1l:x,y,9,010、已知椭圆和直线,在直线上取一点M,经过M点且以椭圆的焦123
点为焦点作另一椭圆,问M在何处时所作的椭圆的长轴最短,并求出此椭圆方程。
3
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程
11、已知椭圆C的焦点为,P为椭圆C上一点,且是,F,,t,0),F(t,0)(t,0)|FF||PF||PF|121212的等差中项,
?求椭圆C的方程;
?如果点P在第二象限,且=120?,求; tan,FPF,PFF1212
?设A是椭圆C的右顶点,在椭圆C上是否存在点M(不同于点A),使=90?。若存,FMA1在,请求出点M的坐标,若不存在,请
理由。
4
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程 【知识提要】
1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程3、椭圆的几何性质: 【例题讲解】
122例1、(1)的长轴长为 ; 2,cmxmy:(1)1,,,m
22xy22(2)圆和椭圆总有交点,则的取值范围为 ;[-6,6] ,,1a()9xay,,,94
25例2、(1)求短轴长是,且经过点的椭圆的标准方程。 (3,,2)
22xy ,,1510
(2)求长轴长是短轴长2倍,且过点(4,3)的椭圆方程。 2222xyxy,,,,1,1 73521373
4
(3)已知椭圆的对称轴是坐标轴,两焦点与短轴一个端点组成正三角形,焦点到椭圆的最
3短距离为,求此椭圆方程。
2222xyxy,,,,1,1 129912
22xyP,,1例3、已知椭圆,为其上的点,是两焦点, F,F12259
,(4) 若,求的面积; ,FPF,,FPF601212
33
,FPF(5) 若为钝角,求点横坐标的取值范围; P12
5757[,], 44
5
第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程
(6) 设是过椭圆的中心的弦,是椭圆的一个焦点,求?的面积的最大值。 ABFFAB11
S,12max
ABC例4、(1)已知的周长为20,且,求点A的轨迹方程。 ||6BC,
22xy ,,,1,0y4940
22(2)已知圆,动圆经过点且与已知圆相内切,求圆心的轨A(3,0),xyx,,,,6550M
迹方程。 M
22xy,,1 167
22xyO,,,,1(0),,abFF例5、设椭圆方程分别为左右焦点,为椭圆上一点,以为圆P1222ab
O心,为半径作圆,以为直径作圆, FPOa21
O(3) 若为椭圆右顶点,判断圆与的位置关系; OP1(4) 若为椭圆上任意一点,判断(1)的结论是否成立。 P
内切,成立。
【归纳小结】
1、主要方法
?待定系数法求椭圆标准方程;
bac?利用、、的几何意义求解;
?焦点三角形问题借助正(余)弦定理求解。 2、易错、易漏点:
ab,,0||FF椭圆的定义:常数大于;标准方程中,总有。 12
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第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程 【课后练习】
1、椭圆的对称轴在坐标轴上,长轴是短轴的2倍,且过点(2,1),则它的方程是____
2222xyxy4_________; ,,,,1,1821717
22222、已知圆和椭圆总有交点,则的取值范围为________(1)xyr,,,xy,,44r2_; [,9]3
22xyb,c3、已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是___ ; ,,1(a,b,0)c(1,2]22aab
22yx4、已知F、F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M、N两点,则?MNF21169
的周长为____16________;
22yx5、已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F、F,点P在椭圆上,若P、F、F2是一个直121169
9角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为___________; 4
22xy,ABC,,,1(0)y6、设A(-2,0),B(2,0),的周长为10,,则动点C的轨迹方程为____; 95
22xy,P,,17、为椭圆上任意一点,为其焦点,则 。 FF,(),,FPF1212max334
228、已知圆C:和定点A(2,0),动点P在圆上,AP的中垂线与直线CP(x,2),y,25
交于点Q,求Q点的轨迹方程。
2244xy,,1 259
3r9、已知两圆内切于A,?的半径为,?的半径为,动圆M与?外切 O,OOOOr12121
于Q,与?内切于P,求动圆圆心M的轨迹方程。 O2
22xy,,,,1(2)xr 2243rr
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第四十六讲 椭圆(1)——椭圆的方程
22yx10、已知椭圆和直线,在直线上取一点M,经过M点且以椭圆的焦,,1l:x,y,9,0123
点为焦点作另一椭圆,问M在何处时所作的椭圆的长轴最短,并求出此椭圆方程。
22xy ,,14536
11、已知椭圆C的焦点为, P为椭圆C上一点,且是,F,,t,0),F(t,0)(t,0)|FF||PF||PF|121212的等差中项,
?求椭圆C的方程;
22xy,,1 2243tt
?如果点P在第二象限,且=120?,求; tan,FPF,PFF1212
75 11
?设A是椭圆C的右顶点,在椭圆C上是否存在点M(不同于点A),使=90?。若存,FMA1在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由。
不存在
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