第一课、定义新运算
我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外,还会有什么别的运算吗?现在我们就来研究这个问
。这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
一、定义
1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号
示的一种特定运算形式。
注意:(1)解决此类问题,关键是要正确理解新定义的算式含义,严格按照新定义的计算顺序,将数值代入算式中,再把它转化为一般的四则运算,然后进行计算。
(2)我们还要知道,这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号,如:*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
(3)新定义的算式中,有括号的,要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:
(1)认真审题,深刻理解新定义的内容;
(2)排除干扰,按新定义关系去掉新运算符号;
(3)化新为旧,转化成已有知识做旧运算。
二、初步例题诠释
例1、 对于任意数a,b,定义运算“*”: a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解:根据题目定义的运算
,直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32
例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。
分析与解:该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和,再算后面的商。这里a代表数字8,b代表数字5。
8 ★ 5 = (8 + 5)÷ 5 = 2.6
例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎(9◎2)。
分析与解:根据定义,要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎(9◎2)=6◎[9×2-(9+2)]=6◎7=6×7-(6+7)=42-13=29
例4、如果1Δ3=1+11+111;2Δ5=2+22+222+2222+22222;8Δ2=8+88。求6Δ5。
分析与解:仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字,而加数分别是一位数,二位数,三位数,……“Δ”后面的数字是几,就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。
6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
例5、如果
2=1×2×3,3=2×3×4,4=3×4×5,……
计算(-)×
分析与解:该题看上去比较复杂,但仔细观察,我们可以发现,该题被定义为X=(X-1)×X×(X+1)。由于把数代入算式中计算比较麻烦,我们可以先化简算式后,再计算。
(-)× = ×-×
=-× =(1-)
= ×(1-)
=×(1-) =× =
例6、规定a▲b=5a+ab-3b。求(8▲5)▲X=264中的未知数。
分析与解:根据新定义,应该先计算括号里面的,再计算括号外面的,然后解方程即可。
(8▲5)▲X=264
(5×8 + ×8×5-3×5)▲X=264
45▲X=264
5×45+×45×X-3X=264
225+X-=264
225+X=264
X=39
X=2
课堂练习
【1】A,B表示两个数,定义A△B表示(A+B)÷2,
求(1)(3△17) △29;(2)[(1△9) △9] △6。
【分析与解】定义新运算符号“△”表示A△B=(A+B)÷2,即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值.如:3△17=(3+17)÷2=10,再用10与29做运算,10△29=(10+29)÷2=19.5
(1)原式=[(3+17)÷2] △29 (2)原式={[(1+9)÷2] △9}△6
=[20÷2] △29 =[5△9] △6
=10△29 =[(5+9)÷2] △6
=(10+29)÷2 =7△6
=39÷2 =(7+6)÷2
=19.5 =6.5
【2】已知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=3702.
求:(1)3*3;(2)4*5;(3)若1*x=123,求x.
【分析与解】观察两个已知等式可以发现,“*”定义的是连加运算,第一个加数是“*”前边的数,且后一个加数都比前一个加数多一位,但数字相同,而“*”后边的数恰好是加数的个数。
(1)3*3=3+33+333=369
(2)4*5=4+44+444+4444+44444=49380
(3)提示:因为1* x=1+11+111+…=123
所以倒着算:123-1=122 122-11=111 111-111=0
即:1+11+111=1*3=123
从而可知x=3
【3】设A⊕B=2×(A+B)-2×(A÷B),
计算:(1)(12⊕4)⊕13; (2)70⊕(18⊕4)。
【分析与解】观察已知等式可知:“⊕”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。如:12⊕4=2×(12+4)-2×(12÷4)=26
(1)原式=[2×(12+4)-2×(12÷4)] ⊕13
=[2×16-2×3] ⊕13
=26⊕13
=2×(26+13)-2×(26÷13)
=2×39-2×2
=78-4
=74
(2)原式=70⊕[2×(18+4)-2×(18÷4)]
=70⊕[2×22-2×4.5]
=70⊕35
=2×(70+35)-2×(70÷35)
=206
【4】小辉用电脑
了A,B,C,D四种装置,将一个数输入一种装置后,会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5;装置B:将输入的数除以2;装置C:将输入的数减去4;装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接,如果装置A后面连接装置B,就写成A·B,输入1后,经过A·B输出了3.那么,输入9,经过A·B·C·D输出几?
【分析与解】A·B·C·D=[(9+5)÷2-4]×3=9 所以输出的是9
【理一理】
新定义运算注意的问题:
(1)新定义运算一般不满足运算定律
如:a△b≠b△a a△(b△c) ≠(a△b) △c
(a*b) △c≠(a△c)*(b△c)
(2)“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号,完全符合四则运算顺序.
家庭作业
1、规定a*b=4a-3b,计算:(1.5*0.8)*0.5
2、设a,b都表示自然数,规定a☆b=3a+b÷2,计算:
(1)5☆6 (2)6☆5
(3)2☆(3☆5) (4)(2☆3)☆5
3、规定3*5=3+4+5+6+7,5*4=5+6+7+8,…按此规定计算:11*5
4、如果1=1!,1×2=2!,1×2×3=3!,…1×2×3×4×…×99×100=100!那么1!+2!+3!+4!+…+100!的个位数字是几?
5、狼和羊在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号“△”表示:羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△狼=狼。
以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了,小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算,用符号“☆”表示:羊☆羊=羊,羊☆狼=羊,狼☆羊=羊,狼☆狼=狼。
这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊,狼和狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼和羊在一起时,它便被羊赶走而剩下羊了。
对羊和狼,可以用上面规定的运算做混合运算,混合运算的法则是从左到右,先算括号内的,运算的结果或是羊,或是狼。
求下列结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
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