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应用逻辑学文档.doc 应 用 逻 辑 学 山东大学副教授 马士岭 2011-9 第一章 绪论 主要内容: 第一节， 逻辑的词义 第二节，逻辑的发展 第三节逻辑的研究对象 第四节，对象语言和元语言 第五节，逻辑的意义 第一节 逻辑的词义 汉语的“逻辑”一词来自英文“logic”的音译。 “逻辑”一词源于希腊文“λ?γος”(逻格斯)，其语义十分丰富，既指 “规 律”、“思想”、“理性”又有“言辞”、“语句”等含义。 亚里士多德也使用“学”的概念 ，M.T西塞罗是最早使用“λογιχ ο”指逻辑的，大约在中世纪，逻辑学家才用logica，到了近代西方才通 用logic示逻辑。(周云之著《名辩学论》2-3页) 在《穆勒名学》这部著作中严复对“逻辑”一词有如下的解释:“逻辑此翻 译名学，其名始于希腊，为逻格斯一根之转，逻格斯一名兼二义，在心之 意，出口之词皆以此名。引而伸之，则为论为学，……，本学之逻格斯是 学为一切法之法，一切学之学，可以知其学之精深广义矣，姑以名学译 ……，名学，思议之学、之术也”(严复《穆勒名学》)。 之。 中国的“逻辑”。主要是以墨家和公孙龙为代表的“名学”、“辩学”思想。这 些思想包括“名”、“辞”、“故”、“说”和“辩”的理论。如果做一个比较，它 们分别对应于今天逻辑学中的“概念”、“命”、“推理”和“论证”的理论。 在古印度的文化中也产生了他的逻辑思想，我们今天称之为“因明学”。因 1 明也是音译，“因”的意思是原因、理由、依据，“明”的意思是知识、学术、 智慧。“因明”就是关于推理、论证的学说。在唐朝时期，玄状把印度佛教 经典中的逻辑理论翻译成《因明正理门论》和《因明入正理论》，因此这 一个语词就成了指称印度逻辑理论的专门语词。 除了“名学”一词外，还有“辩学”、“名辩学”、“理则学”、“论理学”、“名 理学”等，这些大都是用中国的逻辑思想去诠释西方的“逻辑”含义。 “逻辑”一词的主要涵义有四种: 在现代汉语中，“逻辑”一词的主要涵义有四种: ?， 指客观事物的发展规律。 ?，指一种观点、思想方法和理论。 ?，指人的思维的规则和规律。 ?，指逻辑的科学即逻辑学。 例如 辛亥革命是太平天国之后合乎逻辑的必然结果 把鸦片战争说成是推动中国生产力的解放是一种彻头彻尾的强盗逻辑 这个人的话历来是颠三倒四不讲逻辑 马克思尽管没有给我们留下逻辑著作，但是他留下了资本论 第二节，西方逻辑学的发展 古希腊是逻辑学形成的时期。在亚里士多德(公元前384-前322)之前， 逻辑思想的发源可以追溯到毕达戈拉斯学派，智者学派，但是他们没有保 留下可考的史料，我们只是在柏拉图和亚里士多德的著作里才知道他们的 信息。在古希腊，有据可考的对逻辑学有巨大贡献的人或学派有四个: 首先是亚里士多德和逍遥学派。 其次是麦加拉—斯多葛学派，他们为传统逻辑贡献了复合命题的逻辑理 论。 第三个重要的派别是伊壁鸠鲁学派。据说他著有逻辑著作《准则学》，研 究真命题的构成和真的标准问题。 2 还有一个对逻辑学有重大贡献的人是欧几里德。他的《几何原本》既是一 部伟大的数学著作，也是一部伟大的逻辑著作。 中世纪时期(公元5—15世纪)， 这是从罗马帝国灭亡到文艺复兴的一段漫长的历史时期。众所周知，这是 神学占领思想领域的统治地位的时期，逻辑学，当然是亚里士多德的三段 论成为证明上帝存在的工具，尽管这个时代的创造性已经不复存在，但是 逻辑学仍然得到一定的发展。其中主要的人物有:彼得?阿伯拉尔 (1079-1142)，罗伯特?阿伯拉尔(1193-1280)，威廉?奥卡姆(,-1349) 等。他们对于命题的范畴词、意义，实质指代(相当于语词的提及)和形 式指代(相当于语词的被使用)，推理关系，命题逻辑推理及其规律的发 现等等，都有新的发现或发展。 近代的逻辑 近代的逻辑历史是从文艺复兴开始的(16世纪-17世纪)，其中最重要的 贡献是古典归纳逻辑被弗兰西斯?培根、约翰?斯图亚特?穆勒建立起来。莱 布尼茨试图突破亚里士多德的逻辑限制，初步设想了现代逻辑的体系。 现代逻辑的历史是从布尔(18世纪)开始的并延续到今天，已经历经200 多年。布尔的逻辑代数是第一个成熟的现代逻辑体系，但是它更像数学理 论。弗雷格建立了真正的现代逻辑理论，罗素和怀特海的《数学原理》标 志着现代逻辑地位的最终确立。到了1930年歌德尔的完全性定理标志着 现代逻辑的基础理论系统即“一阶逻辑”的基本理论问题全部解决。 第三节，逻辑学的研究对象 一，思维的内容与形式 1，思维有两个显著的特点:抽象性和间接性。 2, 思维与语言符号不可分。 二，逻辑形式 1.逻辑形式是用逻辑变项和逻辑常项表示的思维结构。 3 (1),逻辑变项，它是思维内容的符号表示，在逻辑形式中代表可以变化的经验内容，也可以看作一种“空位”;对于一个逻辑形式而言，在空位上填入什么“内容”不会影响逻辑形式的特征。 (2),逻辑常项是逻辑形式中不变的部分，如果逻辑常项(个体常项除外)不同，逻辑形式的性质也就不同。因此，逻辑形式的性质是由逻辑常项决定的 2,常用符号主要有: 个体变项:(传统逻辑)S，P;(现代逻辑)x，y，…… 个体常项:a，b，…… 谓词变项:F，E，R，…… 谓词常项:I(或者用=)。 命题变项:P，Q，R，S，…，… 量项:(传统逻辑、与命题的质合用一个符号)A，E，I，O;(现代逻辑) ,，， ; 真值联词:，(非)，?(且)，?(或)，?(如果…则…)，,(只有… 才…), (当且仅当) 下面看几个例子 ?，，P ，P?Q，P?Q，P?Q，P,Q; ?，SAP，SEP，SIP，SOP， ?，Fa，Fx， F(x，y)， ?，x=y 上面的符号公式都是逻辑形式，将在以后的内容中详细讨论它们。逻辑可 以离开具体的命题内容独立地研究这些符号。再看几个用逻辑形式表示日 常语言的思维形式的例子: ?，“所有善良的品德都是与生俱来的。” ?,，“所有的伟人都是经过艰难的磨练成长起来的。” ?，“法制的健全或者执政者强有力的社会控制能力，是维持一个国家社 会稳定的必不可少的条件。A国社会稳定但法制尚不健全。因此，A国的 执政者具有强有力的社会控制能力。” 4 ?,，“必须有超常业绩或者30年以上服务于本公司的工龄的员工，才有资格获得x公司本年度的特殊津贴。黄先生获得了本年度的特殊津贴但在本公司仅供职5年，因此他一定获得了超常业绩。” ?和?,尽管内容不同，但是逻辑形式是相同的，都是:SAP(现代逻辑:(,x)(Fx?Ex); ?和?,也是思维内容不同，但形式相同，都是:(P?Q?R)?(R?，P)?Q。 从自然语句到思维形式的分析这是一个抽象的过程。要学会和掌握这种分析的能力，例如: 所有的偶蹄类动物都是食草的，羊是食草的，所以羊是偶蹄动物 如果上帝是万能的，那么上帝会创造一块自己举不动的石头，上帝创造了一块自己举不动的石头，所以上帝不是万能的。 请分析二者的逻辑区别, 三，逻辑规则、规律和方法 1 逻辑规则是正确的思维必须遵守的条件约定。 2逻辑规律，广义的理解，它是有效推理或者能够提高推理可靠性的所有逻辑形式。 3逻辑方法是指在形式上能够保证思维正确，推理的结论可靠的思维方法 综上所述，逻辑以思维形式为研究对象。具体地说，逻辑是研究思维的形式结构、逻辑规则、逻辑规律和逻辑方法的科学。一般地把上述定义简单表述为:逻辑是研究推理形式的科学。 第四节，对象语言和元语言 一，自然语言与人工语言 二，元语言和对象语言 三，语言的使用与提及 语言和逻辑具有天然的联系。实际上没有学习过逻辑的人也可以从语言中得到逻辑的常识。自然语言是一切逻辑形成和发展的源泉。 5 研究逻辑必须以语言的准确为条件。因此需对语言的几个现象做说明和约 定。 一， 自然语言与人工语言 1,自然语言是一个民族在社会历史的发展中逐步形成的语言。例如汉语、英语、法语、俄语、德语等都是自然语言。这并不说自然语言不需要人的“创造”、“整理”、“选择”，而是说人的这种创造、整理、选择是为了满足语言的多方面的需要，尤其是满足本民族的日常交往的需要。 2，人工语言是为了特别的目的“构造”的语言。它的突出特点是符号特 征。所谓符 号特征就是指，人工语言用符号表示个体、概念、属性、关系等等。 例子 “只要认真学习，就能够通过逻辑课程的考试，如果有的人没有 通过考试，那也不是他没有认真地学习，但是，如果他通过的考试，则他 认真学习逻辑了”。 符号表示: ( ， P，,Q)?(，S，,T)?(S,T)”。 所有的铜都是良导体。 符号表示为:(,x)(Fx ,Ex) 意思是:对于所有的x，如果x是铜那么x是良导体。 二，元语言和对象语言 一般地说(不是仅仅在逻辑学的范围内)，对象语言是用来表示 思维对象的语言，元语言是用来表述对象语言的语言; 换一个角度说，对象语言是被陈述的语言。元语言是陈述语言的 语言。 例如: ?，雪是白的 ?，“雪是白的”是真命题 对象语言和元语言的层次可以层层分析，可能是有“无限”的层 6 次。在一个层次上，P是对象语言，P,是元语言，在另一个层次上P,可以 是对象语言，P,,是P,的元语言。 “说谎者悖论” “我正在说的这句话是慌话”。 因为这句话包括了这个语句，令这句话真，依据这句话的内容， 它应该是假的。令这句话假，依据真命题的定义，说假者假，就是真的， 所以它就成了真命题。 避免这种“悖论”的方法就是区分语言的层次。 试分析贝里悖论: 用少于十八个汉字不能命名的最小整数 三，语言的使用与提及 语言的基本用法是把对象的名字放在语句中 。 如果语词或语句不是指称对象，而是指它自身时，混淆有时是难 免的。 语言的使用就是语言符号指称思维的对象。 语言的提及就是语言符号不指称思维的对象而是指称它自身。 为了区别二者,语言的提及要用引号表示出来。 例子 ?，泰山是一座有名的山; ?，“泰山”海拔高度是1545米; ? ，2+2=4是对的; ?，“2+2=4”是对的; ?，黄色是一种颜色;、 ? ， “黄色”是一种颜色。 ?，黄色的颜色是白色的 ?，“黄色”的颜色是白色的 7 第五节 逻辑的意义 一*，逻辑学同其它科学的关系 二，学习逻辑的意义 一*，逻辑学同其它科学的关系 , 1，逻辑与数学 , 数学以客观世界的数量关系和空间形式为研究对象，它的绝 大部分材料来源于生产活动和科学实验的实践。 , 在数学和逻辑的关系上，有两大对立的观点: , 一派叫“逻辑主义”，它主张逻辑是数学的基础，逻辑学家主 要以弗雷格和罗素为代表。弗雷格认为，数学的法则蕴含在逻辑的 原理中。逻辑理论可以从若干自明的公理构造出来，以逻辑为前提， 可以推导出算术的概念和规律。然后从数的规律推出代数、分析甚 至几何。 , 但是由于罗素发现了“集合悖论”才没有继续这个工作。罗素 独立地发现了同弗雷格的逻辑类似的理论，并且坚信逻辑是数学的 基础。 直觉主义 另一派是“直觉主义”。它认为，数学的基础不在逻辑，而是来自人的直觉，数学本身就是可靠的，不需要逻辑来保证它的可靠性。相反，逻辑的基础是数学。主张直觉主义的大多是数学家，早期的代表人物是克罗内克，他在一次演讲中说上帝创造了整数，其它的都是人的工作。克罗内克只承认“潜无限”，不承认“实无限”，因此拒绝接受无穷集和超限数。直觉主义的著名代表人物还有布劳威尔和海丁。 直觉主义在哲学上不承认“实无穷”的，认为只有“潜无穷”。 直觉主义逻辑不承认排中律，双重否定消除律和反证法有效。 承认排中律，双重否定消除律和反证法有效的逻辑被称为“古典逻辑”。 ,，逻辑与语言学 8 一般的语言学是研究语言的性质、结构和发展规律的科学。 经验的语言学研究语言的语法、语义和语音的发展变化规律。 对于思维的形式而言，语言学揭示的只是思维的外在形式，即思维表现于语言中的类型，逻辑揭示的是思维的内在形式，即思维要素的构造方式。一般认为语言形式是思维的表层结构，逻辑形式是思维的深层结构。 逻辑学离不开语言学，但它不是语言学。逻辑学要研究语言，但它的目的是思维的结构。 ,，逻辑与哲学 哲学是方法论，因此哲学是思维的工具;逻辑也是一种工具，是形式思维的工具，这是两者类似的地方。 哲学是世界观，而逻辑不是世界观。因此，哲学是关乎世界的根本看法，是客观世界的最一般规律的学说。而逻辑学只是思维的工具，不是世界观，也不是哲学意义上的方法论。 分析哲学 :逻辑学转向，语言学转向 。 二，学习逻辑的意义 1，逻辑是获求知识的工具 人的知识主要有两种获得途径，一是直接来自经验， 另一种是间接获得的知识，这是靠思维的概括和推理得到的知识。 逻辑所获得的知识是不是“新知”, 2，逻辑是知识表述和整理的工具 人的知识是需要表达、交流和整理的。 不论是什么学科的知识都不是哪个人凭空构造的，而是点点滴滴积累起来的，有时会突飞猛进，有时却停止不前，在一定的阶段，该门科学在重大突破前或者重大突破之后，都有一个知识整理的过程，这是知识的一种逻辑重构，新的理论不仅能够解释已经知道的事实，而且可以预知尚未发现的事实。知识重构就是建立从基本命题到复合命题之间的逻辑联系。 9 3，逻辑是论证的工具 论证就是证明一个命题真或反驳一个命题真。 “狗是你父亲”的诡辩: “你说你有一条狗是吗,” “是呀”，克里西普斯说，“有一条恶狗”。 “他有小狗吗,” “是呀，小狗们和它一个样”。 “狗就是它们的父亲吗,” “是呀”。他说，“我看见了它和小狗的母亲在一起”。 “它不是你的吗,” “是，他的确是我的”。 “它是一个父亲，它又是你的，所以他就是你的父亲，小狗是你的兄弟了”。 3，逻辑是提高思维能力的工具 逻辑学是数千年人类思维经验的概括和总结，学习逻辑就是间接 地掌握使用概念、命题和有效的逻辑推理的知识，它们是人类文化财富的 一部分，有了这些知识和推理工具就可以用来证明和反驳命题，可以从已 知推未知，从现在推将来或过去，能够极大的扩展个人的知识领域和知识 集合。 怎样学好逻辑 第一，要理解逻辑学的特点，抓住形式结构这个核心，处处从形 式的角度思考问题; 第二，要掌握各个部分的基本概念，要深入的思考这些概念的含 义，作用，同其它概念、内容的联系。 第三，需要对主要的逻辑规则作记忆，要理解这些基本的逻辑知 识。 第四，要掌握逻辑的方法，逻辑的方法总是与逻辑的应用联系的 最密切。 最后，要在应用中学习，要适当的做题，要注意证明的实际操作。 10 本章常见的习题类型 1，指出下列语句中“逻辑”一词的涵义。 ?，捣乱，失败，再捣乱，再失败，直至灭亡，这就是反动派的 逻辑。 ?，在有些人看来，占领别国领土而杀人是为解放这个国家的人 民不得不付出的代价，被占领国家的人民的反抗而杀人是一种恐怖主义， 这真实奇怪的逻辑。 ?，你在辩论中没有战胜对手，不是因为你所表述的观点逻辑性 不强而是因为你的观点不正确。 ?，各级领导干部都要学一点逻辑。 解: ?规律， ?观点， ?思维规则，规律， ?逻辑科学。 2，使用第三节中逻辑常项和逻辑变项的约定符号，表示下列语句的思维形式。 这类题常常用于形式比较。 ?，所有的人都能思维，但是并不是所有的思维都有效 ?，有些发光的东西并不是黄金。 ?，欲寄君衣君不还，不寄君衣君又寒。 ?，只有光明正大的人，才能坦坦荡荡; ?，如果这是一件你不喜欢做的事情，那么这件事情也不要让别 人去做。 解:?，SAP，,PAQ，,x(Fx,Ex)，, ,x(Ex ,Gx ) SOP，，x，Fx , ，Ex ， ?， ?，(P , ， Q) , (，P ,S) ?，P,Q ? ，，P , ， Q 3，试指出下列语句中划线语词是元语言还是对象语言, ?，“桃李春风一杯酒，江湖夜雨十年灯”是黄庭坚《寄黄几复》 的诗句。 ?，“风萧萧兮易水寒，壮士一去兮不复还”乃千古绝唱真是不枉。 11 ?，我是一个理发师，我工作的原则是只给那些不自己理发的人 理发，我该不该给自己理发, ?，风在吼，马在啸， 黄河在咆哮黄河在咆哮，…… ?，“为人进出的门紧锁着,为狗爬出的洞敞开着”这是叶挺的“囚 歌”里的句子。 解:对象语言用——表示。 4，指出下列语句中画线的语词或语句是被使用的还是提及的。 ?，老去功名意转疏，独骑瘦马取长途。孤村到晓犹灯火，知有 人家夜读书(晁冲之《夜行》) ?，“知否,知否,应是绿肥红瘦”的谜底是“谢觉哉”。 ?，“黄色”不是指颜色，也不是指非颜色。 ?，有的人很“聪明”，但是那只是“小聪明”，实际愚蠢的很。 ?，谁说雪一定是白的，这里的“雪”就不是白的。 解: ? ?画线的都是使用， ?是提及。 ?都是使用，这里使用的引号是一种特别用法。 ?是提及 5，如果企业的财务不上班，我们的支票就不能入账，我们的支票不能入账，因此，企业的财务没有上班。 请问下列那个推理和上面的推理最为类似, ?如果泰山队在雨中比赛就能击败对手，泰山队没有击败对手，因此泰山队没有在雨中和对手比赛。 ?所有的同学都可以参加这次的比赛，除非没有通过资格赛的测试，他没有通过参加决赛，因此他一定没有通过资格测试比赛。 ?如果是妈妈做的这道菜，菜里面一定会放西红柿，菜里面果然有西红柿，因此这道菜是妈妈做的。 ?如果没有特别的原因，企业一定不会批准员工的休假申请，公司批准了小陈的休假申请，因此，这里一定有特别的原因。 解:选择:3 12 第二章 复合命题与命题逻辑 • 逻辑所研究的演绎推理形式主要有两种类型:一种是建立在逻辑联 词的性质上的命题之间的推理形式。另一种是建立在命题分析后的词项性 质上的推理，主要有量词、模态词的推理。 • 在中国古代，关于命题以及推理的学说属于“辞”和“说”的理论。“辞” 相当于现在的“语句”，“说”相当于现在的“推理”。 主要内容: 第一节，命题与推理概述 第二节，命题逻辑的推理 联言，选言，假言，负命题及其它推理 第三节，真值表 第四节，形式证明 第五节，真值树 第一节，命题与推理概述 • 一，判断、命题与语句 • 1判断 判断是对思维对象有所断定的思维形式。有所断定就是对思维反映的对象 的属性有所肯定或有所否定。 • 判断有两个明确的特点:第一，所有的判断都表达了主体的愿望、 心理、情绪。因此判断有“心理因素”的成分。第二，判断有明确的真假意 义。 • 判断的心理因素曾经引起过逻辑学家们的“注意”，认为这是引起逻 辑混乱或推理错误的原因之一。 2，命题 • 命题是对思维对象的反映，但是它对所反映的内容不作任何断定。 • 命题是对判断的抽象，是去掉了判断对思维的断定成分，仅仅保留 下对思维内容的陈述。 13 • ?“孙子是古代的著名军事家”。 • ?“火星上有生命”。 • ?“n是最大的自然数” • 命题尽管没有“断定”的成分，但是它有真假，它 是真假的载体。 • 命题具有真值的含义可以进一步表述为:“命题要么陈述了事实，要么没有陈述事实”。 3，语句 • 语句是语词的结合方式。 • 语句可以区分为自然语言的语句和形式语句。自然语言的语句是有意义的语句，它用自然语言的符号表达。形式语句是没有意义的，或者更准确地说其意义暂时被抽象去了，只考虑它的语法结构。 • 语句是命题或判断的固化形式，离开语句的命题或判断是不存在的。 • 命题是语句的内涵或意义 “判断”、“命题”、“语句” • 首先，并不是所有语句都表达命题。只有陈述句和反疑问语句才直接表达命题。在语句中，疑问句，祈使句，感叹句不直接表达命题。 • 其次，语句也是多义的或歧义的。 • ?“在城楼上发现了敌人”。 • ?“小王的这张画画得真好”。 • 最后，不同的语句也可以表达相同的命题。 • ? “北京是中国的首都”; • ?, “中国的首都是北京”。 • ? “所有的人都会死”; • ?, “所有的人不会长生不死”。 • 区别了语句与命题，就可以方便的解决上面的困难。当然。如果不承认有命题，只承认有语句，可以在语句的一般意义和特殊语境下的意义区别上述的意义不同，但是这样会使思想的分析复杂化，使逻辑的研究陷 14 入纯语言的分析。 二，命题的种类 1，简单命题与复合命题 • • 简单命题是由词项构成的命题。它自身不再含有其它命题了。 • ?，“他是一名大学生”， ?，“有的动物是食草类动物”。 • • 简单命题的形式: ” “S(不是)是P” ?，基本结构是“主项+谓项 根据主项的语词可以分析为: 专名+谓词 Fa 类名+谓词 Fx 摹状词+谓词 F(,x) ?，按照量词划分，全称的，特称的，单称的 复合命题 • 复合命题是由命题构成的命题。也就是说，复合命题可以分析为命 题和逻辑联词。 • ?，“今天不下雨” • ?，“如果台湾的分裂分子公开把台湾从中国分裂出去，那么台海 就没 有了和平” • ?，“或者今天下雨或者今天不下雨”。 • 基本的复合命题可以进一步划分为联言、选言、假言和负的复合命 题，它们是复合命题与推理讨论的基本对象。 复合命题的逻辑形式:“真值函项”f(A) 。f是逻辑词---逻辑常项，A是逻辑变项。根据A的个数，可以分为0元的， 1元的，二元的等等: 主要有:非p (， p ) p并且q ( p,q ) ，p或者q ( p,q )，如果p则q ( p,q )等 2，直言命题、关系命题和信念命题 15 • 命题反映的是思维对象的属性。反映思维对象的性质的命题是性质 命题，又称“直言命题”。反映思维对象之间的关系的命题是关系命题。例 如: • ?，“所有的金属都导电”; • ?，“济南在南京与上海之间”。 区分关系命题与省略的复合命题 • ?，“岳飞和秦桧是南宋人”; • ?，“岳飞和秦桧同在南宋做官”。 • ?可以处理成“岳飞是南宋人并且秦桧是南宋人”，因此是复合命题。 • ?如果处理成“岳飞在南宋做官并且秦桧在南宋做官”，就同原命题 意义不同，因此这是一个关系命题、简单命题。 信念命题 • 还有一种命题，在语句中含有两个或两个以上的动词，这是由“相 信”、“希望”、“认识”等动词构成的语句，例如: • ?“苏格拉底认为自己知道自己无知”; • ?“老师相信他的学生是最优秀的学生”。 • “相信”，“知道”等动词不同于一般性的逻辑谓词，仅仅从外延上无法 满足有些推理规则的有效性。现在称这一类谓词为内涵性的谓词，这些命 题的推理不属于传统逻辑研究的范围。 关系命题的形式:F (x,y) 信念命题的形式:“s相信p”等。 3、模态命题与非模态命题 • 依据命题是否含有模态词区分为模态命题与非模态命题。 • 模态词是指“必然”、“可能”、“必须”、“允许”，“知道”、“相信”等语 词。 • 含有模态词的命题就是模态命题。模态命题是对客观事物的状况、 样式、趋势的反映。 16 从形式上看，模态命题是在实然命题上加模态词形成的: 可能P: ， p 必然P: p 必须p :Op 允许p:Pp 禁止p : Fp 4(分析命题与综合命题 (讨论) • 这是依据命题的真值特征的划分 • 分析命题是那些不需要经验事实的证明就可以从它自身的意义显示 其真值的命题。 • 综合命题是那些必须有经验事实才能证实其真值的命题。 • ?，“今天下雨或者不下雨”; • ?，“地球是圆的并且地球是方的”。 • ?，“如果磁铁被加热到红的程度，就会失去磁性”; • ?，“面包对人的身体是有营养的食品”。 • ?、?是分析的命题，因为我们不需要把它的意义与经验相契合， 就知道一个是真的，一个是假的。?、?都是综合命题，因为前者是从实 验中得到的科学发现，后者是从日常生活中得到的经验。 三，推理和证明 • 自然语言中: • 推理是从已知的前提到结论的过程。 • 证明是从真命题的前提到真命题的结论的过程。 • 在形式系统中: • 演绎是对推理的刻画。是一个公式的序列。 • 证明是一个特别的演绎，从初始公式出发到逻辑后承的过程。 表达推理的前提与结论关系的语词 17 自然语言中，表达推理的前提与结论关系的语词有很多。主要有:“因为…所 以”、“由于…因此”、“既然…就”、“根据…则”、“基于…故”、“出于…则”等等。 当然，修辞上也可以省略表示前提或结论的语词。 1.推理的结构 • 推理是一个命题的序列关系，它从一个或几个已知的命题得到另一个新命 题的思维形式。已知的命题叫前提，推出的新命题叫结论。 • 一般形式结构可以表示为: P1 P2 … Pn P 前提与结论的次序 • 在推理的结构上，并不总是把前提放在前面，结论放在后面。如果强调的 是结论，就可以把结论放在前面。文化传统不同，也可以有不同的陈述次 序，例如古代印度的“因明”逻辑，就是把结论放在前提的前面: • 宗(结论):那山有火 因(小前提):因为那山有烟 喻(大前提):凡有烟处必有火 推理的横写图式 这个形式也可以写成横的表达式: “P1、P2、…、Pn? P”， “P1、P2、…、Pn”是推理的前提 P是推理的结论， “?”是表示推出关系的符号。 18 推理的命题形式写法 (P1?P2?…?Pn) ?P • • (P1?P2?…?Pn)是前提 • 前提和结论之间用“?” 举例 • ?“如果A认真上逻辑课就能通过考试，A没有认真上逻辑课，所以A没 有通过考试。” • ?“如果下雨，那么地会湿，今天没有下雨，所以地不会湿”。 • 尽管推理的内容不同，但是推理形式是相同的，都可以表示为: • P?Q • ，P • ，Q 把推理表述成命题形式 • P?Q， ，P ? ，Q • (P?Q ? ，P )? ，Q • 这是三种不同的表达方式。推理其实就是一个复杂的命题，因此任何推理 都可以通过命题来研究。 • 一般的来说，推理的形式构造方法: • ?，前提和结论之间用,，?连接。 • ?，命题之间用并且连接。 4.推理的种类 主要是分为演绎推理和归纳推理 演绎推理是前提和结论之间有蕴涵关系的推理，二者之间有必然性推出关系。 归纳推理是前提和结论时间没有蕴涵关系的推理，前提和结论的推出关系是或然的。 19 • 按照命题是不是含有模态词分为模态推理与非模态推理 • 按照复合命题的逻辑词分为联言，选言，假言，负命题的推理。 • 按照直言命题的个体现的数量区分为性质命题和关系命题 推理种类 5.推理的作用 • 人的知识可以分为两种，一种是直接从经验中通过感觉器官得到的直接知 识 • 另一种是从已经有的知识推出的知识. 推理的作用主要是关于间接知识的，有三点作用: , ?推理是获取知识的工具 , ?推理是知识整理的工具 20 , ?推理是证明或反驳的工具 四，命题的赋值和指派 二值逻辑原则:对于任一命题要么真要么假。{真，假}是命题的值域，或• 者是命题的外延。 • 赋值:在二值逻辑的原则下，就是给命题一个确定的值。例如p=t，就是 说p是一个真命题。 • 指派:就是给命题的原子命题分配真值。这是一个真值组合的分配过程， 满足2的n次方关系。例如: p,q的真值指派 p q 1 1 1 0 0 1 0 0 五，有效性 • 演绎推理的有效性 演绎推理的有效性是指推理的有效或无效。 演绎推理的有效: “一个推理是有效的，当且仅当，如果前提是真的，那么结论不能假”。 由于这是一个形式的定义，它的含义是对于有效的逻辑形式而言，在任何时间和条件下都不能前提真而结论假。 前提与结论可能有的四种情况: • ? 前提真，结论真; • ? 前提真，结论假; • ? 前提假，结论真; • ? 前提假，结论假。 • 有效的推理形式排除的是情况?，前提真并且结论假的情况。 • 有三层含义:第一，前提真结论一定真;第二，结论不真，前提一定不能 21 够都真;第三，前提假，结论不一定假。 例子 • ?“所有的牛是羊， 有的动物是牛， 所以，有的动物是羊” • ?“如果塑料是绝缘材料，那么金属不导电， 塑料是绝缘材料， 所以，金属不导电。” 例子 • ? “只有罪犯如实交代所犯罪行才能得到从轻惩罚， 罪犯如实交代了所犯罪行， 因此罪犯会得到从轻惩罚。” • ?,“只有2+2=4，5才是偶数， 2+2=4， 所以5是偶数。” 思考:推理和科学说明 所有的人都有死 张三是人 所以张三有死 这是一个推理，但它不是一个对张三有死的说明或解释 什么是一个科学的说明或解释呢, 医生会说:张三死于心脏衰竭: 所有有某某特征的人都是心脏衰竭 张三有某特征 所以张三心脏衰竭 这也是一个推理，为什么我们认为它是一个说明,请大家思考～ 22 第二节，复合命题的推理 基本的复合命题推理 联言命题推理 选言命题推理 假言命题推理 负命题等值推理 其它推理形式 一，联言命题及其推理 • (一)联言命题 • (二)联言推理 (一)，联言命题 • 联言命题是反映一个或几个思维对象同时具有某些属性的复合命题。 • 构成联言命题的支命题叫“联言支”，它们是变项。 • 联言命题的逻辑词叫“合取”，符号为“,”，表示“且”，“并且”等。 自然语句表示的联言语句的涵义与逻辑的联言命题是有区别的 • ?“小王考上了大学，小张也考上了大学。” ?“小王考上了山东大学，但小张考上了清华大学。” ?“不仅小王考上了大学，小张也考上了大学。” • ?具有并列的意义，陈述两个基本事实;?具有递进的涵义，有褒奖小张 的意思;?在陈述相同事实的基础上，带有不同于前两个命题的意思，对 小张有一定的轻视之意。 它们在意义上，两个支命题有内容上的相关性。 23 • 但是在逻辑中这些差别都没有了，都是“P?Q”。 联言命题省略的形式 • ?，省略部分主项的复合谓项形式。例如，“中国人是勤劳的勇敢的民族。” 不省略就是“中国人是勤劳的民族并且中国人是勇敢的民族。” • ?，省略部分谓项的复合主项形式。例如，“秦琼和戚继光都是山东的英 雄好汉”。如果不省略就是“秦琼是山东的英雄好汉并且戚继光是山东的英 雄好汉。” • ?，省略部分主项和部分谓项的形式。这种命题的主项和谓项都是复合的。 例如，“中国和印度都是亚洲国家，人口都超过10亿。”这个命题恢复后 的形式可以是:“中国是亚洲国家并且人口超过10并且印度是亚洲国家并 且人口超过10亿。” 联言命题的真值定义 • “P?Q”真，当且仅当，P真并且Q真; • “P?Q”假，当且仅当，P假或者Q假。 联言命题真值定义的真值表 , , ,,, , , , , , , , , , , , , (二)，联言推理 • 联言推理是依据联言的逻辑联词性质进行的推理。 例如:今天是星期一并且今天有逻辑课。 在自然语言中谁也不会这样说话，而是简单 的说:“星期一有逻辑课” 联言推理的主要有效式 • 1.合成式联言推理 P 24 Q 所以 P?Q , “中国是一个发展中国家，中国是一个大国，所以，中国是一个发展中的 国家并且是一个大国。” 2.分解式联言推理 • 这是从一个联言命题推出其中一个支命题的推理形式。形式是: • P?Q P P?Q Q ?，“今天是星期天并且是毛泽东的诞辰，因此，今天是毛泽东的诞辰。” 2,，“阿尔伯特命题” • 德国的逻辑学家萨克森的阿尔伯特(1316—1390)认为，从一个矛盾命题 可以推出任一命题，因此有推理形式: (P?，P) 所以，Q ?“今天下雨并且今天不下雨，因此，喜马拉雅山将会在地震中消失。” • 从这个推理形式可以得到一个著名的“蕴涵怪论”，这也是阿尔伯特的怪命 题。只要把矛盾命题换成“假命题”，则有“假命题蕴涵任一命题”。例如， “太阳是冷的，因此，阿基里追不上龟”。不论阿基里是最善跑的人还是一 点都不能动的人，这个推理都有效。因为矛盾命题一定是假命题。 25 选言命题、推理 二，选言命题及其推理 • (一)，选言命题 1.相容的选言命题 相容选言 2,不相容的选言命题 • (二).选言推理 不相容选言 1.相容的选言命题推理 2,不相容的选言命题推理 (一)选言命题 • 选言命题是反映一个或几个思维对象所具有的某些属性至少有一种情况 存在的复合命题。 • 构成选言命题的支命题叫选言支。逻辑常项是一个二元联词。 • 选言的逻辑词叫析取。 最简单的选言命题是只有两个选言支的命题，复杂的可以有三个或更多的选言支，但它们都可以归结为两个支命题的情况，这样的选言命题是基本的选言命题。因此，这里仅仅讨论两个选言支的复合命题。 1，不相容选言命题 • 不相容的选言命题只能有一个选言支真，这个真的支命题与其它的所有支 命题都是相排斥的。 • ?，“或者美国代表队获得奥运会奖牌第一，或者中国代表队获得奥运会 奖牌第一。” • ?，“台湾是中国不可分割的宝岛，要么台海和平统一，要么台海战争统 一。” • 在自然语言中，表示不相容逻辑联词的标准用语是“要么…要么…”。符号 是“Ù”。 “PÙQ”读作“要么P要么Q”。 • 在自然语言中，下列语词也表示不相容的选言:“或者…或者…二者不可 兼之”，“不是…就是…”等。 • 例子: “不是东风压倒西风就是西风压倒东风”。 26 “或者你可以得到熊掌或者你可以得到鱼翅，但二者不可兼之”。 不相容的选言命题的真值定义 • “要么P要么Q”真，当且仅当P真并且Q假，或者P假并且Q真; • “要么P要么Q”假，当且仅当，P真并且Q真，或者P假并且Q假 真值表 P Q 要么P 要么Q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2，相容的选言命题 • 相容的选言命题是选言支可以同时皆真的选言命题。 也就是说，一个真的相容选言命题，其支命题至少有一个真，也可以所有的支命题都真。 • “这个实验的失败或者是设计错误或者是操作错误” • 自然语言中表示相容选言逻辑联词的语词是“或”。符号表示是“?”;“P? Q”读作“P或Q”。此类命题称为析取命题。 • 在自然语言中，表示相容选言逻辑联词的语词主要有:“或者”、“可能… 也可能…”、“也许…也许…”、“是…还是…”。 逻辑的“或”不同于自然语言的“或” • 第一:日常语言中的命题不能随意增加选言支，增加选言支会增加甚至改 变命题的涵义。 但逻辑命题增加选言支不会影响命题的逻辑真值。 第二:自然语言使用“或”，有意义上的关联性，逻辑学所研究的“或”是一种抽象，没有相关性。 真值定义 • “P?Q”真，当且仅当，P真或Q真; 27 • “P?Q”假，当且仅当，P假并且Q假; • 用真值表表示为: P Q P,Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 选言支穷尽问题 • 不论是不相容的选言命题还是相容的选言命题，如果要使命题真，必须保 证有一个选言支命题真(不相容的选言命题只能有一个支命题真)。 • 穷尽选言支的命题一定是真的，不穷尽选言支的命题不必然是假的。因为 如果不穷尽选言支但含有一个真的支命题，该选言命题也是真的。 • 穷尽选择言支只能在有穷域内才有理论上的可能，在无穷域中无法穷尽选 言支。因此，选言命题及其推理的有效性一般局限在有穷域内。 (二).选言推理 • 选言推理是依据选言的逻辑性质进行的推理。 • 能够使用选言的逻辑性质进行推理的，一定是前提中或者结论中含有选言 命题的推理。 • 我们讨论最基本的推理形式. 1.不相容的选言推理 • 不相容的选言推理是依据不相容的逻辑联词的性质进行的推理。 不相容选言的逻辑性质是:选言支只能有一个是真的，不能同真或同假。• 因此，肯定一个选言支就必须否定另一个选言支，否定一个选言支就要肯 定另一个选言支。这个就是不相容选言推理的规则。 ?否定肯定式 • ?“中国要么进行改革开放，要么继续贫穷落后，中国不能继续贫穷落后， 所以中国要进行改革开放。” 28 • P Ú Q 或者 P Ú Q • ，P ，Q • Q P ?肯定否定式 • PÙQ 或者 PÙQ Q P ， P ，Q • “要么权力大于法律，要么法律大于权力，法治社会不能权力大于法律， 因此法治社会法律大于权力”。 2.相容的选言推理 • 相容的选言推理是依据相容选言联词的性质进行的选言推理。 • 由于相容选言的性质是可以同真的，肯定一个或一部分选言支，并不能一 定否定另外的选言支;但是，由于真的相容选言命题中至少有一个支命题 是真的，因此，知道一部分选言支假，就必然推出另一部分选言支是真的。 因此，相容的选言推理只有一个有效的推理形式，否定肯定式，而肯定否 定式不成立。 例子 • ?，“社会改革常常出现社会动荡，或者因为传统力量的反对，或者因为 政策探索的失误，中国的改革出现社会动荡不是因为传统力量的反对，所 以是因为政策探索的失误。” • ?，“A号实验失败，或者是因为设计上的错误，或者是制造工艺达 不到要求，或者是实验的操作失误;经过对实验检查发现操作程序不对， 因此，实验失败不是设计上的错误或者制造工艺达不到要求。” 有效式和无效式 29 • 有效式: P,Q 或者 P,Q ，P ，Q Q P (P,Q)?，P)?Q (P,Q)?，Q)?P 无效式(肯定否定式) ((P,Q)?P)? ， Q ((P,Q)?Q)? ， P。 今天或者小张值日或者小王值日，是小王值日，因此小张不值日。 一个特别的选言推理的有效式 选言推理也可以是从简单命题的前提推出选言的结论。 例如: 奥卡姆(1300—1350)提出过一个很简单的选言推理形式: “P?P?Q” 为什么这个推理是有效的呢,请大家从“或”的逻辑性质考虑。 如何在推理中消除选言的逻辑词, 如何在推理中消除选言的逻辑词,或者说选言推理有没有分解式, 要注意的两点: 第一，如果选言命题的支在三个或者三个以上，推理怎么进行。一个简单的办法是把他们变成两个选言支的命题。例如“要么P要么Q要么R”变成“要么P要么(Q要么R)”，“P?Q?R”变成“P?(Q?R)”， 第二，尽管真的选言命题的支要求穷尽，但是，逻辑推理是形式的推理，我们 30 判断推理形式是否有效的时候，是不可能知道选言支是不是已经穷尽。 三，假言命题及其推理 主要内容有: (一)假言命题 (二)假言推理 假言命题及其推理 充分条件 必要条件 充分必要条件 (一)，假言命题 • 假言命题陈述的是两个思维对象之间的条件关系。因此又叫条件命题、蕴 涵命题。 • 逻辑上把条件关系划分为三种类型:充分条件、必要条件和充分必要条件; • 例如: ?，“如果物体自由下落，那么下落的速度会越来越快。” ?，“只有通过预赛，才能进入决赛。” ?，“8是偶数，当且仅当，8能被2整除” 1.充分条件的假言命题 • 令P与Q之间有条件关系，如果有P就有Q，无P不一定无Q，则P是 Q的充分条件。 • 《墨经》中表述为“有之必然，无之不必不然”。 语言 31 • 在自然语言中，“如果…那么…”是表示充分条件命题的标准用语，除此之 外还有下列语词: • “假使…那么…”、“若…则…”、“倘若…则…”、“只要…就…”、“要是… 就…”、“当…使…”、“当…时，就…”、“一旦…就…”。等等。在逻辑中习 惯的使用符号“?”表示“如果…那么…”，命题形式“P?Q”读作:“如果P 那么Q”。 条件蕴涵的真值定义和真值表 • 真值定义: • P?Q真，当且仅当，P假或者Q真， • P?Q假，当且仅当，P真并且Q假。 • 真值表: p q p,q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 “实质蕴涵”同自然语言的“如果P那么Q”之间有明显的不同 • 首先，自然语言的条件语句有意义上的相关性，前件与后件一般有某种关 联时，才用“如果…那么…”陈述;例如下列语句在自然语言中是很少出现 的，但是在实质蕴涵中都是允许的: ?，“如果2+2=4，那么雪是白的。” ?，“如果2+2=5，那么雪是黑的。” • 其次，在意义上不同。自然语言的语句除了真假关系之外，还有其它的涵 义，例如因果的关系，虚拟条件的关系，推理的关系等。但是“实质蕴涵” 的“如果P那么Q”只有真假的关系，其它的含义都被抽象去了。 • 最后，“实质蕴涵”的真值定义有点“奇怪”，似乎与经验习惯不一致，这主 要表现在“前件假时，无论后件真假，条件命题都真”的定义上，依照 定义，上面的命题??都是真命题。 32 2.必要条件假言命题 • 令P与Q之间有条件关系，如果没有P就没有Q，有P不一定有Q，则P 是Q的必要条件。 • 《墨经》中表述为“无之必不然，有之不必然”。 • 在自然语言中，表示必要条件的标准逻辑语词是“只有…才…”;此外，下 列语词也表示必要条件:“必须…才…”、“不…不…”、“没有…就没有…”、 “除非…才…”、“想…必须…”等等。在逻辑中用符号“?”表示“只有… 才…”，“P?Q”读作:“只有P才Q”。例如: • ?，“不入虎穴，焉得虎子”。 • ?，“没有共产党，就没有新中国”。 • ?，“除非改变计划，才能按时完成任务”。 “除非…才…”(讨论) • ?，“除非你触犯了国法，才会受到国法的惩罚”。--除非A，才B • ?，“她明天不会来，除非她改变了主意”,----非B，除非A • ?，“他可以参加复试，除非他没有通过初试”。---B,除非非A • ?，“除非你没有违法，否则必受法律的惩罚”。---除非非A,否则B • 命题?是基本形式(P?Q)，表示“触犯了国法”是“受到国法的惩罚”的必 要条件。 • 命题?是“除非…才…”的倒装句(，Q，除非P)，含义是“如果她不改变主 意，那么她就不会来”，因此，“改变主意(P)”是“明天会来(Q)”的必 要条件。 • 命题?也是个基本句型的倒装句(Q，除非，P)，但它的后件“他可以参 加复试”是肯定的，前件是否定的。含义是，“没有通过初试”是“不能参加 复试”的充分条件，因此，“通过初试(P)”是“参加复试(Q)”的必要条 件。 • 命题?含有“除非…否则”，后件有一个否定，表示充分条件。“没有违法 (，P)”是“不受法律的惩罚(，Q)”的充分条件(，P?，Q)，因此“违法 (P)是“受法律的惩罚(Q)”的必要条件。??表示的涵义相同，但是 表达的语句不同。 33 真值定义、真值表 真值定义: • • P?Q真，当且仅当，P真或Q假。 • P?Q假，当且仅当，P假并且后真。 • 真值表: p Q P,Q 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 3.充分必要条件假言命题 • 令P与Q之间有条件关系，如果P是Q的充分条件(有P就有Q)并且 P也是Q必要条件(有，P就有，Q)，则P和Q互为充分必要条件关系 ((P? Q)?(，P ?，Q))。 • 《墨经》中表述为“有之必然，无之必不然”。 • 在自然语言中，用“当且仅当”代表“充分必要条件”的逻辑联词。此外还有: “如果…而且仅仅如果…”、“如果…那么…而且只有…中习惯用符号“,” 表示“当且仅当”。“P,Q”读作“P当且仅当Q”。才…”、“如果…那么…而 且如果不…那么不…”、“所有，并且只有…才…”等等。 • 在充分必要的语句中，有些量词或联词可以省略，例如“(所有)人民(并 且)只有人民才是创造历史的动力”，括号的部分可以省略。有时，充分 必要条件关系也可以用“是”、“等于”、“相等”、“等值”表示。 • 在逻辑中习惯用符号“,”表示“当且仅当”。“P,Q”读作“P当且仅当Q”。 真值定义和真值表 • 真值定义 “P,Q”真，当且仅当，P、Q同时真同时假; “P,Q”假，当且仅当，P、Q不同时真不同时假。 P Q P,Q 34 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ,，充分条件、必要条件的转换 第一，充分条件、必要条件的前后件之间的关系。 (P?Q), (Q?P); (P?Q),(Q?P)。 第二，充分条件与必要条件之间的关系。 (P?Q),(，P?，Q); (P?Q),(，P?，Q)。 第三，充分必要条件的命题，由于是互为充分必要条件，因此可以互换。 (,,,) , (,,,) (,,,) , (,,,)?(,,,) (二)，假言命题的推理 • 假言命题的推理，是依据假言逻辑联词的性质进行的推理。需要依据假言 逻辑词性质推理的一定是前提中含有假言命题的情况。 1.充分条件的假言推理 充分条件的假言推理是依据充分条件的性质进行的假言推理。充分条件的性质是有前件就有后件，无后件就无前件，因此它有两个有效的推理形式。 ?，充分条件的肯定前件式 • 在前提中如果肯定充分条件的前件，那么在结论中就可以推出充分条件的 后件。推理的形式为: P?Q P Q 这个推理的重言式是“((P?Q)?P)?Q”。 例子 35 • “如果公司A的经营业绩有了实质性的好转，则公司A的股票价格会上 升”。 “公司A的经营业绩有了实质性的好转” “公司A的股票价格会上升” • 形式公式:((P?Q)?P)?Q ?，充分条件的否定后件式 • 在前提中如果否定充分条件的后件，那么就在结论中推出否定的充分条件 的前件。推理形式是: • P?Q ，Q ，P 例子 • “如果某区域有大地震将要发生，那么就会有某些地震的先兆出现，” “某区域没有任何地震的先兆出现，” “某区域没有大地震要发生”。 公式:((P?Q)?，Q)?，P ) 无效的推理 • “((P?Q)?，P)?，Q”。 • “((P?Q)?Q)?P” 验证 P Q (P?Q)?，P)?，Q (P?Q)?Q)?P T T T T T F T T F T F F F F T T 例子 • ?，“如果在紫外线下长久暴晒，就会发生皮肤癌变，他没有在紫外线下 36 长久暴晒，因此他不会发生皮肤癌变”。 • ?，“如果在紫外线下长久暴晒，就会发生皮肤癌变，他的皮肤发生了癌 变，因此他曾在紫外线下长久暴晒” 2.必要条件的假言推理 必要条件的假言推理是依据命题的必要条件性质进行的假言推理。命题的必要条件性质是，没有前件就没有后件，有了后件就有前件。因此它有两个有效推理形式: ?，必要条件的肯定后件式 在前提中如果肯定必要条件的后件，那么在结论中就能推出必要条件的前• 件。推理的形式是: P?Q Q P 这个推理的重言式命题表示是“(P?Q)?Q?P”。例如: • “只有认真的学习，才能通过逻辑课程的考试” “全班同学都通过的逻辑考试，” “全班同学都认真学习了”。 ?，必要条件的否定后件式 • 在前提中如果否定必要条件的前件，那么在结论中就能推出否定的必要条 件后件。推理的形式是: • P?Q ，P ，Q 这个推理的重言式命题表示是:“(P?Q)?，P?，Q”。 37 必要条件的推理对于肯定前件式和否定后件式都是无效的 P Q (P?Q)?P?Q ( P?Q)?， Q?，P 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 例如: • ?，“他只有违反了国家的法律，才会受到国家法律的制裁，他没有受到 国家法律的制裁，因此他没有违反国家的法律。” • ?，“他只有违反了国家的法律，才会受到国家法律的制裁，他违反国家 的法律。因此他受到了国家法律的制裁，” 3.充分必要条件的假言推理 充分必要条件的假言推理是依据充分必要条件的性质进行的假言推理。充分必要条件的性质是:肯定前件就要肯定后件，否定前件就要否定后件。肯定后件就要肯定前件，否定后件就要否定前件。因此，它的有效推理形式有四个。 有效式 ?，肯定前件式“(P,Q)?P?Q” ?，肯定后件式“(P,Q)?Q?P” ?，否定前件式“(P,Q)?，P?，Q” ?，否定后件式“(P,Q)?， Q?，P” 例如: • ?，“在标准的大气压力下水会沸腾，当且仅当，水的摄氏温度要达到100 度，水温达到摄氏100度，因此，水会沸腾” • ?，“在标准的大气压力下水会沸腾，当且仅当，水的摄氏温度要达到100 度，水沸腾了，因此水温达到了摄氏100度”。 《世说新语.言语第二》 孔文举年十岁，随父到洛。时李元礼有盛名，为司隶校尉。诣门者，皆俊才清称及中表亲戚乃通。文举至门，谓吏曰:「我是李府君亲。」既通，前坐。元礼问曰: 38 「君与仆有何亲,」对曰:「昔先君仲尼与君先人伯阳有师资之尊，是仆与君奕世为通好也。」元礼及宾客莫不奇之。太中大夫陈韪后至，人以其语语之，韪曰:「小时了了，大未必佳。」文举曰:「想君小时必当了了。」韪大踧踖(,Ùjí)。 推理 • 孔融的推理: 如果小的时候了了，那么大了未必佳 [省略]:你(陈韪)现在未必佳 所以，陈韪小时必当了了 这是一个充分条件的肯定后件式，推理不正确。 路边的果树 • 据说孔融小的时候与小朋友们到野外游玩，在饥渴的时候看到路边的一棵 果树上挂满了果子，同伴们都去摘果子吃，只有他没有去。结果大家都扫 兴而归。于是问孔融，你怎么知道那棵树的果子不好吃，他的推理是: • 如果路边的果子好吃，就不会剩下，现在它还有这么多的果子，一定是不 好吃。 • 这是一个充分条件的否定后件式，有效。 四，负命题及其推理 负命题是一种很特别的命题，关键是对否定词“非”的认识。 (一)、负命题 • 1，负命题的逻辑形式和真值: • 负命题是通过对一个命题的否定产生的命题。 • 负命题不同于否定命题: ?，“所有的塑料都不是导体”; ?，“并非所有的塑料都是导体”。 命题?是“否定命题”。命题?是“负命题”。 符号和语言 负命题在自然语言中用“并非”表示 符号用“，”表示。“，P”读作“非P”。“，”是一个一元逻辑联词，它只有一个支命题。 39 在自然语言中，除了“并非”外，还有“没有”，“不”等语词。 真值 • ，P真，当且仅当，P假; • ，P假，当且仅当，P真; • 真值表 P ，P 1 0 0 1 2、基本的负命题 基本的负命题有两类，一类是直言命题的负命题，这是对直言命题的否定命题， 这里不讨论此类命题。另一类是对复合命题的否定，这里主要讨论基本的复合命 题的负命题。 (1)负命题的负命题 :“，，P” “并非并非今天没有下雪” ?，负联言命题:“，(P?Q)” ?，负选言命题:“，(P ?Q)”、“，(P?Q)”。 ?，负假言命题:“，(P?Q)”、 “，(P?Q)”、“，(P,Q)” “并非如果有闪电就可以听到雷声”。 “并非只有犯法者才会受到司法惩罚”。 “并非A是知识当且仅当你知道A”。 3，负命题的等值命题及其推理 • 主要掌握下列有效的等值式: • ?，，，P,P • ?，，(P?Q)，,P ?，Q • ?，，(P?Q)，,P ?，Q • ?，，(P ? Q),( P,Q) • ?，，(P?Q),(，P?Q) 40 • ?，，(P?Q),(P?，Q) • ?，，(P,Q),(P?，Q)?(，P?Q) (二)负命题的推理:等值置换 • 使用负命题的等值关系进行的推理叫等值置换。如果在前提中有等值命题 的一个支命题，就可以在结论中推出与之等值的另一个支命题。 • ?， “并非„今天是冬至并且今天下大雪?” 所以“并非今天是冬至或者并非今天下大雪”。 • ?，“并非并非„你的话是真?” 所以，“你的话是真的” • 负命题推理中有一个重要的有效推理:，P?，(P?Q);注意它的逆命题 不成立。例如: “并非所有发光的东西都是黄金” 所以,“并非„所有发光的东西都是黄金并且有的人喜欢一切黄色的东西。” • 实际上，，P?，(P?Q)中的,可以是任何一个命题，不管它是否与，P 有没有联系。 其他的几个有意思的负命题 • ， P?(P ? Q); • P , ，P ? Q; • ， ( P?P) ? Q; 五，复合命题的其它推理 • (一)、假言易位推理 • 假言易位推理就是通过改变前提的假言命题的前后件的位置作为推理结 论的推理。它的特点是前提和结论都是假言命题。 • 假言易位推理的形式很多，主要的有下面三种: • ?，(P?Q)?(，Q?，P); • ?，(Q?P)?(P?Q); • ?，(P,Q)?(Q,P)。 例子 , “如果患者得的是肺炎，那么就会有高烧 41 所以，“如果患者没有高烧，就不是患得肺炎”。 , “只有他犯法才受到法律的惩罚” 所以，“如果他受到法律的惩罚，那么他犯法了” , “N是偶数，当切仅当，n被2整除” , 所以，“n被2整除，当且仅当，N是偶数” (二)、假言联锁推理 • 假言联锁推理是由两个或两个以上的假言命题作前提，推出的结论也是假 言命题的推理形式。 • 主要形式有: • ?，((P?Q)?(Q?R))?(P?R); • ?，((P?Q)?(Q?R))?(，R?，P); • ?，((P?Q)?(Q?R))?(，P?，R); • ?，((P?Q)?(Q?R))?(R?P); • ?，((P,Q)?(Q?R))?(P?R); • ?，((P,Q)?(Q?R))?(，P ?，R)。 (三)、同一律，不矛盾律和排中律 • 同一律，不矛盾律，排中律在传统逻辑中具有重要的意义，下面还要专章 讨论。 。它们是推理中最基本，最简单的形式，但不是不重要的逻辑形 式 : • 主要有 ?，P?P(同一律)， ?，，(P?，P)(不矛盾律)， ?，P?，P(排中律); (四)、反证法和归谬法，反三段论推理 • 反证法和归谬法是证明的方法，它们也是推理。更详细的内容看论证一章， • 反证法是假设命题的假推出逻辑矛盾，从而证明一个命题的真 • 归谬法是从假设命题的真推出逻辑矛盾，从而证明命题的假。 42 • 这里仅仅讨论这两种命题推理的形式: • ?，反证法推理形式: ((，P?q)?(，P?，q))?P (，P?q?，q))?P • ?，归谬法推理形式: ((P?q)?(P?，q))?，P ((P?q)?(P?，q))?S 又叫矛盾扩散率 例子:?2不是有理数 • 毕达哥拉斯学派发现，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数， 后来用?2表示对角线的长度，?2不是一个有理数，当时人们并不知道 有“无理数”这种数，所以?2的出现引起人们对数学的怀疑。关于?2不 是有理数的一个证明，载于欧几里德《几何原本》，但据说更早的毕达哥 拉斯学派给出过证明，这个证明使用了“反证法”: • “如果?2是有理数，则?2,p/q，p/q是既约分数(p/q是除了,外没有其 它公约数的有理数)”。 • “如果?2是有理数(?2=p/q)，则2=p,,q2，这表明p2是偶数，p也是 偶数。设p=2k(k是整数)，则p,,,k,，那么,q2=,k,，q2=(2k) 2，于是q也是偶数，并且p/q的公因数是,，不是即约分数。 • 因此，?2不是有理数。 言尽悖 • 《墨经下》篇:“以言为尽悖，悖。说在其言”。《墨经下》篇解释说:“以 悖， 不可也。之人之言可，是不悖，则是有可也;之人之言不可，以当， 必不审。”解释的意思说:以言为尽悖，此说不可以成立。如果持此说的 人，其言可以成立，则至少此言不 悖，还是有些言可以成立;如果其言 不可成立，则以此说为当者也就错了。 推理: • 如果“一切命题都是假的”真，那么一切命题都是假的。 如果“一切命题都是假的”真，那么，并非一切命题都是假的。 43 所以，并非“一切命题都是假的” ?、反三段论推理 • 三段论推理将在下一章中讨论。 • 严格来说“反三段论”是依据演绎推理的有效形式的定义从结论反推前提 的充分条件假言推理的否定后件式和选言推理的否定肯定式的综合应用， 不仅对三段论可以反推，对任何演绎推理都可以反推。 • 基本思想是，以推理的有效为条件，如果前提是真的，那么结论就不能是 假的。如果结论是假的，那么前提就不能都是真的，即每个前提都可能假。 如果知道其中的某个或某些前提真，剩下的命题一定为假，这就是结论。 • 反三段论推理有效式: ?，((,?,)?,)?(,?，,)?，, ?，((,?,)?,)?(,?，,)?，, 例子 • 如果“所有的金属都是导体”并且“所有的木头都是金属”那么，“所有的木 头都是导体”。 并非“所有的木头都是导体”并且“所有的金属都是导体” 所以，并非“所有的木头都是金属”。 (五)、假言联言推理 • 假言联言推理是综合应用假言的和联言的逻辑联词的性质进行的复合命 题推理。这种形式的推理有许多种，这里仅仅选择两种比较基本的推理形 式。 ?，肯定式:(((,?,)?(,?,)) ?(,?,))?(,?,) ?，否定式:(((,?,)?(,?,))?(，,?，,))?(，,?，,) 例子 • “如果一个国家落后，在国际上就没有发言权， • 如果一个国家拥有发展经济的重要资源，就会导致别的国家的侵略。” “,国又落后又拥有发展经济的重要资源” 因此，“,国在国际上就没有发言权并且会导致别的国家的侵略” 44 (六)、二难推理 • 古希腊时期有一群“智者”，专门靠传授别人如何辩论、演讲为生。普罗泰 戈拉就是著名的代表。 • 半费之讼: • 有一个叫欧特勒斯的人曾跟随普罗泰戈拉学习，双方合同约定:在欧特勒 斯入学时交一半的学费，另一半在毕业后第一次出庭打赢官司时再交。但 是，欧提勒斯毕业后迟迟不出庭替人打官司，因而，另一半学费只能一拖 再拖。普罗泰戈拉等得不耐烦了，决定向法庭起诉。他的推理是: • “如果这场官司中你败诉，那么，根据法庭判决，你应该付给我另一半学 费”; “如果这场官司中你胜诉，那么，按照合同规定，你应付我另一半学费”，“你或者胜诉或者败诉”， “都要付给我另一半学费”。” 欧特勒斯同样有一个推理，与老师的形式相同，但是结论相反: “如果这场官司中我败诉，那么，根据合同规定，我不该付给你另一半学费”; “如果这场官司中我胜诉，那么，按照法庭判决，我不应付另一半学费”， “我或者胜诉或者败诉”， “都不应该付给你另一半学费”。 • 二难推理的含义是“进退维谷，左右为难”。 有效式(1)简单构成式 • 简单构成式 : Q)?(R?Q)?(P?R))?Q” “((P? “((P?Q)?(，P?Q)?(P?，P))?Q” “如果P则Q，如果R则Q” “P或者R” 所以， Q 例子: “如果上帝能够创造一块自己举不动的石头，那么上帝不是万能的”， 45 “如果上帝不能创造一块自己举不动的石头，那么上帝不是万能的，” “或者上帝能够创造，或者上帝不能创造”; 所以，“上帝不是万能的”。 ?简单破斥式 • “((P?Q)?(P?R)?(，Q?，R))?，P”。 • 如果P那么Q，如果P那么R 非Q或者非R 所以，非P 例子: “如果C国对Y国的战争是正义的，那么就会得到国际舆论的支持，” “如果C国对Y国的战争是正义的，那么就会得到Y国人民的欢迎，” “C国对Y国的战争或者没有得到国际舆论的支持，或者没有得到Y国人民 的欢迎”; 所以，并非“C国对Y国的战争是正义的” ?，复杂构成式 • “((P?R)?(Q?S)?(P?Q))?R?S”。 • “如果P则R，如果Q则S” “P或者Q” 所以，“R或者S” 例子: “如果冬季的北方寒流加强，我国北方地区气温会很冷，” “如果冬季的太平洋暖流加强，我国北方会有温暖的天气，” “我国冬季或者北芳寒流加强，或者太平洋暖流加强，” 所以， “我国北方地区气温或者很冷或者温暖” ?，复杂破斥式 • “((P?R)?(Q?S)?(，R?，S))?，P?，Q”。 • 如果P那么R，如果Q那么S 非R或者非S 46 所以，非P或者非Q 例子: “如果我的当事人当时在场，那么就必须有在场的证据，” “如果我的当事人犯有被指控的B行为，那么，他一定有犯B行为的动机，” “或者没有我的当事人当时在场的证据或者没有我的当事人犯B行为的动机”， 所以，“我的当事人当时不在场或者没有犯指控的B行为”。 反驳二难推理的问题 • 一个二难推理的结论正确，必须复合两个条件: • 其一是推理的前提必须真实， • 其次推理的形式必须有效。 • 如果推理的形式无效，一定是违反假言推理或选言推理的逻辑性质的要 求。因此，指出推理形式的错误就可以极大的削弱结论的可靠行。但并不 能真正推翻结论。 • 如果推理的前提不真实，就必须指出前提的错误:可能是假言的条件关系 不成立，可能是选言命题的支命题没有穷尽所有的可能性等等。 “半费之讼”的结论错误在于前提的不真实。普罗泰戈拉的推理前提“如果这场官司中你胜诉，那么，按照合同规定，你应付我另一半学费”，违反了“同一律”的要求，转移了命题。如果学生胜了官司，应该是学生不应该再交另一半学费，而不是“依据合同”再交另一半学费。同样的欧提勒斯的推理也是前提错误，“如果这场官司中我败诉，那么，根据合同规定，我不该付给你另一半学费”，按照同一律的要求，学生败诉就必须交另一半学费，不能偷换成“依据合同”不交另一半学费了。 47 第三节:真值表 • 这是一种对推理有效性的机械的证明方法。 • 主要内容: 一，真值表的构造 • • 二，有效推理形式的真值表特征 • 三，归谬真值判定法 几个概念: 例如(p,q),p , q • • 原子公式:就是不含逻辑词的简单命题。例如上式中的p、q是原子公式。 • 支公式 :就是表达式包含的所有公式极其自身。上式中的支公式有:p、 q、 (p,q)、 (p,q),p 、(p,q),p , q • 真假可以分别用1，0表示，也可以用T，F表示、 一，真值表的构造与使用 • 1，真值表是一种通过复合命题的原子支命题的真值推演出复合命题的真 值的逻辑方法。它在结构上由列和行构成。分左右两个部分，左部分若干 列填入基本复合命题的原子支命题以及真值组合。右部分依次填入其它各 个层次的支命题。最后一个最长的支命题就是需要求值的复合命题。 • 2，对于一个原子命题，有真、假两种取值方法，对于两个原子命题，有“真 真，真假，假真，假假”四种取值组合。一般的对于n个原子命题有2n个 不同的真值组合。 • 3，真值表的计算:先检查被判定的命题有几种不同的原子命题，把真值 组合填入真值表中，其次把原子命题之外的支命题填入表中。最后，按照 表的相应的值依据逻辑联词的性质，计算出各个支命题的真值。 二，重言式 • 一个重言的命题在真值表中的所有值都是真的。 48 • 一个推理是有效的，当且仅当它的逻辑形式是一个重言式。 例子 • “或者A通过了考试，或者B通过了考试，A通过了考试，所以B没有通 过考试 运用真值表证明推理是不是有效: 第一步把写出推理的逻辑形式:((P?Q)?P)?，Q” 第二步是列表: P Q P?Q ( P?Q)? P (P?Q)?P)?，Q ，Q 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 例子:判定“((P?Q)?P)?Q)”是不是重言式 P Q P?Q (P?Q)?P (P?Q)?P)?Q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 三，归谬法真值表 • 使用方法: • 第一，该方法只能用于主逻辑词是蕴涵的命题。 • 第二，该方法是假设命题为假，通过逻辑矛盾判定此命题没有假的赋值。 • 第三，一个推理是有效的，当且仅当推理形式不可能有假的赋值 例子 • ,,(,,,) • 0 • 1 0 • 1 0 49 • 在第二步里A=1，但是第三步里A=0，逻辑矛盾。因此这个命题不可能有 假的赋值，因此是有效。 第四节，形式证明--命题逻辑演算 • 命题逻辑演算就是把上面的这些逻辑推理的有效形式用一个形式系统表 述出来。这是现代逻辑的内容。简单作介绍: • 现代逻辑的命题逻辑系统有两种:一种是自然演绎系统。他没有公理，只 有推理的规则。另一种是公理系统。有公理和推理规则。 • 现代逻辑系统可以分三个部分: 语形研究 语义研究 元理论研究 公理系统的语形研究 一，形式语言 二，形式系统 三，形式定理 四，自然演绎系统 五，证明的方法----目标回归法 一，形式语言sl • (一)，初始符号 1，命题变项符号:p、q、s、r或者 • • pi、qi、si、ri 。i=1、2、3、、、、 • 2，真值联词符号:，，,。 • 3，技术符号:(，)。 • (二)，形成规则: • 1，命题变项符号是合式公式; • 2，如果A是合式公式，则,，是合式公式; • 3，如果,、,是合式公式，则,,,是合式公式; 50 • 4，SA的合式公式仅由上述三条生成。 二，形式系统“SA” (三)，公理: 1，,,(,,,) (,1) 2，,,，(,,,),，(,,,) (,2) 3，(,,,),((,,C),(,,C)) (,3) 4，(,，,,),(,，,,) (M) 5，,,，(,,,) (H) 6，((,，,,),,),(,,,),, (C) 公理可以有不同的选择，这里的是最有代表性的系统。 (四)， 变形规则:(分离规则) 如果?,并且?,,,，则?B (?) (五)，定义: 1，,,,,edf，(,，,,) 2，,,,,edf(,,,，) 3，,,,,edf(,,,),(,,,) 三，形式定理 • SA的任一合式公式序列Δ(A1，A2…An)是SA中的一个演绎，当且仅 当，Ai要么是公理，要么是由在先的公式经变形规则而得的公式。 • 合式公式A是SA的形式定理，当且仅当，在SA中有合式公式序列Δ是 对A的形式证明。记作?SAA，简记为?A。 主要定理: ??,,, ??,,(,,,) ?? ?,,(,,,) ??,,??, ?? ??,,, ???,,,?, ??,?,,, 51 上面所讨论的有效推理形式都是定理。 • ??,?(,,,),, • ???,?(,,,),?, • ??(,,,),((,,,),(,,, )) • ??(,,,)?(,,,),(,,,) • ??(,,,)?(,,,),,,,?, • ??(,,,)?(,,,)?(,?,),, • ???,?(,?,),, • ??(,,,)?(,,,),(,,,) • ??(,,,),,?,,,?, 反之不成立 • ??(,,,),(,?,,,?,) 反之不成立 • ??(,,,)?(,,,),,?,,,?, 反之不成立 • ??(,,,)?(,,,),,?,,,?, 反之不成立 • ??,,,??,,?,, • (,,)?,,, • (,,)? ??,,, • (,,)?,?,,, • (,,)?,?,,, • (,,)?,,,?(,??,) • (,,)?,,,?(,??,) • (,,)?,,,?(,?,) • (,,)?,,,?(,?,) • (,,)?,?,,,?, • (,,)?,?,,,?, 证明举例 • 1 ?A,A • 2，?((A,B)?C)?(B?C) • 3，?A,((A,B),(C,B)) • 证1:?,,，(,,A),，(,,A) (?) 52 ? ,,(A,,) (?1) ? A,A ??(?) 证2: ?B?(A,B),((A,B)?C),(B,C))(?3) ?B?(A?B) (?1) ?((A?B)?C)?(B?C) ??(?) • 证3:?(C?A)?((A?B)?(C?B)) ( ?3) • ?(C?A)?((A?B)?(C?B))?(A?((A?B)? (C ?B))) 定理例2 • ?A,((A,B),(C,B)) ??(?) 四，自然演绎系统SD • 1934年甘岑提出自然演绎系统，很有用。 关于这个系统的语言和合适公式同上面的公理系统，我们主要是建立演绎的规则 和几个概念 1，自然演绎规则 • ?，重述〔R〕 • ?，合取引入〔,+〕 • ?，合取消除〔,-〕 • ?，析取引入〔,+〕 • ?，析取消除〔,-〕 ?，条件引入〔,+〕 • • ?，条件消除〔,-〕 • ?，否定引入〔?+〕 • ?，否定消除〔?-〕 • ?，等值引入〔,+〕 • ?，等值消除〔,_〕 2，演绎和后承 • 演绎:?令是一个合式公式序列(A1„„ An)， ?是sd的一个演绎，当 53 且仅当Ai要么是初始规则，Ai要么是由在先的公式根据规则而得的公式。 对A的演绎: 令 ?是sd的一个对A的演绎，iff，A位于?的最后一行， • An即 ?。 语法后承:令 ?是sd的一个对A的演绎，A是?的语法后承。记做??A • • 有前提的演绎: 在上述的11条规则中， 下列规则是前提消除规则: • ?，析取消除〔,-〕?，条件引入〔,+〕 • ?，否定引入〔?+〕?，否定消除〔?-〕 • ?，等值引入〔,+〕 令?是sd的一个演绎，如果?的主演绎序列中至少有一个提前是没有消除的，则称?是sd的有前提的演绎。 • 形式定理:令?是sd的一个演绎，如果?主列中没有任何前提，则称?是 sd的无前提的演绎。最后一行的公式即形式定理。 • 重言式:恒真的命题。这是一个语义概念 五，目标回归证明法 • 首先我们说一下演绎构造中的结果概念: • 1，主列和辅列:主列是最左边的列，其余的列都是辅列。主列或者是空 前提，或者是已知的前提。辅列是假设的前提引出的列，每次只能假设一 个前提。 • 2， 构造辅列的时候，要比左边的列退后两个空位以表示区别 • 3，使用消除列的规则的时候，如果消除了辅列的前提以及所引导的列， 得出的公式写入向左进的一个列中。 • 4，自上而下排列的演绎步骤为行，每次引入的前提或者推出的公式必须 占一行，并用数字表明行数。 • 5，被演绎公式的依据用所依据的公式所在行的数字表示。并记在被演绎 公式的最右列。如果使用改列的规则记录依据要整体引用列的序号。 54 • 6，每次只能使用一个规则演绎。 目标回归法对演绎的构造方略 • ?依据对A的演绎的定义，A必位于图的最后一行。因此在图中先写上A， 然后对A进行分析。判别A的类型(主要是蕴涵式、等值式和否定式)。 A被演绎时可能使用的规则。所依赖的在先的公式。这个过程不是唯一的。 所使用的规则也不是唯一的。 • ?，对A分析完成之后，可以反复使用上述方法，对A所依赖的公式再 进行分析;A所依赖的公式也有依赖的公式，直到完成演绎图的构造为止。 ?，对于蕴涵式，等值式要优先使用条件分析方法。对于A?B的类型公• 式要优先使用分情况证明方法。 • ?，对于A，，A类型的公式，在直接构造困难时可以考虑使用反正法和 归谬法(间接证明方法)。 • ?，构造演绎图要考虑最简形式，为此要优先考虑能够使演绎简化的方法。 例:?(,,,),((,,,),(,,, )) • 第一步，分析?(,,,),((,,,),(,,,))的结构，主逻辑 词是蕴涵。使用“,+”而得。如果这是一个定理的话，一定是无前提的演 绎。 • (,,,) (,,,),(,,,) “,+” 55 第二步:对“(,,,),(,,,) ”继续分解，这个也是蕴涵词，使用使 用“,+”而得，因此，需要一个辅助的前提，引起一个辅列: (,,,) • • (,,,) • (,,,) “,+” • (,,,),(,,,) “,+” • 第三步:对“,,,”在做分析，也是蕴涵词，使用了相同的规则: • (,,,) • (,,,) • A • C • (,,,) “,+” • (,,,),(,,,) “,+” • 第四步:完善中间的过程，整理步骤和依据: • ? (,,,) 前提 • ? ,,, 前提 • ? A 前提 • ? B ??,+ • ? C ??,+ • ? ,,, ?―?,+ • ? (,,,),(,,,) ?―?,+ 56 • ? (,,,), (,,,),(,,,)?―?,+ 六，导出规则 1:蕴涵三段论Hypotheitical syllogism(HS) • A?B • B?C • A?C 2:蕴涵否定后件式 Modus Tollens (MT) • A?B • ，B • ，A 3:析取否定肯定式Disjunctive Syllogism (DS) • A?B • ，A • B 4:等值置换(ER)Equivalence Replacement • • 令A、B、C是SL的任一公式，A在C中出现，将A的一处出现或处处 出现置换为B(记作B/A)，置换后而得的公式记为C,，则有: • 如果?(A,B)，那么?(C?C,) 练习: • 第一，给出习题4依据条件给出形式证明 • 第二，对第四节的定理给出证明。 第五节，真值树 • 在逻辑证明的方法中，有一种叫做消解法的逻辑技巧，他的基本思想就反 证法。要证明公式A是重言式(有效式)，当且仅当 “?A”是矛盾式(不 可满足)。真值树理论就是这种被称为消解法的基础理论。 因此，证明一个公式是有效式或者重言式，就变成了对它的否定公式的矛• 盾式的证明。也是就说，我们把证明的问题变成了否证的问题。 57 • 命题逻辑的真值树理论是很简单的。 一，几个基本概念 1，真值树:我们不严格地定义“树”这一概念，若要对它进行解释，则它是应用特定的规则构造的合式公式序列图，因为它像一棵倒置的树，由各个不同的分枝构成。树形图可以有一个枝，也可以有不只一个枝。真值树简称为树。这是一对语句S集的一种构造，在树的最终端，要么是S集中的原子语句要么是原子语句的否定。 • 2，枝:这是从树的末端到作为S语句前提的节点的连续路径。一个真值 树至少会有一个枝，有些树会有多个枝甚至无限的枝。 • 3，闭枝:如果树的一个枝中出现A,?A这样相互否定的公式，则该枝是 闭枝。闭枝出现后该枝的构造终结。 • 4，闭树:如果树的所有枝都是闭枝，则该树是闭树。闭树是终结的树。 否则，如果至少一个枝不是闭的，则称该树为开树。 二，树的构造规则 • 阐述树形图的构造规则之前，下述有等值关系的公式是规则展开的依据， 它们都是系统内的定理 • A, ??A • ，(A,B),A，,B • ，(A,B) , ，A，,B • ，(A,B) ，,A，,B • (A,B) ,(A,B),(，A，,B) ，(A,B),(，A,B),(A，,B) • • (A,B), ，A,B 58 在下面的树形图的构造规则中，左边的是不分枝的规则，右面的是分枝的规则: • ?，，A ? ，(A,B) • A • ，A ，B • ?A,B ? A,B • A • A B B ? A,B • • ?，(A,B) • ，A B • ，A • ，B ? A,B • ?，(A,B) • A ，A • A B ，B • ，B • ? ，(A,B) • • A ， A • ，B B 三，树形图的构造方法: • 第一 对于任一语句集的判定，应将被判定公式或它的否定公式列于树的 上方作为前提。每次判定的分解都应从主逻辑算子开始，分解的终点是原 子公式或原子公式的否定式。 • 第二 每分解一个逻辑算子构成一个步走骤，步骤自上而下依次标出。 • 第三 被分解过的公式应作上“,”号，如果同一树的同一枝中出现相互否定 59 的公式则结束这一枝的分解，并作“×”号;如果树的所有枝都作了“×”标 记，则可结束该树的构造，不管是否还有未分解的公式。 第四 被分解的公式如果是已给的前提，应在右边注明“P”，如果是依据规• 则由在先的公式而得的公式，应在右边注明在先的公式所在的位置的序 号。 第五 分解公式集合时，被分解的公式次序并不重要，应按照最简的原则，• 优先分解那些可能导致“×”号出现的或那些不分枝的公式。 • 第六 如果被分解的公式存在于树的分枝之先，则分解该公式时应将结果 分别写入各个树枝中。 • 第七，集合的所有公式分解到原子公式或原子公式否定为止。 例如: 构造{A ,B、， A ，,B}的数形图 • ? ，A，,B , P • ? A,B , P • ? A ?, • B • ? ，A ，B • × × ?,“完毕” 例 证明?(A,B),(，B，,A) • ? ，((A,B),(，B，,A)) , P • ? (A,B), ? • ，(，B，,A) , • ? ，B • ，，A , ? • ? A • ? ，A B ? • × × 完毕 60 例:? (,,,),,?,,,?, • ? ?( (,,,),,?,,,?, ) , P • ? ,,,, • ?(,?,,,?, ) , ??, • ? ,?,, • ?(,?, ) , ? ? , • ? ?, • ?, ?? ? , • ? A C ? ? • • ? ?, , ?, , ? , • × × × × END 习题练习:给出第四节的定理的真值树的构造证明。 思考题 • ?什么是命题,命题与判断的区别是什么, • 2，什么是推理的有效, • 3，联言、选言、假言命题的真值定义是什么,用真值表表示出来。 • ?什么是充分条件,什么是必要条件, • ?二难推理有那些有效式, • ?反证法、归谬法和反三段论的有效推理形式, • ?有那些基本复合命题的负命题的等值命题, • ?用真值表验证复合命题推理的有效性。 习题类型: • 1.指出下列是命题的表达式。 • ?，请你开开门好吗, • ?，好一场瑞雪～ • ?，难道她不认识他吗, • ?，钱能买来一切,我不信。 61 2. 将下列命题用人工语言符号表示出来 • ?，对待西方的文化，有三种态度，或者不加分析的一概排斥，或者不加 分析的一概接受，或者有分析有批评的吸收。 • ?，如果真理是怕批评的，如果真理能够批评倒，那么真理就不是我们所 需要的知识。 3.用符号写出下列推理的过程。并用真值表判断是不推理有效。 • ?，只有坦白才能从宽，你没有坦白，所以不能从宽。 • ?，不如虎穴焉得虎子，你得到了虎子，所以你进过虎穴。 • ?，一旦认识到错误，就能改正错误，你没有改正错误，所以你没有认识 到错误 • ?，只要有适当的温度鸡子才能变成小鸡，有了适当得温度，所以鸡子可 以变成小鸡 • ?，电脑出了错误，或是硬件上的问题，或是软件上得问题，是硬件得问 题，所以不是软件得问题。 • ?，除非改变计划，否则，这个战役必然被动，事实是战役很主动因此， 改变了计划。 • ?，没有科学得果树管理知识就不能有水果得高产。你有科学得果树管理 知识，因此，你的果树会高产。 • ?，要么泰山队取得冠军，要么北京队取冠军，要么大连队取冠军。大连 队取得冠军，所以，泰山和北京队没取得冠军。 4.依据条件给出形式证明 • ?，女排有A、B、C、D 、E、F、P、Q、R、S、T等12个队员，依据 比赛中的对手决定不同的组合。某场比赛的最佳搭配是这样的: • ? 如果P不上场，则S不上场。 • ? 只有D不上场，G才上场 • ? A和C要么都上场，要么都不上场 • ? D上场当且仅当R不上场 • ? 只有R不上场，C才不上场 • ? A和P两个人只能一个人上场 62 • ? 如果S不上场，则T和Q也不上场 • ? R和F两个人也只能有一个人上场 • ? G要上场。 • 请问这场比赛谁上谁不上场, • ?，某个盗窃案件有A，B，C，D四个人嫌疑最大，在对他们调查时他 们有如下的回答: • A:我没有作案，是B干的。 • B:我和C都没有干， • C:除非A干的，否则B不会干。 • D:A和C两个人至少有一个人人是盗窃犯 • 经过调查，A、B、C、D四个人只有一个人说真话，谁是盗窃犯，谁讲了 真话, ?，在一个集团偷盗团伙的案件中，赵、钱、孙三个人被警方拘留审查，警方查明如下事实: • ?，罪犯在作案时使用了汽车工具 • ?，如果没有赵，孙会作案 • ?，罪犯就是这三个人中的一个或三个 • ?，但是钱不会开车。 • 那么，赵是不是罪犯, ?，从下面的条件中可以推出谁是罪犯, ?，只有破获A号案件，才可以确认a，b，c是罪犯。 ?，A号案件没有破 ?，如果a不是罪犯，则a的供词真，a说b是罪犯 ?，如果b不是罪犯，则b的供词真，b说自己和c是好朋友， ?，现在已经查明，c不认识b。 • ?，a、b、c三人从哲学系毕业之后，一个是教授，一个是副省长，一个 是企业家。三个人并没有说明自己是什么身份，但是给出了如下条件: • a:我是教授但b是副省长 • b:a是付省长，但c是教授 63 • c:a是企业家，但b是教授 • 事实上三个人都说了一半，请说明三个人各是什么身份, • ?，已知下列条件只有一句话是真的: • ?，或者小周不是女士或者小陈不是女士 • ?，只有小周是女士小孙才是女士， • ?，小刘是女士，小陈也是女士 • ?，小周不是女士 • 问谁是谁不是女士, • ?，已知A、B、C、D有下列关系: • ?，若A不真包含于B，那么C与D相容 • ?，只有B与D不相容，B才不真包含于D • ?，B与D相容但C与D不相容 • 求A、B、C、D四者之间的关系, • (8)古代有个智者犯了死罪，国王在执行他的死刑时留给他一个机会， 希望他能用智慧拯救自己的生命。国王对智者说:“在你面前站着两个卫 兵，他们手中各自端着一瓶外观完全一样的酒。其中一瓶是美酒，一瓶是 毒酒。两个卫兵互知道对方的底细，并且有问必答。只是其中一人只答真 话，另一人只答假话。外人不知到他们谁说真话谁说假话。现在只允许你 问其中一个卫兵一个问题。然后，根据卫兵的回答判定那瓶是美酒并且把 它喝下去。如果你判断错了，那么就执行你的死刑，如果你判断对了，那 么你就自由了。”智者思索片刻，问了士兵一个问题，然后根据卫兵的回 答讲一瓶酒一饮而尽，他喝的果然是美酒～ • 问智者问的是什么话,写出判定那一瓶是美酒的推理。 5，用用真值表证明下列命题的逻辑关系。 • ?，(P?q),(，p?q) • ?，(p?q)，,(，p?，q) • ?，(P,q),(P?q)?(q?P) • ?，(P?q),(，q ?，P) • ?，(p?q),(，p?，q) 64 • ?，(p|q),(，p?，q) • ?， p?(q?p) • 注: p?q的意思是既非p又非q;(p|q)的意思是既非p或非q • 6，假设下列推理都是有效的，按照要求完成各题: • ?，在某个菜馆中，所有的菜或者是川菜，或者是粤菜，张先生点的菜中 有川菜，因此张先生点的菜中没有粤菜。以下哪个选项最能增强上述的论 证, • ,:餐馆规定，点川菜就不能点粤菜，反之亦然 • ,:餐馆规定，如果点川菜可以不点粤菜，但是点了粤菜，一定要点川菜 • ,:张先生是四川人，只喜欢川菜 • ,:张先生是广东人，但不喜欢粤菜 • ,:张先生是四川人，最不喜欢粤菜。 • ?，评价一个企业管理者的素质时，有人说:“只要企业能获得利润，其 管理者的素质就是好的” • 以下各项都是对上述看法的质疑，除了: • ,:有时管理曾会用牺牲企业长远利益的办法获得近期利润。 • ,:有的管理者采取不正当竞争的办法，损害其它企业，获得本企业的利 润。 • ,:某卷烟厂连年利润可观，但领导层中挖出了一个贪污集团。 • ,:某电视机厂的领导任人为亲，工厂越办越糟，群众意见很大。 • ,:某计算机销售公司近几年获得利润在同行命列前矛，但有逃避关税问 题。 • ?，如果未来父母在孩子出生前确实想要这个孩子的话，那么，孩子出生 后肯定不会受虐待。 以下哪一个项如果成立，则以上的结论才会真: ,:未来的父母一旦有了自己的孩子就会改变原本只是想传宗接代的观念。 • ,:爱孩子的人不会虐待下一代。 • ,:不想要孩子的人通常也会抚养孩子。 • ,:不爱自己孩子的人通常会虐待孩子。 65 • ,:会虐待孩子的人都是不想要孩子的。 • ?，一个产品要创名牌，必须保持过硬的质量，一个产品，只有提高技术 含量，才能保持过硬的质量，而一个企业如果忽视技术投资，则新产品的 技术含量就不可能提高。以下哪项结论可以从上面的条件中推出: ?，一个生产名牌产品的企业，不可忽视技术投资 ?，一个缺少技术含量的产品，不可能创称名牌 ?，一个产品质量不过硬的企业，一定忽视了技术投资 • ,:只有? • ,:只有? • ,:只有? • ,:只有?和? • ,:?、?、? • ?，学校为了提高提高干部的业务管理水平，实现计算机管理，决定举办 计算机知识培训班，要求干部们积极报名参加，小张约小李一道去报名参 加学习，小李回答说，“我又不是从事计算机专业工作的，有什么必要一 定要去参加计算机知识的培训。我的工作业绩和管理能力是有目共睹的”。 小李的回答包含了什么错误前提: • ,:人们学习计算机应用知识是没有必要的 • ,:计算机的普及是相当遥远的事 • ,:计算机知识的学习应当在学生中进行 • ,:计算机不可能代替人脑的思维 • ,:只有从事计算机专业工作的，才应该学习和掌握计算机知识 • ?，要使中国足球走出亚洲，关键是要有科学的精神，如果没有科学的精 神，物资激励再多，也不可能在世界强队面前有好的突破。请指出下面选 项中与上面的含义不同的命题是: • ,:只有发扬科学精神，才能取好的得突破 • ,:除非有科学的精神，否则不能取得好的突破 • ,:如果取得了好的突破，说明一定有了科学的精神 • ,:不能设想中国足球队取得了好的突破但是没有科学的精神 66 • ,:只要有了科学的精神，即使是其它方面跟不上也能取得好的突破。 • ?，在某大学校庆时，老同学聚会分外亲切，其中有三个人a、b、c成为 了作家、教授和某省省长，尽管不直接知道他们的身份但知道条件: • ?，他们分别毕业于哲学系、经济系和中文系， • ?，作家称赞中文系毕业的同学身体健康。 • ?，经济系毕业者请教授写了一个条幅， • ?，作家和经济系毕业者在一个省里工作， • ?，b向哲学系毕业者请教过哲学， • ?，在大学读书时经济系毕业者和b都追求过c。 • 下列那一个项是真的: • ,:c是作家，a是省长 • ,:b毕业于哲学系 • ,:a毕业于中文系 • ,:中文系毕业的是作家 • ,:经济系毕业的是教授。 • ?，甲，乙、丙三人一起参加了物理和化学两门考试。三人中，只有一个 人在考试中发挥正常，考试前: • 甲:“如果我在考试中发挥不正常，我将不能通过物理考试，如果我在 考试中发挥正常，我将能通过化学考试”。 • 乙:“如果我在考试中发挥不正常，我将不能通过化学考试;如果我在 考试中发挥正常，我将能通过物理考试”。 • 丙:“如果我在考试中发挥不正常，我将不能通过物理考试，如果我在 考试中发挥正常，我将能通过物理考试”。 • 考试结束后证明三个人说的都是真话，并且，发挥正常的人是三个人 中唯一通过这两门科目中某门考试的人，发挥正常的人也是三人中唯一没 有通过另一门考试的人。从上述条件可以推出: • ,:甲是发挥正常的人 • ,:乙是发挥正常的人 • ,:丙是发挥正常的人 67 • ,:题干中缺乏足够的条件断定是谁发挥正常。 • ,:题干中包含矛盾信息。 (9)有甲乙丙丁戊五个人，每个人头上戴一顶白的或黑的帽子，每个人只能看见别人头上的帽子，不能看见自己头上的。一个人戴白帽子，当且仅当他说真话，戴黑帽子当且仅当他说假话。已知下列条件: 甲说:我看见三顶白帽子，一顶黑帽子。 乙说:我看见四顶黑帽子。 丙说:我看见一顶白帽子，三顶黑帽子。 戊说:我看见四顶白帽子。 问下列哪个真: ,:甲和丙都戴白帽子 ,:乙和丙都戴黑帽子 ,:戊戴白帽子，丁戴黑帽子 ,:丙戴黑帽子，甲戴白帽子 ,:丙和丁都戴白帽子 解:?设甲说真话。则有四顶白帽子。那么，乙丙的话皆假。如果乙丙的话皆假，那么乙丙都是黑帽子，这与假设矛盾。因此，甲说假话，戴黑帽子。 ?设乙的话真，那么乙是白帽子，那么有四顶黑帽子一顶白帽子。丙的话真。如果丙的话真，丙戴白帽子，这样会有两顶白帽子，同乙的话真假设矛盾，所以，乙话假，戴黑帽子。 ?，从??可知已经有两顶黑帽子了，所以戊的说法不真，因此戊戴黑帽子。这样有了三顶黑帽子了。 ?设丙说假话，丙戴黑帽子。这样就有了四顶黑帽子，因此，乙的话真。但是已经证明乙的话假，所以丙不能说的是假话。因此丙说真话戴白帽子。由于丙看不见自己的帽子，这样，就有两顶白帽子。 ?从上面的推理可以知道丁戴白帽子，说真话话。因此丙丁戴白帽子。 (10)某地有两个奇怪的村庄，张庄的人在周一、三、五说慌，李庄的人在二、四、六说慌，其它时间他们都说真话，一天，一个外地人来这里，见到两个人，一个来自张庄，一个来自李庄。分别向他们提出关于日期的问题，这两个都说“前 68 天是我说慌的日子”，请问，外地人所问的这一天是星期几, 解:分析，“前天是我说慌的日子”是哪一天说的，决定于“前天”是哪一天。可以通过假设得到结论，可以假设“前天”也可以假设“问话”是哪一天。注意时间概念“今天” “昨天”“前天”的排序关系，“前天”是问话那天的前两天 。 ?设如果“前天”是星期天，则都说真话。则问话那天是星期二，张庄人说真话。因此，张庄人不会说“前天是我说慌的日子”。假设不成立。 ?设如果“前天”是星期一或星期三，则张庄人说假话、李庄人说真话。则问话那天是星期三或星期五，李庄人说真话，因此，李庄人不会说“前天是我说慌的日子”。假设不成立。 ?设如果“前天”是星期二或四，则张庄人说真话、李庄人说假话。则问话那天是星期四或六，张庄人说真话。因此，张庄人不会说“前天是我说慌的日子”。假设不成立。 ?设如果“前天”是星期五，则张庄人说假话、李庄人说真话。则问话那天是星期天，都说真话，李庄人不应说“前天是我说慌的日子”。假设不成立。 ?设如果“前天”是星期六，则张庄人说真话、李庄人说假话。则问话那天是星期一，张庄人说假话，李庄人说真话，因此，张庄人李庄人都会说“前天是我说慌的日子”。 所以，问话的这一天是星期一。这是一个选言，归谬综合推理。 69