关于实数的戴德金分割理论

是对无理数的认识，早在19世纪前期，柯西就已经定义了无理数。他在《教程》中，把无理数定义为收敛的有理数数列的极限: 如果存在一个数和一个有理数数列 ，使得 ，那么 就是一个无理数。例如，纳皮儿 (Napier.J)常数 就是有理数基本列收敛的结果。 但是，这个定义在逻辑上有问题。也就是有理数列并不一定收敛于一个无理数。 19世纪60年代末期以后，维尔斯特拉斯，康托，梅雷，戴德金等人分别给出了无理数的定义。他们都是以有理数为基础，引出了无理数，从而建立了实数理论。在所有这些人的工作中，戴德金的实数理论是最完整的，出于对直线连续性的考虑，采用经典的集合理论，他用有理数分割理论定义了无理数，从而定义了实数理论。康托和戴德金大致同时提出了这个假设，所以这个假设被称为“康托-戴德金”公理。这个假设认为，直线上的有理数是不连续的，那么一定还有另外一些“数”来填补直线，才能使得直线是连续的。如何把这些“数”示出来，戴德金用对全体有理数的一个“分割(等价类)”来定义了无理数，而康托则是用理数序列定义的实数。 1(1 戴德金方法 戴德金方法称为戴德金分割，是将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B，使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素。戴德金把这种划分定义为是对有理数的一个分割，记为(A，B)。因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割(A，B)。在这一定义中，由一个给定的有理数r产生的两个实质上等价的分割被看成是同一的。戴德金方法定义的实数的确比较晦涩难懂。其实通俗一点来说，这个方法就是认为直线没有被有理数填满，还有“空隙”存在，那么这个分 1 割就是在数轴上切一刀，把现有的有理数分成两部分，如果这一刀恰好切在了一个有理数上，那么这个分割就是一个有理数，反之，就是一个无理数。 一个对有理数的分割(A，B)，戴德金是这样定义的: 定义(分割) 将有理数全体组成的集合分成A， B 两类，使满足以下性质: 1) A与B 都至少包含一个有理数(不空); 2)任意一个有理数或属于A，或属于B (不漏); 3) A中任一数a 均小于B 中任一数b ，即a A;b B a , b(不乱); 4) A中没有最大的数，即a A ，， a A ，使a , a 。 则称A， B 为有理数的一个分割。 其中，定义中4)用到了有理数的稠密性(即任意两个有理数之间必有一有理数)，如A有最大数，将此数放入B ，则它是B 的最小数，这时A就无最大数;因为若A还有最大数，根据有理数的稠密性， A的最大数与B 的最小数(原来A的最大数)之间必有一有理数，这个有理数被漏掉了，这与分划的定义矛盾。 分割分为有理分割和无理分割，有理数的任意一个有理分割对应一个有理数，有理数的任意一个无理分割对应一个无理数，有理数与无理数统称为实数。 1(2 康托(Cantor)方法 康托把每个有理数基本序列与一个实数等同起来。他是这样定义实数的，也是目前教科书中经常采用的定义。 定义1:(等价关系) 假设A是一个集合，G是集合A的一个关系，如果对于任意。 (1)(自反性) ; (2)(对称性) 由 必能推出 (3)(可传递性) 和 必能推出 定义2:有理基本列(Cauchy列) 若有理数列 满足下面的Cauchy收敛条件:对任意有理数 ，存在自然数N，使得当 时， 成立那么称 是有理基本列或者Cauchy列。 定义3，(实数) 若 和 是两个有理基本列，若对任意有理数 ，存在自然数N，使得当 时， 成立 那么称它们是等价的，或者是对等的。将所有与有理数列 等价的有理基本列组成的集合称为一个等价类，记为 。那么每一个有理基本列等价类称为一个实数。 上面关于对实数的定义，都把有理数作为已知。而有理数可以表示成为两个整数之比，因此问题归结为对整数研究。但是维尔斯特拉斯认为没有必要对整数的逻辑进一步进行研究，而戴德金则不这样认为，他在《数的性质与意义》一书中，利用集合的理论给出了整数理论。虽然因为过于复杂而没有被采用，但是却给了意大利数学家皮亚诺启示。他在《算术原理方法》给出了对自然数的定义，接着用自然数定义了整数，有了整数再通过有序对定义了有理数。不过，皮亚诺是用公理和逻辑的方法建立了上面的理论，这让数学家们感到不很舒服，他们认为是把一个本来很清楚的概念“做了不可理解的推广”。关于皮亚诺给出的自然数的定义，我在另一篇文章中已经给出了阐述。 到目前为止，我们分别给出了两种定义实数的方法，这也是目前公认的最完备的定义。然后就应该讨论实数的一些性质，比如实数的运算，倒数，负数，实数的表示形式;再比如实数集合的性质，比如实数集合是域，是一个全序集合，实数集合是连通的(但是有理数集合不是连通的);然后就是六个定理，确界定理(有界非空实数集必有确界)，单调有界定理(任一单调有界实数列必有极限)，Cauchy收敛准则，区间套定理(区间套,,an,bn,,,在实数系中存在唯一的一点ξ使得ξ?,an,bn,(n,1,2,...))，聚点定理(在实数轴上，无限有界点集必有聚点)，开覆盖定理(一定可选取有限个开区间覆盖闭区间)。 二，实数定义的“缺陷“ 先说戴德金方法，有人批评戴德金分割(A，B)存在不够完备的地方。因为按照他定义无理数的方法，即如果A中无最大数，B中也无最小数，则称此“分割”为一个无理数。 2 针对这种定义，有批评者问:在A中无最大数，B中也无最小数时，必须事先证明A与B之间的“空隙”只能容纳一个点，才能将此“分割”定义为一个(无理数)实数，但戴德金并未作此证明，就将此分割定义为一个实数而不是若干个甚至无数个实数，此空隙内是否还有非实数存在，戴德金也未给出否定的证明，这是否是戴德金实数理论的缺陷,批评者说，数学家戴德金是为了证明实数的完备性才这样定义实数的，他用这个不合理的实数定义回避了无穷小危机。对此有反对者说，以上批评者说的“空隙”一词，是没有意义的;其说的“一个点“的”点“字也是没有意义的，而戴德金的“分割”一词是有严格的定义的，采用的是经典的集合论的概念。按照集合论中的概念，“同一个“分割和”不相同“的分割，区分是很明确的，逻辑是很严密的;“同一个“分割定义成同一个实数，”不同的“分割是不同的实数，因此说”空隙“是否”一个点“的问题天然就不存在。 根据戴德金方法定义的实数体系以及几何上直线上的点，可以证明实数与直线上的点是“同构“的——证明方法可以用”辗转相截法“——凡到起点的距离与单位线段之比存在最大公比的点，对应于一个有理数，不存在公比的点，对应于一个无理数。用这种办法建立了”实数区间“和”线段“之间的”同构“以后，”一个实数“才能看作和”一个点“对应。也就是说，一个确定的有理点的”分割“，可以唯一确定一个辗转相截法的序列;”有理点的分割“和”无理点“之间是一一对应的(保持左右次序关系)。 不过目前有认为，对批评者反对的人说的戴德金实数“分割“的完备性是成立的;而批评者说的空隙内是否还有非实数存在，戴德金虽然未给出否定的证明，也是成立的。理由来自美国数学家鲁滨逊1960年建立的实线拓扑学的非分析，鲁滨逊的内部集合论指出:数轴上能表达出来的自然数、整数、有理数、无理数、实数、虚数等，都是标准数，但数轴上还有不能表达出来的非标准数;实数可以用一条被称为实线的直线上的点表示，它由整数(正整数和负整数)、有理数(能够表为分数的数)和无理数(不能表为分数的数)等三类标准数组成，而与它们相联系的无穷小量则称为非标准数。 由于19世纪的数学家们为无穷小发明了一种技术替代法，即所谓的极限理论;而该理论是如此周全，众多研究者都能把无穷小从芝诺悖论中驱逐出去。但是与极限理论不同，鲁滨逊认为无穷小为运动的细节提供了细微的观察。他的非标准分析法不是把无穷小驱逐出去，而是把人的观察责任驱逐出去。非标准分析是一种“点内数学“，最著名的例子是希腊神话中的飞毛腿阿基里斯追不上龟的悖论;从芝诺悖论到点内空间，正确的处理是思维与存在、物质与真空存在零点界面。但点内非标准分析涉及最多的还仅仅是平面和球面解析，缺少环面解析，而这恰恰属于不确定性解析的范畴。 现在再说康托方法。康托无疑是连续统(有理数与无理数的统称)理论的创始人之一，有人说他是“实数理论研究的终结者”。但是他在创建连续统理论的时候首先涉及的概念是有限与无限，但是他也没有给出严格的定义，因为这也是很困难的，因为有限与无限是一对矛盾。 1)，有限却没有“限”(界)。 2)，“每一个自然数都是有限的”，所有有限的自然数却构成了无限的自然数集。 3)，“势(或称基数)”是刻划集合元素“数目”的一个概念。并且给出了一个可列(或称可数)集的“势”(设其为a)，这个“势即a”显然有“最大自然数”的意思。并且有a+a=a,a×a=a,a^n=a(n为有限自然数)。但却有2^a>a，这就是说二进制自然数的位数不能是a，即a位的二进制自然数是不允许的。但谁也不敢把这个“不允许”说出来，因为谁都知道这个“不允许”是不合理的。因此这个可数集“势”这一概念本身就是自勃的，不清晰的。从这些不清晰的，甚至是自相矛盾的概念，能推出正确的结论吗,显然不能。因此康托只是“实数理论研究的开辟者”。 3