职高公开课椭圆的性质

公 开 课 教 案 课  题： 班  级： 时  间： 地  点： 授课人： 学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。 教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？ 稍作提示容易发现中心对称性。 教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？ 师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的方程。不妨建立焦点在x轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是 + =1。 教师：这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。 教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。 为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾） 教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？ 学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。 教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明----- 学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。 在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。 教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。 请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。 教师对学生的证明进行评价。 教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。展示对称性并：方程 + =1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心). 教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。 投影显示下图及问题 y o                  x 问题：图中的椭圆有对称轴和中心吗？ 指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。 2.顶点的发现与确定 教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。 教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？ 由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标 轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。 教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。 教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？ 由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b) ，令y=0，得x=±a，因此A1 (-a,0), A2(a,0)。 结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。 由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。 3.图形的范围 教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A1、A2作y轴的平行线，过B1、 B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？ 学生能答出：椭圆围在一个矩形内。 教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a, y=±b所围成的矩形里，说明椭圆 是有范围的。 教师：下面我们想办法再用方程 + =1(a>b>0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。 从方程的结构特点出发，师生共同，给出证明过程。 由 + =1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得， x ≤a 且y ≤b ,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。 4．离心率 教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样 吗？ 同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。 请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？ 课件动画演示 此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。 通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。 教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形 里，矩形的变化对椭圆形状的影响。 矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。 即当比值 越小，椭圆越扁；比值 越大，椭圆越接近于圆。 由于 = = = ，所以当 越大时， 越小，椭圆越扁；当 越小时， 越大，椭圆越接近于圆。把比值e= 叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0＜e＜1。 结论：椭圆在- a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。 由上面的分析可以看到，比值 、 的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为什么定义 是椭圆的离心率呢？因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定椭圆形状最关键的要素，随着今后的学习可以看到 还有更重要的几何意义。 三．巩固与创新应用 例1求椭圆 + =1的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画出它的草图。 本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师 介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。 解：由于a=5,  b=4 ，c= =3 椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8 离心率e= = 因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是 (-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4) 教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图，方法如下：（课件展示） 首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。 教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。 学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。 教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例1那样，用描点法 画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。 练习：如果把例1中的椭圆方程改为 + =1，则长轴长、短轴长、离心率和顶点有什么变化。 此处是一个创新点，培养学生用类比的思想解决问题的能力，也通过与上题做比较，使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的，是客观存在的，与坐标系的选取无关。 学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师要予以纠正。（此题用实物投影展示或由学生到黑板板书） 例2 我国发射的“神舟五号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F2为一个焦 点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点B（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且F2、A、B在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km） 设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。 师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。 教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系）。 怎样建系？（以过A、B的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为 + =1 (a>b>0)。 下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？ 学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。 ｜F2 A｜=6371+200 ，｜F2 B｜=6371+350 又∵｜F2 A｜=｜o A｜-｜oF2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o A｜-｜oF2｜=｜F2 A｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o B｜+｜oF2｜=｜F2B｜=6371+350=6721 解得    a=6646，  c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 因此，飞船的轨道方程为 + =1 学生可能出现的另一种解法： 由2a =｜AB｜=｜BN｜+｜NM｜+｜MA｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜oF2｜=｜o A｜-｜F2 A｜    =6646-6371-200=75 以下做法同上。 计算过程由学生用计算器求得。 教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。 四．总结提炼 教师：通过这节课学习，你学到了什么？（教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结，培养学生反思自己学习过程的意识） 1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。 2.数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中 注意运用。  3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。 五．研究性作业 (1).以椭圆这部分内容为知识背景,以自述体的形式写一篇200字左右数学小短文,题目为《我的自述》，下次课进行展读。（本作业意图是，通过短文的形式让学生反思学习过程，增强对椭圆知识的理解与领悟，提高学生数学表达能力，拓展思维，彰显个性。） (2).在生活中搜集椭圆图形，把你最喜欢的两个图形建立两种不同形式的标 准坐标系，写出标准方程,指出它们的性质。  (3).自己查阅相关数据，编拟题目，利用椭圆的性质解决一个天体运行中的实际问题。（此题为增强学生的应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。） 六.课外阅读 推荐一本科普读物《探索形状奥秘》。 （本书知识性、趣味兴很强，它图文并茂地揭示了人们日常目睹的各种形状 中蕴涵的科学道理，其中包括椭圆、抛物线等多种曲线。通过阅读欣赏,进一步激发学生对数学的兴趣和探索的欲望，培养学生的科学素养。） 板书 椭圆的性质 一．性质 以方程+=1(a＞b＞0)为例研究 1.对称性.椭圆关于x轴、y轴及原点对称. 2.顶点.顶点坐标:(a,0) , (-a,0), (0,b),(0,-b). 3.范围.椭圆位于x=±a,y=±b围成的矩形内. 4.离心率.e = (0 二．应用