天然气在气藏渗流时所遵循的渗流方程

天然气在气藏渗流时所遵循的渗流方程 大庆石油学院本科生毕业(论文) 摘 要 气体在多孔介质中的渗流过程和状态都是用微分方程来描述的，本文对物理方程理论基础知识进行讨论，其中对包括定解问题的解法，推导热传导方程，贝塞尔函数概念的介绍等.利用热传导方程理论，第一类和第二类贝塞尔函数等概念建立天然气渗流方程并且进行推导.根据真实气体在多孔介质中的渗流特性，建立了天然气在气藏渗流时所遵循的渗流方程，但是这种气藏渗流方程属于非线性偏微分方程，而这种非线性偏微分方程不便于求出解析解，本文恰当地进行了函数变换，使这个方程式线性化，在确定气藏渗流问题的实际定解条件后，解出了气藏渗流问题的解析解.本文根据生产实际情况，确定了天然气在无限大气藏中渗流时满足的定解问题，并解出了解析解. 关键词:，微分方程;热传导方程;渗流方程 I 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) Abstract the seepinging process and state of the gas in porous medium can be described by differential equation this paper discusses the basic knowledge of physics equation principle including the solution of 定解 equation, eduing the heat exchange eqution,the concept of 贝塞尔 fuction and so on. using the heat exchange equation principle , the concept of first kind and second kind 贝塞尔 fuction to set up natural gas seeping equation and to enduce it .according to the seeping charactor of true gas,it sets up the seeping equation which the natural gas follows when it is seepinging in gas storage but the equation belongs to non-linearity 偏differential eguation ,that is not convenient to solve ,however ,through transforming function this paper can make the linearization of the equation ,after make sure the actual 定解 condition of the 气藏 seepinging problem ,to give the analytic solution . according to the fact ,this paper makes sure the 定 解 of the natural gas when is seeping in infinity 气 藏 and give the analytic solution. Key words: II 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 目录 第一章 数学物理中的偏微分方程 ....................................... 1 1.1数理方程的一些基本概念 ........................................ 1 1.2热传导方程 .................................................... 2 1.3定解条件和定解问题 ............................................ 5 1.4关于定解问题的解法 ............................................ 8 1.5第一类和第二类贝塞尔函数 ..................................... 13 第二章油气藏渗流理论 ............................................... 15 2.1引论 ......................................................... 15 2.2动量方程式 ................................................... 17 2.3连续方程式 ................................................... 22 2.4状态方程式 ................................................... 23 2.5流动方程式 ................................................... 25 第三章 真实气体渗流问题及其气井理论模型 ............................ 30 3.1均匀气藏渗流模型的建立 ....................................... 30 3.2无限大均质气藏渗流问题解 ..................................... 33 参考文献 ............................................................ 38 致 谢 ............................................................... 39 III 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 第一章 数学物理中的偏微分方程 从许多物理问题可以归结出三种典型的数理方程以及关于它们的各种定解问题，本章首先介绍了数学物理方程的一些基本概念，接着讨论求解方法的基础. 1.1数理方程的一些基本概念 许多物理规律，过程和状态都是用微分方程来描述的.当我们研究质点运动时，常常提出偏微分方程的问题.例如，油气藏中的流体质点运动是具有多个自变量的运动过程，通过解偏微分方程，就能求出流体质点运动所应遵循的变化规律.所谓一个偏微分方程，是指含有某未知函数的偏导数的关系式.例如 u 2,,,uuu,，，，atxbtxctxuftx,,,,， (1.1.1) ，，，，，，，，2,,,txx 222,,,uuu(拉普拉斯方程)， (1.1.2) ,,，，,u03222,,,xyz 2,u2,,，auftxyz,,,(波动方程)， (1.1.3) ，，32,t (冲击波方程)， (1.1.4) uuu，,0tx Kdvuuuu，，,,0(方程) (1.1.5) txxxx atxbtxctxftx,,,,,,,等等都是偏微分方程.其中均为常数，，a，，,，，，，，，，， ftxyz,,,及为已知函数，微微知函数. u，， 一个偏微分方程中所含偏导数的最高阶数称为此方程的阶;如果一个偏微分方程对未知函数及其偏导数都是一次的，则称为线性方程，否则称为非线性方程，例如，(1.1.1)(1.1.2)(1.1.3)都是二阶线性方程，方程(1.1.4)是一阶非线性方程;(1.1.5)是三阶非线性方程. 数学物理方程通常是指从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程. xxx,,,,,,,的二阶常系数线形偏微分方程，它的一般形式是 1,2,n 2nn,,uu2 (1.1.6) abcufxxx，，,,,,,,,,，，,,ijin1,2,,,,xxx,i,j=1i1iji 1 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 这里是常数，且是以知函数.若方程(1.1.6)abc,,aafxxx,,,,,,,,,，，ijjin1,2,iji 中的自由项，则称方程是齐次的，反之，就称方程是非齐次的. f,0 任何一个在自变量的某变化区域内满足方程(即代入方程后成为恒等式)的函数，称为方程的一个解.例如，可以直接验证，除了点 外，函数 xyz,,，，000 1 uxyz,,,，，222xxyyzz,，,，,，，，，，，000 满足三维拉普拉斯方程 222,,,uuu ,,，，,u03222,,,xyz 一个偏微分方程的解是无穷多的，而且一般说来，一个一阶偏微分方程的解依赖于一个任意函数，一个二阶偏微分方程的解依赖于二个任意函数.例如，自变量为，的一阶线性方程 yx ,u ,fx,，，,y 由于只依赖于的函数对的偏导数为零，所以把上式两边对积分得 yyx u,udyfxdyxfxyx,, ,,,，,，，，，，，，，，,, y, ,x其中是任意的函数. ，， 1.2热传导方程 如果一个物体内，各点的温度不全相同，实验证明:在体内有热量传播，而且热量由温度高处向温度低处，设表示时刻在该物体内点,(t,x,y,z)M(x,y,z)t 处的温度，则热的传播服从富里叶热传导定律:在无穷小时间段内，沿(t,t，dt) dSdSM点处的面积元素的法向流过的热量与温度的下降率成正比，即 n ,udQkxyzdSdt,,(,,) (1.2.1) ,n M这里称为物体在点处的热传导方程系数，它应取正值.负号表示热流k(x,y,z) 指向温度下降的方向. (1.2.1)式可以写成 dQkxyzundSdtqndSdt,,,,,,(,,) Mnn这里qkxyzu,,,(,,)是方向单位向量，称为在点处的热流密度向量，其方向与温度的方向相反. 2 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 现在来导出物体的温度 所对应满足的方程.为简utxyz(,,,) 单起见，假定物体是均匀的，并且是 ,u各是向同性的.因而体密度，热传 ,,kdS,n k导系数和物体的比热是常数.又c S dS设物体内有热源分布，其密度为 ,V，即单位时间内体积f(t,x,y,z) 中热源所放出的热量为: V f(t,x,y,z),V 为了导出所满足的方utxyz(,,,) 程，在物体内部想象地分出一块体积图 1.1 VS，命为其边界曲面图(1.1)，在 时刻考察这块物体的热量平衡. t SdSdtdSV 在曲面上取微元，由富里叶定律可知，无穷小时间段内通过从 内流出的热量为 ,u. ,kdSdt,n 这样在时间段内自这块物体中流出的热量应为 [t,t]12 t,u2{}QkdSdt,,. 1,,,t1,nS 由奥高，有 , ,udSundSudxdydz,,,,, ,,,,,,,,nSSV 故 t2Qkudxdydzdt,,,{} 1,,,,t1V 另一方面，这段时间内这块体积中热源放出的热量为 t2Q,{f(t,x,y,z)dxdydz}dt 2,,,,t1V utxyz(,,,)utxyz(,,,)Q,Q差使物体温度由变为.由热学公式，温度的这个改2211 变所需热量为 Qcutxyzutxyzdxdydz,,,[(,,,)(,,,)] 321,,,V 3 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) t,u2 ,{},cdtdxdydz,,,,t1,tV t,u2,{} ,cdxdydzdt,,,,t1,tV 这里我们交换了积分顺序，由热量平衡，应有 ， Q,Q,Q213 t,u2{[]}0,,即 cfkdxdydzdt,,,, ,,,,t1,tV V由于，与都是任意的，故得到 tt21 c,,,k,,,f,0t k如令，则方程可改写为 a,c, ,u12 ,,，aufxyz(,,),,tc 这就是三维热传导方程，特别地，如果在物体内部没有热源分布，则有 ,u2,,au ,t 如果考虑的是稳定温度场，这时温度只是空间坐标的函数，不依赖于时间，即u,0，就得到三维拉普拉斯方程 t ,,u0 在有热源的情形，就得到泊松方程 1,,,,ugxyzgxyzfxyz(,,),(,,)(,,) k 现在考虑各向同性的均匀细杆的热传导问题，取细杆的方向为轴，设在每x一个垂直于轴的断面上温度相同，细杆的侧表面与周围介质没有热交换，且在x 杆内没有热源.这时温度只是坐标x和时间的函数，因而 utx(,)t uu,,0 yx 这样就得到一维热传导方程 ,,k2a , uau,,,txx,,,c,, k,c这里为比热，为热传导系数，为杆的质量密度.由此可知，正如我们在复变函数中讨论平面场问题时，曾经指出平面场是一种特定的空间场，只是由于 4 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 某种对称性的考虑，用一平面上各点的场分布就能代表空间的场分布.同样，对一维热传导方程也不能简单地认为它是描写热在直线上传播，它所描述的均匀细杆的热传导，也是一种特殊的空间场，用一条直线上的温度分布就可以代表整个空间的温度分布.以后关于直线或平面的问题的类似情况，均应这样理解. 1.3定解条件和定解问题 1.3.1初始条件和初始问题 所谓初始条件是指过程的初始状态，例如，要研究一条想象中的无限长的弦自由震动，我么已经知道描写这一运动的方程是 2. uauxt,,,,,,,,0，，uxx 为了完全确定这条弦的运动定律，还必须知道开始时刻t,0线上各点的位移 ，， uxxx0,,,,,,,, ，，，，，， 和初始速度 uxxx0,,,,,,,,. ，，，，，，t 这样，就得到了如下的定解问题 2,泛定方程:uauxt,,,,,,,,0,，，ttxx, ,uxx0,,，，，，,定解条件:,uxx0,,，，，，,t, 这里定解条件所给出的是某一初始时刻弦的状态叫初始条件.具体地说，就是未 t=0知函数及其对事件的偏导数在的值，这个定解问题叫初始问题(引自文献u [1]) utx, 这个定解问题的意思，就是要找出一个二元函数，使它当，， t=0,,,,,,xt,0时满足一维波动方程，而当时满足给定的初始条件. ，， 对于全空间的三维波动方程的初始问题的提法是 2,uauftxyzxyzt,,，,,,,,,,,,,,,0，，，，tt, , 0,,,,,,,uxyzxyzxyz,,,,,,，，，，，，, ,uxyzxyz0,,,,,,，，，，,t, ,,xyzxyz,,,,，这里是已知函数. ，，，， t,0如果要研究一条无限长的均匀细杆的热传导，初始条件就是开始时刻，， u温度的值.这时，初始问题的提法是 5 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 2,uauftxxt,，,,,,,,,,0,，，，，,txx ,,uxxx0,.,,,,,,，，，，，，,, 对于全空间的三维热传导方程的初始问题的提法则是 2,uauftxyzxyzt,,，,,,,,,,,,,,,0,，，，，,t ,,uxyzxyzxyz0,,,,,,,.,,,,,,，，，，，，,, 从数学的角度看，就时间变量而言，传导方程中只出现一阶导数，所以只需tt 要一个初始条件;而波动方程中出现了的二阶导数，因而需要两个初始条件，t 才能把过程完全确定下来. 1.3.2边界条件和边值问题 上面讲的初始问题，是在整个空间中研究所发生的物理过程.如果在空间某 VV一个部分区域中研究所发生的物理过程时，就要涉及到这个过程在的边界面S上的约束状态，这就是所谓边界条件.以静电场为例，由电磁场理论知道，静 VS电场的基本问题之一是，已知导体的边界面上的电位(一般是可以测定的)， VV要求内的电位分布.若内无点电荷分布，则电位满足定解问题 u ,,,,uxyzV0,,，，, ,,,uxyzxyzS,,,,,,,，，，，,S, VSuxyz,,即找一个函数，它在区域内满足三维调和方程，而在边界面上取已，， ,xyz,,知的值.条件 ，， uxyz,,,, ，，S 称为第一类边界条件或狄里克莱条件，上述定解问题称为拉普拉斯方程的第一边值问题或狄里克莱问题. 如果已知电位在边界面上梯度 ,u,,,,xyz， ，，,nS VSS,xyz,,这里n是求解区域边界的外法向，是定义在上已知函数.这种条件，， 称为第二类边界条件或诺依曼条件.相应的定解问题 ,,,,uxyzV0 ,,，，, ,u,,,xyz,,，，,,nS, 称为拉氏方程的第二边值问题或诺依曼问题. 对于拉氏方程还有洛平条件或称第三类边界条件，它的形式是 6 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) ,u,,， ,,,,,，,uxyz，，,,,n,,S 22S这里都是定义在上的已知函数，且，相应的定解问题 ,,,,,,,，,0 ,,,,uxyzV0 ,,，， , ,u,,,,,,，,uxyz,,，，,,,,n,,S, 称为第三边值问题或洛平问题. ,,0显然，当时，洛平问题成为狄里克莱问题;当时，洛平问题成为,,0诺依曼问题. 1.3.3混合问题 V如果在空间的某一部分上讨论波动方程和热传导方程，它的定解条件中除 S了前面讲过的初始条件外，在其边界面上还附有与上面完全类似的三类边界条件，热传导方程的三类边界条件如下述. S第一类边界条件:已知上物体温度 utxyzxyzSt,,,,,,,, ,,, 0. ，，，，S Sqtxyz,,,第二类边界条件:已知上向外流出的热量的热流密度，由热传，，导定律 qtxyz,,,，，,u (1.3.3.1) ,,,, ,,, 0 xyzSt，，,nkS SS这里是边界面的外法向.特别地，当时，物体的表是绝热的 nq,0 第三类边界条件:在物体的边界面处，物体和外部介质有热交换，热交换过 q程遵循牛顿定律:从物体向外部介质的热流密度，跟物体与介质在表面处的温度差成正比.即 qhu,,(), ,,,txyz,,,hhxyz,,,式中u和分别表示物体和介质在表面处的温度，称为，，，， q热交换系数，它也取正值.把代入(1.3.3.1)式，可得第三种边界条件 ,u,,,. khuh，,,,,n,,S 如果以上三种边界条件的右端恒等于零，则称为其次边界条件;否则称为非齐次边界条件. 0,,xl对于一维的热传导问题，区域的边界是两个端点，这时 ，， 7 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) ,,uu， ,,,,nxxx,,00 ,,uu ,,,,nxxlxl,,所以第三种边界条件成为 ,u,, 0,0,,，,khuht，，，，,,,x,,x,0 ,u,,及 ,,.khuhltl，,，，，，,,,x,,xl, 定解问题中的边界条件，有时还可能是在一部分边界上给出一种边界条件， 而在边界的另一部分上给出它种边界条件 1.4关于定解问题的解法 1.4.1达朗贝尔公式 求解无解弦的自由振动问题 2,uauxt,,,,,,,,0，，,ttxx ,,,uxxuxxx0,,0,,,,,,,,，，，，，，，，，，,t, 我们已经知道一维齐次波动方程的通解是 ufxatgxat,,，， ，，，，在有所给初始条件，就有 uxfxgxx0,,，,, (1.4.1.1) ，，，，，，，， ,,uxafxagxx0, ,,，,, (1.4.1.2) ，，，，，，，，t 对(1.4.1.2)积分，即得 x1,，,，fxgxdc,,,. (1.4.1.3) ，，，，，，,0a将(1.4.1.1)和(1.4.1.3)联立，解之则有 x,x，，1c,,,,fxd ,,,，，，，,0222a x,x，，1c,，，.gxd ,,,，，，，,0222a于是我们便得到了 8 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) utxfxatgxat，,,，，，，，，，， x,,xatxat,，，，，，，1 =.，d,,,，，,022a 就是一维波动方程柯西问题的解的表达式，这个公式叫做达朗贝尔公式. 解一个定律问题，一般包括三个步骤.上述解题过程只是做完了第一个步骤——分析步骤.所谓分析步骤就是从数学和物理的角度出发，把所要求的解找出来.在这样做的时候，可以不必严格注意所进行的各种运算的合理性，例如对已知函数的可微性的要求;级数是否收敛，是否可以逐项微分;积分次序是否可以交换等等.第二步骤是综合步骤，就是在一定的条件下，严格地论证由分析步骤所得到的函数确是问题的解，即满足泛定方程和定解条件.不难验证，当 21时，由达朗贝尔公式所给出的函数，确是上述定解问题的解，,,xCxC,,,，，，， 这一工作就留给读者自己去完成.不过为了方便起见，今后我们在解定解问题时，把这一步骤都省略了.第三个步骤是解释步骤，即对所得到的解进行物理解释. 下面来看看达朗贝尔公式的物理意义.我们一般地把波动方程的任何一个解，都叫做一个波.一维波动方程的一般解 ufxatgxat,,，， ，，，， 中，包括两个部分: ufxatugxat,,,，, ，，，，12 utxfx,,这里在初始时刻的波形为，到时刻时，它的波形为 tt,，，，，10 utxfxat,,, ，，，，100 9 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 图1.1 从图形上看，在平面上，后者只是前者在轴方向向右移动了距离，两xu,atx，，10 t=0者的形状完全一样 .记载时刻点处的扰动状态，在时刻传到了tt,xat，x00 处，所以称为右传播或右行波，它的传播速度为 ufxat,,，，1 at0 va,,.t0 同样也是一个单向波，不过它以速度向左传播，因此叫做左传播ugxat,，a，，2 或左行波.综合上面的讨论得知，任何一个以一维的波运动，都可以表示两个速 度为左右单向传播波的迭加. a 1.4.2广义解 21前面已经指出，当时，由于达朗贝尔公式所确定的函数，,,xCxC,,,，，，， 是一维波动方程初始问题的解，但是，许多情况下，初始函数,,xxC,,.，，，， 这是，对于任何有限区别,rr,，根据函数逼近论中著名的维尔斯特拉斯定理，,, 存在无穷可微的函数列,x及,x,在区间,rr,上分别一致收敛于,x，，，，，，,,,,,,nn ,x及. ，， 对于每个，初始问题 n 22,ux0,，，,,uu2,, ,,,aux,0,,，，nn22,,,txt 的解是 xat，11uxatxatxdx,,，，，,,,，， 1 (1.4.2.1) ，，，，，，，，nnnn，，,xat,a22 ,,xxC,,由于，故由达朗贝尔公式所给出的函数 ，，，， xat，11uxatxatxdx,,，，，,,,，， (1.4.2.2) ，，，，，，nn，，,xat,a22 0,T仍是有意义的，而对于任何有限时段间，由(1.4.2.1)可得 ,, uuTmn,,,，,,,,,,,,0,当，，nmnmnmmaxmax,,xtxt r,,uxt,xt，故函数列在平面的任何有界闭域 xtxratt,,0,,,,，，，，,,，，,,na,, uxt,上一致收敛，其极限是由(1.4.2.2)是给出的.这样，对于充分大的，， uxt,n，就可以把看成是初始问题 ，，n 10 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 22,uu,,2a,,22,tx,, ,ux0,,，，,uxxx0,,,,,,，，，，，，,t,, 的近似解，而且称由(1.4.2-2)式给出的形式解为这个初始问题在连uxtC,,，， 续函数类中的广义解. 1.4.3线性算子和叠加原理 ,界定解问题的一个重要办法实先设法求出一族代的特解然后把u,,,这一族特解线性叠加，即设 ucu,,,,,, 在根据定解条件去确定常数.在这个办法里，叠加原理起着重要作用，为此，c, 先对叠加原理做一个较详细地介绍. 许多物理现象都具有叠加性:几种不同的因素同时出现时所产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效果的总和.如，在力学中我们熟知的力独立的作用原理，也是一种叠加性.这种叠加性反映到数理方程中来，就是描述这种具叠加性的物理现象的定解问题，不仅泛定方程是线性的，而且定解条件也是线性的，这种定解问题称线性定解问题. 我们通常把从一个函数类到另一个函数类的映射称为算子或算符.例如 222,,, ,,，，,3222,,,xyz ,,, ,,，，ijk,,,,xyz 都称为微分算子.前者又称拉普拉斯算子，后者则称哈密顿算子或称倒三角算子. ,倒三角算子有三种运算法则，的运算规则是 3 222,,,uuu. ,,，，u3222,,,xyz 如果记二阶微分算子 2nn,,Lac2, ,，，,,ijxxx,,,,,iji,11iji 则一般形式的二阶常系数线性偏微分方程写成算子的形式就是 Luf, 11 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 这里是已知函数，也可以写成算符的形式 ,,,,, ,,,Muu,,,,,，,,,S n,,,S除了微分算子外，还有许多其它类型算子，例如 ,pt,(拉氏变换，为复参数)， Lfftedt,p，，,,,0 ,ix,,(富氏变换，为实参数) Ffftedx,，，,,,,, 我们定义具有下列性质的算子为线性算子: (1)常数可以从算子中提取出来，即有 c LcucLu,.,, (2)算子作用于两个函数之和得到的结果等于算子分别作用于两个函数所 得到的结果的和，即有 LuuLuLu，,，. ,,1212性质(1)及(2)可以合写成 LcucucLucLu，,，. ,,11221122这里，都是常数，这个式子就是前面讲过的叠加原理，以后常用的叠加原理cc12 有下面几种形式. 叠加原理1 设满足线性方程 ui Lufin,,,,, 1,2,, ，，ii n 那么它们的线性组合必满足方程 ucu,,iii,1n . Lucf,,iiii,1 u叠加原理2 设满足线性方程 i Lufi,,,,, 1,2,, ，，ii , L又设级数收敛，并且满足算符中所出现的偏导数与求和记号交换次ucu,,iii1,uu序所需要的条件，一般可设的偏导数连续，且相应的级数一致收敛.那么满i 足线性方程 n . Lucf,,iiii,1 12 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 叠加原理3 设满足线性方程 uMM.，，0 LufMM,,，，0其中表示自变量组，为参数组.又设积分 MM0 UMuMMdM,,， ，，，，00,V收敛，并且满足中出现的偏导数与积分运算交换次序所需要的条件 L 例如设的这些偏导数连续，且相应的积分一致收敛.那么满足方程 UMu，， LUMfMMdM,, ，，，，00,V U特别地，当满足齐次方程时，也满足此齐次方程. u 1.5第一类和第二类贝塞尔函数 贝塞尔函数是下列贝塞尔方程的解 22,,dpdp1,，，,,10p (3.1-1) ,,22drrdrr,,式中，是常数，成为方程的阶或其解的阶，可以使人和实数或复数. , 1.1.1第一类贝塞尔函数 JrJr当2整数时，方程(1)有两个线性无关解，记为第一类贝,,，，，，,,,, 塞尔函数，以级数形式表示为: k2k,,,,1，，1r,,Jr, ，，,,,,,,kk!12,,，，，，,,k,0 ,r式中为伽玛函数，其通常定义为: ，， ,tr1,,,,retdt ，，,0对第一类贝塞尔函数有下列递推关系式: d,rrJrJ,，，,1,,dr d,,,rJrJ,,，，，1,,dr m d,,m,,,rJrJ,，，,m,,,,rdr,, mdm,,m,,,rJrJ,,1,,，，，，m，,,rdr,,,, 第一类贝塞尔函数以积分形式表示为: 13 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) ,,r1，，2, ,,,,Jrrdcoscossin，，，，,,0,，12,,，， nJrJr,,1.对于是整数时， ,,n，，，，，，,nn r,0对于时， vr1,,Jr, ,不等于负整数 ，，v,,21,，,，，,, 对于时， r,, 2,,,,, Jrr,,,cos，，v,,r42,,,1.1.2第二类贝塞尔函数 2,, 当整数时，JrJr,是方程(3.1-1)两个线性无关的解，但对，，，，,,, 于整数来说，JrJr,不是线性无关的，因此，方程(3.1-1)需要获得,，，，，,,, 1-1)的第二个解可由下式来表示: 第二解.方程(3. cos,,,,JrJr，，，，,,,Yr= ，，,sin,,Yr称为第二类贝塞尔函数.对第二类贝塞尔函数有以下递推关系式: ，，, d,r,rYrY，，,1,,dr d,,,,,rYrY，，，1,, dr 2,，,YYY,，11,,,r ,2,,YYY,，11,,,当时整数时，以级数形式表示: n=n 2kn-n-1骣nk--1!()221r?ç YrJrln=-()()?åçnn?ç桫pprk!2k=0 k2kn+?骣-1()1r?ç轾-++++yynkk11 ()()?åç臌?ç桫pknk!!2+()k=0 (16) 式中 14 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) ?Gr() yr=()Gr() n=0当时，式(16)中可去掉第二项有限和. r?0对于时， n骣12?ç ?G nnYr 0()()?çn?ç桫pr 2 Yrr?ln()0p 对于时， r 骣2pnp?ç Yrr?-sin()?çn?ç桫pr42 第二章油气藏渗流理论 2.1引论 2.1.1连续介质近似法 当研究通过多孔介质的流动时，可以观测到，在介质中流动孔道的截面积和分布变化很大.通道的方位是随机的，通常有些突然发生终止，形成封闭的死胡同.这些死胡同只提供介质的孔隙度，而对介质流体的渗透率没有作用.介质的这些随机性，使得从单一孔隙的几何研究去预测流动的状态变得十分困难.在实际应用中，只能使用统计的平均结果.在这方面，一个有用的概念就是连续介质方法.这种处理方法是把介质看成一个孔隙度，渗透率等形制在每个点上均有定义的连续体.这些性质反映了介质的主要状态. 15 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 图2.1有代表性单元体积的定义 例如以介质的孔隙度举例说明，在介质内每一点上做微观研究，孔隙度在01 之间交通变化.因此，平均孔隙度时体积的一个函数.此变化性质见图2.1所示.又改土看出假定整个体积的平均孔隙度小于一个确定的数值，此体积较左手微观影响控制的有代表性的单元体积.当大于这个值时，介质的状态在微观水平上看成为连续的.假若平均值太大，而介质又是非均质的，则孔隙度的微观变化将开始表现出它们的影响 . 类似的，在包括流体流动的实际问题中，连续方法可用于流体.流体是由大量的，各个方向运动的分子所组成的.放置在容器中的流体分子将彼此碰撞或与容器壁碰撞.若不把流体看成为连续的，只是在分子的范畴里研究流体的流动，就会使问题复杂化.我们仍然采用流体体积的某个值来定义一个代表性体积单元.当流体体积小于这个数值时，分子效应就变得显著.当大于这个数值时，流体就可能赋予某些总体性质，如密度或粘度等. 2.1.2基本方程式 关于求解流体流动问题的第一步，使了解它们在数学上的表达式，通过如下叙述的一组五个基本方程式的应用，对问题进行求解. (1)结构方程式.它叙述了流体动态的流变性质.它是作用于流体的剪切力和因之而产生的剪切速率之间的关系.对于任意给定的温度和压力，用结构方程确定牛顿流体的粘滞性.目前发展的情况是，它合并于运动方程之中. (2)动量方程式，它是牛顿的第二运动定律对流体系统的应用.在本质上这是作用在系统上的力平衡. 16 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) (3)连续方程式，它是质量守恒定律的一个表达式. (4)状态方程式，他把流体的密度同温度与压力联系在一起. (5)能量方程式，它是能量守恒定律的一个表达式.它考虑到能量变化的不同类型，以及在非等温流动系统中最关心的问题.在气藏流体的流动中，这些能量的影响可以忽略不计. 2.2动量方程式 2.2.1理论考虑 流体在任意形状的导体中的运动，由Navier-Stokes描述.该方程组，是由作用于所研究区域内的任一微分单元上的动量平衡推导出来的.然后，将方程组简化为在流体单位上的力平衡，即 质量×加速度,压力+粘滞力+重力 粘滞力是由于作用在流体上的剪切力产生的.它可以使用流体的结构方程，利用速度梯度和粘度加以表示. 对于流体在多个孔介质中的流动，流动孔道有着复杂而未知的形状，而Navier-Stokes方程组只能用于平均的观念.甚至可以做出象层流、忽略惯性影响或不可压缩流体等一些必要的近似假定.而与假定的孔道几何形状有关的形状系数 ，可以由实验确定.这样分析的结果类似于达西定律或某些修正的达西定律，这要取决与所做的假定.鉴于这些复杂性，为了得到能用于实际的一种形式的动量方程式，通常采用一个压力梯度与流动速度之间的经验关系式. 2.2.2经验观测 在地层中气体或液体的稳定流动.可能是层流，也可能是湍流或两者综合.这最初是被Fancher和Lewis所论述，此后又被其它人所证明.Fancher和Lewis对于气体通过各种可渗透的实体岩心，在压差与流量的关系上做了广泛的测量，他们利用一个修正的Fanning摩擦系数和一个修正的雷诺数，表示他们的结果.两者分别定义为: gd,p00f (2.2.2.1) =g22u(p),,x ,udg= (2.2.2.1) Reg, 式中 ,p—压差; g—因次变换系数; 0 17 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) —方向的距离; ,xx —流体密度; , —绝对粘度; , —平均颗粒直径; dg —表面速度. u 对于所研究的每种多孔介质，根据Fancher和Lewis的实验资料，把与fRgeg 的关系会在双对数坐标上，对于低的雷诺数得到了一条斜率为-1的直线.随着 变为大于1.0之后，由于过度到湍流，直线开始变平.不同介质可由类似曲线Reg 表示. Cornell和Katz对于不同类型的多孔介质的数据，连成一条简单的曲线， 重新定义的摩擦系数和雷诺数如下: 64g,pc= (4.2.2.3) fCK2,,u,x ,,ku= (4.2.2.4) Re CK106.33，10,(p)式中 —湍流系数，它是一个表征多孔介质特性的常数.它取决于介质的孔隙度，弯, 曲度，渗透率，孔隙形状和孔隙大小的分布等性质; k—介质的渗透率. 图2-2对于在多孔介质中流动所修正的摩擦系数 18 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) (引自Cornellhe 和Katz,1953) 2.2.3低流量(层流影响) 对于常数流量下水通过多空介质的一维稳定流动，达西1856年通过实验发现，对于给定的多孔介质，压差与流量成正比.在图2-2上相当于斜率为-1的直线部分.进而‘Led，Wyckoff，Botest,和Reed对于不同的流体，做了多孔介质的线形水平流动的实验，并给出了如下的达西定律形式: qkdp (2.2.2.5) ==-uApdxm() 式中 —流量; q A—总的横截面积; dp —在方向的压力梯度; xdx 33k —渗透率，当为cm?sec，A为cm，u为cm?sec,u为atm，为q,cp和为cm时，渗透率的单位为达西. x .2.5)式可表示为: (2.1 kdp,,, (2.2.2.6) 2vdxv 该方程式的左边和成正比，右边和f成正比.于是(2.2.2.6)式可写为: 1Rgeg 1Rfµegg 该式表明，在双对数坐标纸上绘制f与Re的关系图，是一条斜率为-1的直线.gg 从而证明了在图2-2中斜率为-1的直线部分是与达西定律等价的. 由(2.2.2.5)式给出广义的一维达西定律形式.对于任何方向的流动为: kV=- (2.2.2.7) ,(,p，,g), 式中 V—速度向量; k—渗透率张量; ,—梯度算子; 0,,,,0g,重力向量，; ,, ,,,g,, g,重力加速度. 19 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 在笛卡尔直角坐标系中，速度的三个分量可表示为: k,px (2.2.2.8) ,,v()x,,x k?py (2.2.2.9) ()v=-ym?y k?pz (2.2.2.10) ()vg=--rzm?z k在写(2.2.2.7)式的表达式时，假定z是以垂直向下方向为正，而张量的形式为: k00,,x,,0k0 ,,y ,,00kz,, 介质假定是各向异性的，因此，在三个坐标方向的渗透率是不相同的.假若截止是各向同性的，则在所有点有: =k kkk==yxz 假若整个介质的渗透率与位置无关，则介质称为是均质的.反之，该系统是非均质的.反之 ，该系统是非均质的.Hubbert(1940)把势定义为: p1E= (2.2.2.11) dp,zg0,p, 式中 ,—密度，为压力的函数; z—垂直向下的距离; 0p—任意的参考压力. 利用势表示的达西定律为: ,kv =-,,E (2.2.2.12) , k从在均匀介质中的流动可以发现，渗透率与流动的流体无关，只是介质的一个属性.但是，在气体的流动的情况下，KVLINKENBERG(1941)观察到，当介质的孔隙大小与气体分子的平均自由路程的大小相同时，在流体与固体的接触面上会产生滑脱，从而气体的渗透率将不在是常数.在这种条件下，低压下的滑脱变得显著，此时的渗透率表示为: 20 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) b1 (2.2.2.13) kk=(1)+Lp 式中 —在无限大压力下介质对气体的渗透率(它的数值应当等于介质对液体kL 的渗透率) —取决于气体与多孔介质系统的常数. b1 Dranchuk和Flores(1973)指出，对于低渗透层(0.1md),在一些边界条件下，Klinkenberg(克林肯贝格)效应在高地层压力下(2000psi)也是很显著的. 2.2.4高流量(惯性和湍流影响) 随着流动速度的增加，产生了偏差达西定律的现象.许多研究工作者把它归因于湍流影响或者关系影响.一般公认的解释是，随着速度的增加，惯性影响最初的偏离，湍流影响着更高速度下的流动.Hubbert(1956)注意到，在流动的雷诺数在1附近时(基于非胶结介质的颗粒半径)，开始偏离达西定律.而在雷诺数一直接近600以前，湍流是观察不到的.从单纯的层流过渡到完全的湍流，包括 对于水平的稳定流动，该流量范围可由一个如下的二项式一个很宽的流量范围. 表示: ,dp2,,u，,,u (2.2.4.14) dxk (2.2.4.14)包括层流、惯性流和湍流(LIT)的影响.对于稳定流动，它是一个一般的动量平衡方程.该式可以重新整理为下式: kdp,- (2.2.4.15) u=,dx 骣brku?ç,,1.0式中的d=+11是层流—惯性—湍流(LIT FLOW)修正系数.当时， ?ç?ç?m桫 (2.2.2.15)式等价于达西定律. ,y在各向异性的介质中，x、或方向上的也是各不相同的.当重力影响可z 以忽略时，通过这样介质的流动可表示为: 1ukp=- d (2.2.4.16) m 式中 21 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 骣d00x?ç?ç?ç?dd=00 çy?ç?ç??ç00d桫z 由此看出，(2.2.4.16)式将既表示层流影响，又表示惯性-湍流(IT)影响.对于稳定流动，它将被称为广义的层流-惯性-湍流(LIT)的动量平衡方程式. 2.3连续方程式 质量守恒定律，也叫做连续性方程式，该方程式对于任意给顶的系统有 质量存储量=质量六如量-质量流出量 通过一个有代表性的多空介质单元体积，利用质量守恒定律得到了连续性方程式，其广义坐标记法的形式为: ?-= ()frrgu (2.3.17) ()?t 式中 ; ,,介质的孔隙 —的散度. ruÑg()ru Ñ算子的定义，在表2-1中给出了直角，圆柱和球形作标中的具体形式. (2.3.17)式中的左边项，表示了在多空截止中的质量的存储量，它在稳定流条件下等于0.右边项表示了离开和进入有代表性单元体积的流体质量差. (2.3.17)式的一维形式，可由表作出适当的代换后得到.假若流动是在方x向上的层流，则连续性方式的形式为: ,,,(,,)(,u)= (2.3.18) ,t,x 类似的，在径向-柱状坐标中，假若流动仅考虑为方向的径向流，则连续性方r 程表示为: ,1,,，，(,,)r,u= (2.3.19) ,t,rr ,是一个任意标量，,是一个任意矢量表在不同坐标系中?算子的定义() 三维情况 一维情况 禙禙禙xyz,,直角坐标() y禙xz袴g=++()x袴g= ()抖xyz ?x 222禙禙禙y2xz袴g=++()2222禙抖xyz 2x袴g= ()2?x 22 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 1, ，，r,袴g=(),,,,,11柱状坐标() rz,,qr,z，，r,，，= 袴gr,r()rr,rr,,,z ,,,1,,22 袴g=r (),,r,r,r,,22,,,,,,,11,,22,z ，，袴g=r,,()222,,,,,rrrrz,, 球形坐标() r,,qs 1,2，， r,袴g=袴g=()()r2r,r ,,,,1,,sin,,1,11,,222,, 袴g=rr,，，，，，(),, r22r,r,r,rrsin,,,rsin,,,r,, 2袴g=() 11,,,,,,,,2,r，，(sin),,22rrrr,,,,sin,,,,, 2,,1,，222rsin,,, 2.4状态方程式 关系到流体密度随压力和温度变化的方程式为状态方程式.该方程式需要把由密度表示的连续方程式(2.3.17)式，和由压力P表示的动量方程式(2.2.3.16)式结合起来.这样一个状态方程是必不可少的.基于理论和半理论的假定，各种复杂的状态方程式(包括2到8个参变量)已经提出.Vandewaol和Redlich-kwong方程组，对气体是适用的，但对液体只是粗略的近似.Beattie-bridgeman方程对所有气体都适用，但不适用于液体.Benedict-webb-rubin方程适用于所有气体和饱和的液体，但它是一个在密度中隐含有8各参数的方程式，经常使用是十分麻烦的. 上述的状态方程式，对于预测液体的密度是很麻烦的，并指出它的使用是不正确的.对于常温下固定液体质量，液体的压缩系数定义为单位压力变化下的液体体积的变化量， 即: 23 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 1?v (2.4.20) c=-V?pT 式中 C,液体的压缩系数; V,液体的体积; T,温度. 自由密度表示，(2.4.20)式可表示为: ,1,C= (2.4.21) ,p,T 0对于常温下的液体，c可以考虑为常数，而(2.4.21)式可以在 ,和,之间积分: 00c(p,p) (2.4.22) ,,,e 式中 0,在某一参考压力下的密度. , 该式是在等温条件下液体的压力与密度的关系式，它可用于任何常压缩系数 的流体. 为了工程的计算，对于真实气体状态方程式的最实用形式，以给出: Mpr= (2.4.23) RTz 对于等温条件: ,MM,1,,,,，p (2.4.24) ,,,pRTzRT,pz,,TT 联立(2.4.23)式，(2.4.2)式和(2.4.25)式可得到 1,111,z,,，z,,C= (2.4.25) ,,p,pzpz,p,,TT 偏差系数是一个修正系数，它定义为真实气体对理想气体的偏差.不能把它z 同压缩系数c混淆.c是任一给定物质的等温压缩系数.对于理想气体而言，是z =1.0cp=1cp=1一个常数，而.对于真是气体，随压力变化.而只是在z() 抖zp=0压力范围内成立.偏差系数随温度和压力的变化. 在某些条件下，如p psi>2000，气体可以处理为小压缩系数和常压缩系数 的流体，而在常温下它的压力和密度的关系，利用式表示就足够了.实际上这是 0p液体的状态方程式.Houpeurt指出，对于气体状态方程式，靠近选择为合适. p 24 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 2.5流动方程式 把连续性方程(2.3.17)和LIT动量平衡方程联立得到: 轾?1犏 (2.5.26) frrd=蜒gkp()犏?tm臌 这是与密度，孔隙度，粘度，渗透率，湍流系数，时间，距离和压力都有关系的流动方程的一般形式.若把适当的状态方程代入上述方程，就可以得到一个偏微分方程式.它可以描述一个利用孔隙度，粘度，渗透率，LIT流动的修正系数，时间，距离和压力表示系统中流体的流动.该方程式是非线性的，在没有做进一步简化之前，它只能用数值法求解.对于弱压缩性流体和高压缩性流体的流动方程的简化形式，在下面给出. 在常温下的液体(或在高压下的气体)，可以处理为小压缩性流体.对于这样的流体，假定为常数是合理的，而(2.4.22)式是可以利用的.把(2.5.26)c,代入得到: 轾轾00011?0()0()0()cppcppcpp---轾犏犏(2.5.27) frrrdrdreekpkpe=蜒g+蜒()犏犏犏臌tmm?臌臌 该式整理为下式: 轾轾,p,,11犏犏，, (2.5.28) c,蜒ggrdrdkpckpp+蜒犏犏,t,tmm臌臌 Mp,,通常气体是一种高压缩性的流体，而是可以应用的.将,代入RTz (2.5.26)得到: ，，,MpMp,,,,k,p (2.5.29) ,,,,,,,tRTzRTz,,,，， 对于等温条件，上式可简化为: ，，,pp,,,,k,p,, (2.5.30) ,,,,,tzz,,,，， 2.5.1综合的假定 前面给出的广义形式的流动方程式，只能用数值法求解，但是，利用一些简化的假定，就能使这个方程式线性化，并对某些边界条件可以得到解析解.这些简化的假定，使用预计将进行的理论，现在归纳如下: a. 再推导(2.4.20)式，(2.4.21)式，(2.4.22)式，(2.4.25)式，(2.5.28) 式，(2.5.30)式中，普遍假定是等温条件; 25 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) b. 在推导(2.2.3.16)式过程中，假定忽略重力的影响; c. 假定流体是单向的，已内含在达西定律中，更进一步的假定如下; d. 介质是均匀的，各向同性的和不可压缩的，孔隙度为常数; ,,1e. 流动是层流的，即. 对于液体说来，层流的假定是很合适的，但在一些条件下，对于气体就不那么合适了. 2.5.2利用压力表示的液体流动方程式 除了 a，b，c，d和e的假设外，对于弱可压缩流(液体或者高压气体)还将作如下假定: f. 渗透率与压力无关; g. 流体粘度为常数，并与压力无关; h. 流体的压缩系数很小且为常数; i. 压力梯度是很小的. 2假定根据条件h和i可忽略()项.当这样做时(2.5.28)式又变得c,p 第二项变为0. 当假定a到i应用于(2.5.28)式，对于弱压缩性流体的流动方程式变为: c,p,,2,p, (2.5.2.31) k,t 2.5.3利用压力表示的气体流动方程式 将气体作为高压缩流体处理，并应用a到f的假定，(2.5.30)式可以写为: 轾骣?pkp?ç犏 (2.5.3.32) =蜒gp?ç?ç犏桫?tzzfm臌 该式的左边可以展开为: 骣骣抖pp11 鼢珑=+p鼢珑鼢珑桫桫抖tzzttz 骣11抖pdp?ç =+p?ç?ç桫ztdpzt抖 轾pp抖11犏 (2.5.3.33) =-犏ztpzp抖臌 把(2.4.25)式代入(2.4.23)式得: ,pp,p,,,c (2.5.3.34) ,,,tzz,t,, 26 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) (2.5.1.32)式和(2.5.1.34)式可以连里，并经整理后得: 轾骣dzcpmfm?22?ç犏 (2.5.3.35) ?ppln()餮=ç?犏ç?çdppkt?桫臌 两个不同的方法，包含不同的假定，可以跟在该步骤之后，进一步简化(2.5.3.35)式.在这里已做的假定，除a，b，c，d和e之外，还有以下两种情况: 2情况1: i条假设压力梯度很小.这意味着而(2.5.3.35)式简化为: ，，,p,0, c,p,,2,p, (2.5.3.36) k,t 对于弱压缩流体的流动，该式与(2.5.2.31)式相同. 情况2: j条假定等于常数在这个条件下，(2.5.3.35)式又可简化为pz, (2.5.3.36)式. 2.5.4利用压力平方表示的气流动方程式 (2.5.3.32)式可以展开为几个不同的项，尤其是，注意: 1122ppp? 和 ppp? 22 .3.32)和(2.5.3.34)式可以联立，并经整理后得到 (2.5 22dcpfm?222轾 (2.5.4.37) ??pzplnm()()2臌dpkt? 为了进一步简化这个方程式，除了a，b，c，d和f 假定外，还可做如下一组三个不同的假定: 情况1: k条假定为常数.于是(2.5.4.37)式简化为: ,z的乘积 2fmcp?22?p (2.5.4.38) kt? 22情况2: i条假定压力梯度很小.这意味着0，而(2.5.4.37)式又简,,p 化为(2.5.4.37)式 z=1g情况3: 1.假定为理想气体,以及.气体的粘度为常数，且与压力无关.() 在这些条件下，(2.5.3.32)式简化为: 2fm?p22 (2.5.4.39) ?pkpt? cp=1,注意到，对于理想气体，上面的方程式同样可以由(2.5.4.38)式直接推导出来. 在2.5.4节和2.5.4节中所作的附加假设g,i,j,k和1可能会引起显著的不精确程度.例如压力梯度很小的假定，对于估计致密地层的压力分布会引起误差.因为 27 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 该假设是隐含在所采用的压降曲线和压力恢复方法之中，而这些方式以理想气体流动方程(2.5.4.39)的解，或液体流动方程(2.5.3.36)的模拟解为基础. 2.5.5利用拟压力表示更严格的气体流动方程式 在引入拟压力的概念之后，在上节中提到的那些,(有时也称为真实气体势) 近似假定就可以避免，并且对于气体流动可以采用更为严格的方法处理.使用,可以提供和随压力的变化，而只有a,b,c,d,和e以及f假定是需要的.假若，mz 拟定压力定义为 , pp (2.5.5.40) y=dpò0pmz 0式中是某一特定的参考压力，于是 p ?yp (2.5.5.41) ?? ypp2?pzm 抖ypp和 (2.5.5.42) =2抖tztm 把(2.5.3.34)是改写为: 骣抖ppp?ç (2.5.5.43) =mc?ç?ç桫抖tzztm 并把(2.5.5.40)，(2.5.5.42)，(2.5.5.43)和(2.5.5.43)式代入(2.5.5.42)式得: fmyc?2?y (2.5.5.44) kt? ,除了压力和压力平方变量被拟压力代换外，(2.5.5.44)式看起来与(2.5.3.36)和(2.5.4.38)式很相似.但是，必须注意到(2.5.5.44)式的推导，没有使用 g，i，j，k或l的任何假定. k如前所述，假若渗透率随压力的变化已经知道，适应的一个变换的拟压力定义为 : pp?2 (2.5.5.45) y=kdpò0pmz 使用这个假定，可以得到一个类似于(2.5.5.44)式的公式: ,',2,',c,,, (2.5.5.46) ,t ?y,和z在计算中，不仅要知道气体的性质，而且还需要知道作为压力的函 28 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) ?k数的底层参数.同计算对比，计算在实际上是不方便的，计算仅需要知,,y k道气体性质就够了.尽管如此，这一点是清楚地，当需要时，随压力的变化可以包括在拟压力的处理中. 在矿场范围内，从热交换到水力学，类似拟压力的变化正被许多人采用.对于石油工程应用这样的变换是由Carter,Hurst,goodson和Leeser，以及Russell,Goodrich,Perry和Bruskotter提出的.对于这个函数的叙述使用了不同的名称.Muskat称这个变换为势，因为在热交换中，类似的代换被叫做‘有效势’.在苏联文献中，称为‘Leibenzon’变换Al-Hus-sainy等人最初是用真实气体势的术语，但后来采用更为明确的真实气体拟压力术语.的单位为(压力), 2/粘度，而又可以叫做‘改进的压力平方’.于是可以看到，没有一个简单的名称能适当的描述这一变换.可以由压力或者压力平方项来代替. , 在包括使用的所有问题中，首先推荐与的换算表或者构成的关系图.,,p 下面将给出由,和 z计算的详细方法.一旦有了与的换算表，由任一p,,,p 个压力就很容易得到，反之亦然.于是，使用为工作变量，适合计算,, 2.对于一定的气体与的曲线，只有对于拟定他的温度条件才是可,pp一样容易 气藏在绝大多数情况是等温的，而且它的流体组分在井与井之间并没有显靠的. 著的变化.在这种情况下，整个气藏用一条- 曲线就行了.假若一个特定的气,p 藏，其温度和气体的组分并不完全均一，那末，对于每口井分别给出-曲线. ,p 看一看(2.4.24)，(2.5.3.36)和(2.5.4.38)式的关系如何，是很有启发 2mz的.这就是,与p和的关系如何.对于某种天然气，如果画出了与p的关p()系图(见图2.3).从该图可以看出，在低压下的气体，差不多是一个常数，，，,z i下标表示初始条件，即: ,z,,z ii 因此: p2120,，，,pdp,p对于p,0 0,p,,zziiii 2这表明，(2.5.5.44)式还原为(2.5.4.38)式，于是利用表示流动方程p式，对于低压下的气体是可靠的，即压力低于2000psia 在较高的压力下，图表示出些率接近于常数，即: ppi,,,zzii p2p2p0i,，，,dp,p对于p,00,p,,zziiii p这表明(2.5.5.44)式还原为(2.5.3.36)式，于是利用表示的流动方程 29 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 式适用于压力高于2000psia气体的流动. 0.05 气体比重=0.66 对比温度=1.6 0.04 4000 ,z ,constp0.03 3000 ,z,cp,62 ,，10,psia/cp 0.02 2000 ,z , 0.01 1000 0 20000 4000 6000 8000 10000 133 ppsia9 图2-3随压力变化 ,,和z 2虽然上面的与和的关系很有启发，但它仍有两个重要的确点: ,pp (1)对于大多数纯净的天然气来说，p和,z的关系并不那么简单，因为不但气体的组分，而且气体的温度，对于这个关系式都有显著的影响. 2(2)它有助于一般化，即在低压条件下，方法是可靠的，而在高压条件下，p p方法更为适用，但这并不总是正确的. 第三章 真实气体渗流问题及其气井理论模型 3.1均匀气藏渗流模型的建立 假设真实气体在均匀气藏内的渗流是等温的.气体的粘度与压缩因子 k,pZp,,均随压力的变化而变化，地层的流渗透率，孔隙度均为常数，而，，，， 且气体在气藏渗流时的压力梯度很小，服从线性渗流，那么按达西定律可得运动方程 : kv,,gradp，， ，，,p 也可记为: 30 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) k (3.1.1) vp=- mp() 抖 Ñ式中—哈米顿算子， ?++ijK.抖xyz 另外真实气体满足状态方程为 p (3.1.2) g=RTZp()真实气体在渗流过程中综合压缩系数应为压力的函数 1dv cp()=-vdpT dZp()11 =-pZpdp()T而气体不稳定渗流的连续方程为 ?jg()?-g,v (3.1.3) ()?t Ñgg,v式中左端表示的散度 ()g,v() 以上各式的符号表示意义为: p-压力 流速; v- g-气体重率; R-气体状态常数; T-气体温度; k-气藏渗透率; j-气藏孔隙度; -气体体积; v mp-气体粘度; () cp-压缩系数; () Zp-气体压缩因子 () grad-梯度 由式(3.1.2) 31 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) ，，P,,,,,,ttRTZp,,，，，， ，，1P, ,,,RTtZp,，，，， ，，111pdp,, p,，,,RTZptdpZpt,,，，，，，， p, cp,，，,t, 将式(3.1.1)，(3.1.2)代入(3.1.3)式中得 轾kp?犏 ??-ggjgpcp()犏mpt?()犏臌 轾pkpdp犏 蜒gpcp=j()犏RTZppRTZpdt()()m()犏臌 轾jcpp()pdp犏 (3.1.4) 蜒gp= 犏ZppZpdt()()m()犏臌 下面将式子(3.1.4)写为直角坐标系的形式为此先将压力梯度写为 Ñp 抖ppp ?++pijk抖xyz 那么 ppppppp抖 ?++pijk ZppZppxZppyZppzmmmm抖 ()()()()()()()()这样，上式的散度可写为 骣轾轾轾ppppppp抖抖抖?ç犏犏犏? 逊缪p=++?ç犏犏犏??çZppxZppxyZppyzZppzmmmm抖抖抖()()()()()()()()桫犏犏犏臌臌臌 对于平面经向流动的气体，还可将上式进一步写为平面极坐标的形式. hpr现在假定气藏的厚度为，原始地层压力为，在气藏中心打开一口半径为的w CSSqt井，并且井以变量生产.若井筒储存常数为，井的视表皮系数为(反() -S映了井底污染或改善状况及湍流影响)，那么该井的有效半径为.另外r = r e wew气藏中的真实气一般是在等温条件下进行水平线形渗流，且压力梯度很小，而气 cpp，，，，,pZp,体粘度压缩因子压缩系数均为随气体压力变化的已知参数，那() 么以井轴为中心，真实气体在气藏内向井底渗流的平面轴对称问题可用方程(3.1.4)表示，即 32 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 轾()jcpppp?犏 (3.1.5.a) r> rt ,0>蜒gp=we犏ZppZptm?()()()犏臌 初始条件: (3.1.5.b) prprr,0 =>()iwe内边界条件: 骣ZpTp()dp(r,t)2pkhrp?scwe?ç 0 (3.1.5.c) =q(t)+Ct>?ç?ç桫mprTpdt?()scr-r we 无限大气藏边界条件: (3.1.5.d) ptpt?>, 0()i半径为R的圆形封闭气藏边界条件为: ?pt>0 (3.1.5.e) =0?rr-R气藏外边界定压问题的提法: pRtpt, 0-> (3.1.5.f) ()i以上各式中符号的意义为: prt,-气藏压力; () 井底压力; p-w 地面气体压力; p-sc 地面气体温度; T-sc T-气藏温度. 3.2无限大均质气藏渗流问题解 真实气体在均质无限大气藏内渗流时,储层内压力分布满足下列定解问题 : ì骣ïpc(p)ppj??ïç?ï宴 p= r> r ,t>0 (3.2-1.a)?weçï??çZpmpkZ(p)t?()()ï桫ïïï (3.2.1.b) prp,0 =ï()iïïï骣ZpTpdpr,t()()ï2pkhrp?scweï?ç =qt+Ct (3.2.1.c)()?íç?çï桫mprTpdt?()scïr-r weïïïp,t=p ? (3.2.1.d) ()iïïïïïïïïïî 引入拟压力函数 33 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) pp轾 (3.2.2) mpr,t=2dp ()ò臌0mpZp()()可使定解问题线性化.在作变量代换,设 r (3.2.3) ,,, ,,rtDrwt k (3.2.4) ,, 2,,cr,,,w C (3.2.5) , CD2,,2hcr,wti pKhTsc (3.2.6) ,,,,,，，mmpmp，，，，，，Di，，Tpsc 式中，分别表示原始状态下的气体压缩系数与粘度. c,,i, 若考虑到气体压缩系数与粘度的乘积cpp,在生产期间的变化是可忽，，，，略的，则定解问题(3.2.1)可化简为如下问题: 2,,,,mpmpmp，，，，，，1DDD ，, (3.2.7a),,,,,,,,2DD,D ,，mpr0 =0 (3.2.7b)，，，，DD，，,,dmp1,，，，，，,mp,，，,,,D，，D=- +C (3.2.7c)q D,,,d,r,,,,Dr,1,D ,mp,，=0 (3.2.7d)，，，，,D，，, , , rZLm，，, 对式(3.2.7)取关于的拉普拉斯变换，并记 ,，，,,DD ，，,,,QZLq,可得 ，，,,,,Q,,，， 2,dUdU1，,,ZU0 (5.2-8a),2drrdrDDD,,,,，UZ0 (5.2-8c)，， , ,dU,,,,8d)rQZCZUZ1, (5.2-，，，，DD,drD1r,, U 方程(3.2.8a)的通解为 34 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) UrZAIrZAIrZBKrZ,,,,，，，，，，，，，DDDD000 利用条件(3.2.8b), (3.2.8c)可确定出通解的待定系数，进而求得 AB, KrZ，，0D, (3.2.9) UrZQZ,，，，，DZKZCZZ，，，，，1D KrZ，，0D (3.2.10) WrZ,，，1,DZKZCZKZ，，，，，10D则有 (3.2.11) UrZWrZQZ,,，，，，，，DD1, v,，,1,ZwrteWrZdZ，, (3.2.12) ,，，，，1DD,v,,,,2 R,,,，,0取如图3.1的积分围线，令.不难证明 图3.1 ,,,0,,,III426 那么 1w,,,，, (3.2.13) ，，1D，，,,II35i2, 22,iZueu,,,Ziu,在割线上沿积分中令则，那么， ,I5 35 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 0Kiruudu,22，，，，0D,u, ,e,,2I,,5iuKiuCuKiu，,，，，，，，D10 ,2Kirudu2，，0Du,, ,e,0,iuKiuCuKiu，，，，10D利用公式 ,KiiiYJ ,,，，,,,，，，，，，00，，2 ,KiiYJ ,,，，,,,，，，，，，11，，2可得 2iYruJrudu,，，,，，，，200DDu,，，, ,e ,,I05iYuJuCuiYuJu,,,，，，，，，，，，，1100，， iYruJrudu,，，,，，，，200DDu,，，, (3.2.14) 2 ,e,0,,，,JuCuJuiYuCuYu，，，，，，，，，，，，1010D，，，， 22,,i在割线下沿积分中令Zueu,,,，则，所以 Ziu,,,I3 ,Kiruudu,,22，，，，0D,u,,2e ,,2I03,,，,,iuKiuCuKiu，，，，，，10D ,2Kirudu,2，，0Du,, ,e,0,,，,iuKiuCuKiu，，，，10D将上式右端的被积函数用第一类，第二类贝塞尔函数表出，得 ,iYruJrudu，2，，，，00DD,u, (3.2.15) 2,e,,I03,,,,JuCuJuiYuCuYu，，，，，，，，，，，，1010D，，，， 将式(3.2.14)与式(3.2.15)相加得 ，,,,II53 2iYruJuJruYuCuYruJuJruYu,,,，，，，,，，，，，，，，，，，，，，，，201010000DDDDD,，，，，u,,2edu22,0，，，，JuCuJuYuCuYu,，,，，，，，，，，1010D，，，， (3.2.16) 记 ,,,,auYauJuJauYu,,=, (3.2.17) ，，，，，，，，，，m,nmmn0则 ,2,1,,1,iruCuru,,,2，，，，0.10.0DDDu,,，,,2edu (3.2.18) 22,,,II053JuCuJuYuCuYu,，,，，，，，，，，，，，，1010D，，，， 36 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 将式(3.2.18)代入式(3.2.13)得 ,,,ruCuru,1,,1,,2，，，，20.10.0DDDu,, (3.2.19) wredu,,,，，1D22,0,JuCuJuYuCuYu,，,，，，，，，，，，，，，1010D，，，， 记 ,,ruCuru,1,,1,,，，，，0.10.0DDD (3.2.20) GrUdu,,，，1D22，，，，JuCuJuYuCuYu,，,，，，，，，，，1010D，，，， 那么式(3.2.19)可写为 ,22u,, (5.2-21) wreGrUdu,,,,，，，，11DD,0, 应用拉氏变换的卷积定理，由式(3.2.11)得 -1-1W mrtLWrZLQZ(,)[(,)]*[()],DDD1 ,,, wrq(,),,,1D,,,,, ,,,,,, wrqd(,),,,1D,,,0,,, ,令 可将上式写成 ,,, tmrqtwrd(,)()(,),,,,,,,, 2DDD,0 qt由式(3.2.6)可得，气井以任意变产量生产时，均匀气藏内的拟压力，，分布表达式为: t,,Tp,rscmprtmpqtwd,,,,，， (3.2.22) ,,，，，，，，,,11，，,0khTr,scwe,,qtq,当为常产量时，有 ，， tmrqwwrd(,)(,),,,,,,12DDD,0 2t2q,,,,u ,,，，eGrudud,1,D0, 经计算得 2,u,,21qe,, (3.2.23) mrGrudu,,,，，，，1DDD2,u q于是由(3.2.6)可得，气井以常量生产时均质气藏内的拟压力分布表达式为 37 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) 2,tu,,,,2qTp1,ersc (3.2.24) mprtmpGdu，，,,,，u，，，，,,i122，，,0,khTurscwe,, 在式(3.2.22)式，(3.2.24)中取，即取，可分别得到井以变rr,r,1w,D 产量，常产量生产时，井底拟压力的表达式. 结论 用数学物理方法可以求解油气藏渗流问题，对于气藏渗流问题中的非线性偏 微分方程不便于求出解析解，恰当地进行函数变换可使气藏渗流方程式线性化， 在确定气藏渗流实际问题的定解条件后，可解出气藏渗流问题的解析解. 参考文献 [1]严镇军，数学物理方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社，2005 [2] Wang xiaodong: A Generalized Model and Its Solutions for Pressure Transient Analysis, Petroleum Science,2(2),39~43,1999 [3] Mckinley. R. M.: Wellbore transmissibility From Af-terflow-Dominated Pressure Buildup Data, J. pet. tech. (July1971)863-872;Trans,AIME251 [4] Ramey, H. J. Jr and Gringaten A.C: The Use of Source and Green’s Functions in solving Unsteady-Flow Problems in Reservoirs, Soc.Pet. Eng. J.(oct1973)285-296; Trans, AIME,225 [5] Lee, S. T., Chien, M. C. H.,and Culham, W. E.: Vertical Single-Well Pulse Testing of a Three-Layer Stratified Reservoir, Paper SPE 13249,1984 [6] 廖新维，沈平平.现代试井分析 [M] . 北京:石油工业出版社，2002.9 [7] 李虞庚.试井手册 [M]. 北京:石油工业出版社，1992 [8] 刘能强.实用现代试井解释方法[M]. 北京:石油工业出版社，1992 [9] 李笑萍，张大为.数理方法与试井数学模型[M]. 北京:石油工业出版社，1993 [10] 钟松定.试井分析[M]. 北京:石油大学出版社，1991 [11] 姜礼尚，陈钟祥.试井分析理论基础[M]. 北京:石油工业出版社，1985 38 大庆石油学院本科生毕业设计(论文) [12]加拿大国家能源保护委员会 著，气井试井理论与实践[M].北京:石油工业出版社，1988.8 致 谢 本文是在李笑萍教授的悉心指导下完成的，从论文的选题、调研和论文中的各个环节都倾注了导师的大量心血和精力.导师严谨求实的作风和诲人不倦的高尚品质令我受益匪浅，在此对卓老师表示衷心的感谢和崇高的敬意. 衷心感谢曾给予我帮助和鼓励的所有人. 39