数学竞赛试题

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010） 考试形式：  闭卷    考试时间： 150 分钟  满分：   100  分. 一、 填空题（共8分，每空2分.） (1) 设 ，则 =_____________. (2) 若关于 的方程 在区间 内有惟一实数解，则常数 _____________. (3) 设函数 在区间 上连续.由积分中值公式有 .若导数 存在且非零，则 的值等于_____________. (4) 设 ，则 =_____________. 二、（10分）设 在 内有定义，在 处可导，且 .  证明: . 三、（12分） 设 在 上一致连续，且对于固定的 ,当自然数 时 .证明: 函数序列 在 上一致收敛于0. 四、（12分） 设 ， 在 内连续， 在 内连续有界，且满足条件： (1) 当 时， ； (2) 在 中 与 有二阶偏导数，    ,  . 证明： 在D内处处成立. 五、（10分）设  . 考虑积分 ， ，  定义    . （1） 证明 ； （2）利用变量替换： 计算积分I 的值，并由此推出 . 六、（13分） 已知两直线的方程： ， .（1）问：参数 满足什么条件时， 与 是异面直线？ （2）当 与 不重合时，求 绕 旋转所生成的旋转面 的方程，并指出曲面 的类型. 七、(20分)  设 均为 阶半正定实对称矩阵，且满足 . 证明: 存在实可逆矩阵 使得 均为对角阵. 八、(15分)  设 是复数域 上的 维线性空间， ( ) 是非零的线性函数, 且线性无关. 证明: 任意的 都可为 ,使得 ， . 继续阅读