面间距的计算

面间距的计算 该文主要探讨三个方面的问： 1 面指数为（ ）的晶面族的面间距的计算 2 密勒指数指数为（h k l）的晶面族的面间距的计算 3 复式格子中指定的两族相互平行的晶面之间面间距的多值性 第一个问题的分析 同老师课堂上所讲，正格子中的一族晶面（ ）与一个倒格矢点 相对应；正格子中的一族晶面（ ）与倒格矢 正交；并且正格子（ ）晶面系的面间距为 。 第二个问题的分析 首先明确密勒指数与面指数的区别。两者均可以用来标志不同族的晶面，且标志方法相同。即取定原点和坐标轴，找出晶面族中任一晶面在轴矢上的截距，截距取倒数，再化为互质的整数。两者的区别在于表示晶面时的参考坐标系不同，即选取坐标轴的基矢不同：面指数取原胞的基矢方向为坐标轴的方向，密勒指数取晶胞的基矢方向为坐标轴的方向。原胞是晶体的最小重复单元，而晶胞则是对称性较高的单元，通常比原胞大。同一个晶面，参考坐标系不同，面指数与密勒指数一般不相同。例如对于面心立方晶格，密勒指数为（100）和（001）的面，其面指数分别为（101）和（110）。相同的指数，不同的参考坐标系，晶面一般不同，面间距也有差别。 对于简单格子，它的晶胞即原胞，所以密勒指数（h k l）的晶面族的面间距的计算即面指数（h k l）的晶面族的面间距计算，此时可用公式 来计算。 然而对于非简单格子（即体心，面心，底心格子），晶胞除顶角位置（可设想为基元的位置）有原子外，非顶角的面心（体心，底心）还有原子。所有原子的位置不能全用 （h, k, l取整数）去概括。这样再用公式 来计算就会出现问题。 从图一可以很清楚地说明这个问题。 如果晶体是简立方晶体，则在一个立方体内(即在一个晶胞内)只能画出一个（110）面ABCD，这时的面间距为 ，但对于面心立方晶体，通过立方体侧面的面心还可以做出两个（110）晶面A’B’C’D’和A”B”C”D”，这时其面间距仅是前者的1/2，即 。 由上可得，在计算面间距时，必须采用与原胞基矢相应的倒格矢，即求出与密勒指数（h k l）相对应的面指数（ ）。这里介绍一种通过晶面的法线方向作为桥梁来计算的方法。在笛卡尔坐标系中，我们可以分别定义出两种参考系的基矢：原胞的基矢 和晶胞的基矢 （均用 来表示）则在两种参考系中，我们根据面指数和密勒指数分别求出相应晶面的法线矢量，而矢量本身是不依赖于参考系的，所以根据矢量不变来确定h k l和 三者间的关系。 具体以面心立方晶格为例，晶胞和原胞的基矢的选择如图。 对于晶胞，其三个基矢为  ，（h k l）晶面的法线矢量表成 （法线矢量的求法： ， 为晶面上任意两不平行的方向） 对于原胞，三个基矢为 其倒格矢为     则（ ）晶面的法线矢量 由 可得 可以解出  ，将 化为互质的整数即得面指数。 最后可以带入简单晶面计算检验一下结论：密勒指数为（100）和（001）的面，其面指数分别为（101）和（110）。 第三个问题的分析 复式格子是基元中包含两个以上原子（离子）的晶体。复式格子中不同原子各自所构成的子晶格与晶体的布拉菲格子相同。整个复式格子可以看成是由几个子晶格套构而成。在计算复式格子的面间距的问题时常常要考虑面间距的多值性。 以闪锌矿结构的半导体晶体GaAs为例，求Ga(1,1,1)晶面与As (1,1,1)晶面间的距离。 如图，闪锌矿结构为两个面心立方晶格沿着对角线方向平移1/4长度后套构而成，也即Ga和As 原子各自组成一个面心立方的子晶格，然后两个子晶格沿对角线方向位移1/4长度套构而成。 （1,1,1）晶面的法线方向即是对角线方向，而Ga原子与As原子在对角线方向相距1/4对角线长度，即 ，所以Ga的（1,1,1）晶面与As的（1,1,1）晶面相距 。又面心立方子晶格中（1,1,1）晶面的面间距为 ，因此Ga（1,1,1）与As(1,1,1)晶面的面间距也可以说是 。如图，Ga子晶格的（1,1,1）晶面ABCDEF与As子晶格的（1,1,1）晶面GHI和G’H’I’之间的距离分别是 和 。 因为金刚石结构与闪锌矿结构类似，均为两个面心立方晶格沿对角线方向平移1/4长度后套构而成，不同的是金刚石为同种原子构成，这样金刚石的（1,1,1）晶面的面间距也有两值，分别为 和 。