《微积分I》第1章答案

《一元函数微积分》 习题1—1 1．确定下列函数的定义域： （1） ； 解：要使函数有意义，则： 即 或 .所以函数定义域： . （2） ； 解：要使函数有意义，则 ，即 .所以函数定义域：(0,1]. （3） ； 解： ，即 .所以函数定义域：(-1,1]. （4） ； 解： ，即 .所以函数定义域： . （5） ； 解： ，则 。所以函数定义域： （6） . 解： ,则 .(其中是Z整数集),函数定义域： . 2.求函数 的定义域和值域,并求 和 . 解:定义域: . 当 时, ,故 . 所以值域:[-1,1]. , . 3.下列各题中,函数 和 是否相同,为什么? (1) ; 解: 不同 因为 ,即 的值域是全体非负实数,而 的值域是全体实数. (2) ; 解: 相同 因为 和 的定义域均为实数R,值域为[-1,1],且 (3) ; 解: 不同 因为 .两函数的定义域不同. (4) . 解: 相同 因为 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1. 4.设 , 证明: . 证明: 由三角函数知: . 5.设 且 ,试确定a, b的值. 解: 因为       故 由题设 所以有: 且 得: . 6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数? (1) ; 解: 定义域: 所以函数是偶函数. (2) ; 解: 定义域: , 且 . 所以函数既非奇函数又非偶函数. (3) ; 解: 定义域: 所以函数是偶函数. (4) 解: 定义域: , . 所以函数是奇函数. (5) ; 解: 定义域: ,则 且 所以函数既非奇函数又非偶函数. (6) . 解: 定义域: 所以函数是偶函数. 7.设 为定义在 上的任意函数,证明: (1) 为偶函数;  (2) 为奇函数. 证明: 由题设 为定义在 的函数, 则 的定义域也为 (1) ,. 故 是偶函数. (2) ,.故 为奇函数. 8. 证明: 定义在 上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设 是定义在 上的任意函数. 由7题知 为偶函数, 为奇函数. 且                . 故命题成立. 9. 设 为定义在 上的奇函数,若 在 上单增, 证明: 在 上也单增. 证明: 由题设知对于任意 有: 不防设任意的 , 满足 , 则 . 在 上单增, 则   即                  所以 在 上也单增. 10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期: (1) ;      解: , 函数是周期函数且周期 . (2) ; 解: , 函数是周期函数且周期 . (3) ; 解: ,函数是周期函数且周期 . (4) ; 解: 非周期函数 (5) ; 解: , 函数是周期函数且周期 . (6) 解: , ,故原函数的周期为两函数 的周期 和 最小公倍数. 所以周期为 . 11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域. (1) , ; 解: 构成复合函数 , 定义域: . (2) , ; 解: 构成复合函数 , 定义域: . (3) , ; 解: 构成复合函数 , 定义域: . (4) , ; 解: 不构成复合函数 要求 , 但是 的值域: . (5) , ; 解: 构成复合函数 , 定义域: . (6) , . 解: 构成复合函数 , 定义域: . 12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) ; 解: , . (2) ; 解: , , . (3) ; 解: , , . (4) . 解: , , , . 13. 求下列函数的反函数: (1) ; 解: 原函数的定义域: , 值域: . 反解: .  得反函数: . 反函数的定义域: , 值域: . (2) ; 解: 原函数的定义域: , 值域: . 反解: . 得反函数: 反函数的定义域 :, 值域: . (3) . 解:   由于 , 则 . 原函数的定义域: , 值域:. 反解: , . 得反函数: 反函数的定义域: , 值域: . 14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料: 当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元; 当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元; 当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元; 当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元; 设x是销售量, y是总价, 试建立总价y和销售量x之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, 图形(略) 15. 设某商品的市场供应函数 , 其中Q为供应量, p为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L与市场价格p的函数关系式. 解: 供应函数 则总利润 . 16. 用p代表单价, 某商品的需求函数为 , 当Q超过1 000时成本函数为 , 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡). 解: 当 时    则价格 . 达到损益平衡, 则    即:      得 又因为价格 , 故 答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59. 17. 在半径为r的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数, 并求此函数的定义域. 解: 设圆柱的半径为R, 则满足 圆柱的体积: . 定义域: 18. 已知华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F或0℃, 水的沸点温度为212F或100℃. (1) 写出华氏温度F与摄氏温度℃的函数关系; (2) 画出该函数的图形; (3) 摄氏20℃相当于华氏几度? 解: (1)由华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 其中a , b为常数. 由题知:  函数关系:        (其中x的度量单位是℃, y的度量单位是F) (2) 函数图形(略) (3) 摄氏20℃时, y=1.8 20℃+32=68(F) 习题1－2 2．（1）证明： ，要使 ，即 。 只须取N= , 则当 时，有 因此  。 （2）证明： ，要使 ，即 。 只须取N= , 则当 时，有 因此  。 （3）证明： ，要使 ， 只须取 ，则当 时，有 成立 因此  （4）证明： ，要使 ， 只须取 ，则当 时，有 成立 因此  （5）证明： ，要使 ，即 只须取 ，则当 时，有 成立 因此  （6）证明： ，要使 ，即 只须取 ，则当 时，有 成立 因此  3．（1）解：略 （2）解： （3）解： 当 时， 没有极限。 4．（1）解： （2）解： （3）解 习题1-4 1、求下列极限 （1）解： = （2）解： = = = = = （3）解： = =-9 （4）解： = = （5）解： = = （6）解： = = = = （7）解： = = （8）解：因为 = =0，所以 = （9）解： = = =0 （10）解： = = （11）解： = = （12）解： = = = = 2、求下列极根 （1）解： = = （2）解： = =1 （3）解： = = （4）解： = = （6）解： = = =4 3、求下列极限： （1）解： = （2）解： （当 时， 为无穷小量， 为有界量） （3）解： （当 时， 为无穷小量， 为有界量） （4）解： （5）解：因 ， ， 所以 不存在 （6）解： 4、下列各题的做法是否正确？为什么？ （1）错。因为分式分母的极限为零，故不能利用极限的商的运算。 正确做法：因 ，所以 （2）错。因为差式中 与 都不存在，故不能利用差的运算求极限。 正确做法： = = ， 因 = 所以 （3）错误。因为 不存在，故不能利用乘积的根限运算。 正确做法： 因当 时， 为无穷小时， 为有界量，利用无穷小量与有界量乘积是无穷小量。 所以 习题1－5 1．（1）解：   （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： （9）解： （10）解： （11）解： （12）解： 2．（1）证明： 又  ，  根据夹逼准则知  （2）证明：设 显然 。 当 ， 假定 时， ， 当 时， ， 由归纳法知 ，则 有上界； 又 由 知 ， 则 单调增加； 根据单调有界准则知数列 的极限存在。 3．解： 由已知  解得 。 4．解：5年后价值 （万元） 习题1-6 1．证明：     即 即  。 2．（1） ； （2） （3） ； （4） 3． 当 时， 是x的2阶无穷小。 4． 当 时， 是x的2阶无穷小 5．（1）d;    (2)  b;  (3)  c;  (4)    a 习题1-7 1．（1） 的连续区间为 ； （2）     ； -1是间断点 连续区间为 ； 2．（1） ，x=0为第1类间断点中的可去型间断点。 （2）x=-1为第一类间断点中的跳跃型间断点。 3．当 时，tanx无意义，故为间断点 而 ，故 为可去型间断点（第一类）； 当x=0时，tanx=0， 无意义，故为间断点 而 ，故x=0为可去型间断点（第一类）； 当 时，tanx=0, 无意义，故为间断点 而 ，故 为无穷间断点。 4．             故A=e-1 5.           所以 但f(0)=0,所以f(x)在x=0不连续，x=0是f(x)的可去型间断点。 习题1—8 1． 在 上连续， ，又 ，故 。 2（1） ；  （2） （3） ；    （4） （5）令 （6） ；  （7） （8） ；    （9） （10） （11） ；（12） 3．（1） ；（2） 4． 当 ， 为任意数时 处处连续 习题1—9 1．证明：令 至少存在一点 使 2． 在 上连续， 在 上 有最大值 和最小值 ，于是 当 个式子相加得： ，根据介值定理至少存在一点 使得： 3．令 使得 4． 在 上对函数 用零点定理 至少存在一点 ，使 既得： 5． 在 上连续， ，又 两式相加 得： ，所以至少存在一点 使得