数学理卷·2010年广东省广州市普通高中毕业班综合测试(一)广州一模

试卷类型：A 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数  学（理科） 2010．3 本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考：球的体积公式 ，其中 是球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数 的共轭复数是 A．     B．     C．     D． 2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 ﹐球面上有两个点 ， 的坐标分别为 ， ，则 A．     B．12    C．     D． 3．已知集合 ， ，若 ，则实数 的所有可能取值的集合为 A．               B．                   C．             D． 4．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为 A．2    B．1    C．     D． 5．已知 ：直线 与平面 内无数条直线垂直， ：直线 与平面 垂直．则 是 的 A．充分不必要条件    B．必要不充分条件 C．充要条件    D．既不充分也不必要条件 6．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8  月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 A．2160                B．2880 C．4320              D．8640 7．在 中，点 在 上，且 ，点 是 的中点，若 ， ，则 A．     B．     C．     D． 8．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第 行有 个数且两端 的数均为 ，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如 ， ， ，…， 则第10行第4个数（从左往右数）为 A．     B． C．     D． 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．在等比数列 中， ，公比 ，若 前 项和 ， 则 的值为        ． 10．某算法的程序框如图3所示，若输出结果为 ，则输入的实数 的值 是________． （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“：=”） 11．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 ， 则点 到点 的距离大于1的概率为        ． 12．已知函数 若 在 上单调递增，则实数 的取值范围为  ． 13．如图4，点 为正方体 的中心，点 为面 的中心，点 为 的中点，则空间四边形 在该正方体的面上的正投影可能是        （填出所有可能的序号）． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图5, 是半圆 的直径,点 在 半圆上, ，垂足为 ，且 ,设 , 则 的值为        . 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点 、 的极坐 标分别为 ， ，则△ （其中 为极点）的面积 为      ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数 （其中 ， ）． （1）求函数 的最小正周期； （2）若函数 的图像关于直线 对称，求 的值． 17．（本小题满分12分） 某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元． 18．（本小题满分14分） 如图6，正方形 所在平面与圆 所在平面相交于 ，线段 为圆 的弦， 垂直于圆 所在平面，垂足 是圆 上异于 、 的点， ，圆 的直径为9． （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的平面角的正切值． 19．（本小题满分14分） 已知 ，函数 ， （其中 为自然对数的底数）． （1）求函数 在区间 上的最小值； （2）是否存在实数 ，使曲线 在点 处的切线与 轴垂直? 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分） 已知点 ，直线 ： ， 为平面上的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）已知圆 过定点 ，圆心 在轨迹 上运动，且圆 与 轴交于 、 两点，设 ， ，求 的最大值． 21．（本小题满分14分） 设数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都有 ， ． （1）求 ， 的值； （2）求数列 的通项公式 ； （3）证明： ． 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B C B B                   二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．7          10．         11．           12．           13．①②③ 14．       15．3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想，以及运算求解能力） （1）解：∵ ， ∴函数 的最小正周期为 ． （2）解：∵函数 ， 又 的图像的对称轴为 （ ）， 令 ， 将 代入，得 （ ）． ∵ ，∴ ． 17．（本小题满分12分） （本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：设 表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0． 则 的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0． 依题意得 ， ， 则 的分布列为 奖金 1000 800 600 500 400 300 0 概率                 所以所求期望值为 元． 答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元． 18．（本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵ 垂直于圆 所在平面， 在圆 所在平面上， ∴ ． 在正方形 中， ， ∵ ，∴ 平面 ． ∵ 平面 ， ∴平面 平面 ． （2）解法1：∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ． ∴ 为圆 的直径，即 ． 设正方形 的边长为 ， 在 △ 中， ， 在 △ 中， ， 由 ，解得， ． ∴ ． 过点 作 于点 ，作 交 于点 ，连结 ， 由于 平面 ， 平面 ， ∴ ． ∵ ， ∴ 平面 ． ∵ 平面 ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 平面 ． ∵ 平面 ， ∴ ． ∴ 是二面角 的平面角． 在 △ 中， ， ， ， ∵ ， ∴ ． 在 △ 中， ， ∴ ． 故二面角 的平面角的正切值为 ． 解法2：∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ． ∴ 为圆 的直径，即 ． 设正方形 的边长为 ， 在 △ 中， ， 在 △ 中， ， 由 ，解得， ． ∴ ． 以 为坐标原点，分别以 、 所在的直线为 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ． 设平面 的法向量为 ， 则 即 取 ，则 是平面 的一个法向量． 设平面 的法向量为 ， 则 即 取 ，则 是平面 的一个法向量． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 故二面角 的平面角的正切值为 ． 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：∵ ，∴ ． 令 ，得 ． ①若 ，则 ， 在区间 上单调递增，此时函数 无最小值． ②若 ，当 时， ，函数 在区间 上单调递减， 当 时， ，函数 在区间 上单调递增， 所以当 时，函数 取得最小值 ． ③若 ，则 ，函数 在区间 上单调递减， 所以当 时，函数 取得最小值 ． 综上可知，当 时，函数 在区间 上无最小值； 当 时，函数 在区间 上的最小值为 ； 当 时，函数 在区间 上的最小值为 ． （2）解：∵ ， ， ∴ ． 由（1）可知，当 时， ． 此时 在区间 上的最小值为 ，即 ． 当 ， ， ， ∴ ． 曲线 在点 处的切线与 轴垂直等价于方程 有实数解． 而 ，即方程 无实数解． 故不存在 ，使曲线 在点 处的切线与 轴垂直． 20．（本小题满分14分） （本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设 ，则 ， ∵ ， ∴ ． 即 ，即 ， 所以动点 的轨迹 的方程 ． （2）解：设圆 的圆心坐标为 ，则 ．          ① 圆 的半径为 ． 圆 的方程为 ． 令 ，则 ， 整理得， ．                            ② 由①、②解得， ． 不妨设 ， ， ∴ ， ． ∴ ，                    ③ 当 时，由③得， ． 当且仅当 时，等号成立． 当 时，由③得， ． 故当 时， 的最大值为 ． 21．（本小题满分14分） （本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：当 时，有 ， 由于 ，所以 ． 当 时，有 ，即 ， 将 代入上式，由于 ，所以 ． （2）解：由 ， 得 ，                            ① 则有 ．              ② ②－①，得 ， 由于 ，所以 ．                ③ 同样有 ，                      ④ ③－④，得 ． 所以 ． 由于 ，即当 时都有 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列． 故 ． （3）证明1：由于 ， ， 所以 ． 即 ． 令 ，则有 ． 即 ， 即 故 ． 证明2：要证 ， 只需证 ， 只需证 ， 只需证 ． 由于 ． 因此原不等式成立．