1984年高考数学最高分

1984年高考数学最高分 篇一:1984年高考数学(全国理)及(历年最难) 1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 (这份试题共八道大题，满分12010分，不计入总分) 一((本题满分15分)本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内)，一律得负11(数集X={(2n+1)π，n是整数}与数集Y={(4k?1)π，k是整数}之间的关系是( C ) (A)X?Y(B)X?Y (C)X=Y (D)X?Y 22 2(如果圆x+y+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么( C ) (A)F=0，G?0，E?0.(B)E=0，F=0，G?0. (C)G=0，F=0，E?0.(D)G=0，E=0，F?0. 3.如果n是正整数，那么[1?(?1)](n?1)的值( B ) 8 1 n2 (A(B (C)是整数但不一定是偶数(D4.arccos(?x)大 1 于arccosx的充分条件是 ( A ) (A)x?(0,1] (B)x?(?1,0) (C)x?[0,1](D)x?[0, 2? 5(如果θ是第二象限角，且满足cos ?2 ?sin ?2 ??sin?,那么 ?2 ( B ) (A)是第一象限角(B)是第三象限角(C)可能是第一象限角，也可能是第三象限角(D)是第二象限角 二((本题满分24分)本题共6小题，每一个小题满分4 1(已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4 答: 4? 或 8? . 2.函数log (x?4x?4)在什么区间上是增函数, 答:x,-2. 0.5 2 2 2 3(求方程(sinx?cosx)? 1|x| n 3 12 答:{x|x? 7?12 ?n?,n?Z}?{x|x?? ?12 ?n?,n?Z} 4(求(|x|??2)答:5(求lim 1?2 n n?? 3?1 答:0 6(要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目 单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不1 ( 4 答:P7?6! 三((本题满分12 ?0,当x?0, 3 1(设H(x)??画出函数y=H(x-1)1,当x?0,? 2(画出极坐标方程(??2)(?? ?4 )?0(??0) 解: 四((本题满分12分) 证:设三个平面为α，β，γ，且????c,????b,????a. ?????c,????b,?c??,b??. 从而c与b1(若c与b交于一点，设c?b?P.由P?c,且c??,有P??; 又由P?b,b??,有P??.于是P?????a P ?所以a,b,c交于一点(即P点) 2.若c?b,则由b??,有c//?.又由c??,且????a,可知c//aa,b,c 五((本题满分14分) 设c,d,x为实数，c?0，xlog a (cx? dx x??1在什么情况下 解:原方程有解的充要条件是: ?x?0, (1)?dcx??0, (2)? xd1?d?22d. 由条件(4)知x(cx??1，所以cx?d?1c?0，可得x?? 4 cx??0,(3)xc?x?d?1 ?(cx?)?x (4) x? 又由x(cx? dx )?1及x,0，知cx? dx dx ?0，即条件(2)包含在条件(1)及(4再由条件(3)及x(cx??1，知x?1.因此，原条件可简化为以下的等价条件组: ? ?x?0, (1) 1?d? x?1, (5)?0.这个不等式仅在以下两种情形下成立: 由条件(1)(6)知? c?21?d .(6)?x?c? ?c,0,1-d,0,即c,0,d,1;?c,0,1-d,0,即c,0,d,1.再由条件(1)(5)及(6)可知c?1?d 从而，当c,0,d,1且c?1?d时，或者当c,0,d,1且c?1?d时，原方程有解，它的解是 x?六((本题满分16分) 5 2 1(设p?0，实系数一元二次方程z?2pz?q?0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是 Z1，ZZ1，Z27分)2(求经过定点M(1，2)，以y轴为准线， 离心率为 2 12 9分)解:1.因为p,q为实数，p?0，z1,z2为虚数，所以 (?2p)?4q?0,q?p 2 ?0 由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x 数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距离=2c=|z1-z2|=|(z1?z2)?4z1z2|?2q?p长轴长=2a=2b?c 2 2 22 , ?2q. 2.因为椭圆经过点M(1，2)，且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于xA(x,y)，因为椭圆的离心率为 6 从而左焦点F的坐标为( 3x2 12 ，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的 12 ， ,y)设d为点M到y轴的距离，则根据 |MF|d ? 12 及两点间距离公式，可得( 3x 1222222 ?1)?(y?2)?(,即9(x?)?4(y?2)?1 223 七((本题满分15分) 在?ABC中，?A，?B，?C所对的边分别为a,b,c，且c=10， cosAcosB a3cosAbcosAsinB ?，运用正弦定理，有?,?sinAcosA?sinBcosB?sin2A?sin2B. 解:由 cosBacosBsinA 7 ?b?4 ，P为?ABCP到顶点A，B，C因为A?B，所以2A=π-2B， 即由此可知?ABC由c=10， ba12 ? 43 ,a?b 22 ?c以及a?0,b?0可得a?6,b?8. 2 如图，设?ABC的内切圆圆心为O,，切点分别为D，E， F，则 AD+DB+EC= (10?8?6)?12.但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方 程为: 22 (x-2)+(y-2)=4 设圆上动点P的坐标为(x,y),则 2 2 2 2 8 2 2 2 2 Y X ) 2 S?|PA|?|PB|?|PC|?(x?8)?y?x?(y?6)?x?y??3[(x?2)?(y?2)]?4x? 76?3?4?4x?76?88?4x. 2 2 因为P点在内切圆上，所以0?x?4， S最大值=88-0=88， S最小值?x?2?2cos? 解二:同解一，设内切圆的参数方程为?(0???2?), y?2?2sin?? 从而S?|PA|?|PB|?|PC| ?(2cos??6)?(2?2sin?)?(2?2cos?)?(2sin??4)?(2?2cos?)?(2?2 sin?)?80?8cos? 2 2 2 2 9 2 2 222 因为0???2?，所以S最大值=80+8=88，S最小值八((本 题满分12分) 设a,2，给定数列{xn},其中x1=a,xn?1? xn?1xn xn 2 2(xn?1) (n?1,2?)求证: 1(xn?2,且 ?1(n?1,2?); 2(如果a?3,那么xn?2? lg 12 a n?1 (n?1,2?); 3(如果a?3,那么当n? lg 3 10 时,必有xn?1?3. 43 1(证:先xn,2(n=1,2,由条件a,2及x1=a知不等式当n=1n=k(k?1)当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知xk?1?2?xk?4xk?4?0?(xk?2)?0, 再由归纳假设知不等式(xk?2)?0成立，所以不等式xk?1?2xn,2对于所有的正整 22 2 数n归纳法的第二步也可 这样)证:xk?1? 12 [(xk?1)? 1xk?1 ?2]? 12 (2?2)?2 所以不等式xn2(n=1,2,xn?1xn ?1(n?1,2?).由条件及xn2(n=1,2,…)知 xn?1xn ?1? xn2(xn?1)12 ?1?xn?2,因此不等式 11 xn?1xn ?1(n?1,2?).数n有 xn?1xn ?(1? 1xn?1 )? 12 (1? 12?1 )?1.还可这样证:对所有正整数n有 xn?xn?1? xn(xn?2)2(xn?1) ?0,所以 xn?1xn ?1(n?1,2?).) 2(证一:用数学归件x1=a?3知不等式当n=1时假设不等 式当n=k(k?1)当n=k+1时，由条件及xk?2知 xk?1?1? 12 k ?xk?2(xk?1)(2? 2 12 12 k )?xk?2(2? 2 12 k )xk?2(2? 12 k )?0?(xk?2)[xk?(2? 12 k 12 k?1 )]?0, 再由xk?2及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立， 所以不等式xk?1?2?式xn?2? 12 n?1 也成立，从而不等 对所有的正整数nn=k+1时成立用以下证法: 由条件知xk?1? 13 12 (xk?1? 1xk?1xk?1xk )再由xk?2及归纳假设可得xk?1? 1?11? (2??1?1?2?k?1k??2?22?12 13?1 34 3(证:先证明若xk?3,则 a ? 34 .这是因为 xk?1xk ? 12 (1? 1xk?1 ?(1?)?.lg 当n? lg 3 14 时，有xk?1?3,则由第1小题知x1?x2???xn?xn?1?3.因此，由上面证明的结论及x1=a43 x2x1 x3x2 xn?1xn 3n ?a(),即n? 4 lglg a 3 4 可得3?xn?1?x1? ???? 3 九((附加题，本题满分10分，不计入总分) 如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为 2 AP，直线PC与直线AO交于点P的速度为M34 解:作CD?AM，并设AP=x，AM=y，?COD=θ AP?x， 33 15 半径OC=1，可知θ?考虑x?(0,?) ??APM??DCM，? AMAP ?DMDC 23x22 y?(1?cos? sin 23x23x). A P L DM?y?(1?cos 232323 x),DC?sin 23 x,? yx x(1?cos 解得y? x?sin x).x23 x)(1?cos 23x? 23xsin 23 16 x)?x(1?cos23x) 2 (x?sin 23 x)(1? 23 cos 23 x)而?dy/dt?[ dxdt (x?sin 当x?dydt ?3?4时, 2 dxdt ?v,代入上式得 v. M点的速度 2(3??4??8)(3??4) 2 篇二:1984年高考数学全国卷(理科)及其参考答案 1984年高考数学全国卷(理科)及其参考答案 17 (这份试题共八道大题，满分120满分10分， 不计入总分) 一((本题满分15分)本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，3分;不选，选错或者选出 的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内)，一律得负11(数集X={(2n+1)π，n是整数}与数集Y={(4k?1)π，k是整数}之间的关系是 ( C ) (A)X?Y(B)X?Y (C)X=Y (D)X?Y 2(如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么( C ) (A)F=0，G?0，E?0. (B)E=0，F=0，G?0. (C)G=0，F=0，E?0.(D)G=0，E=0，F?0. 3.如果n是正整数，那么[1?(?1)n](n2?1)的值( B ) (A(B1 8 (C)是整数但不一定是偶数 (D?x)大于arccosx的充分条件是 ( A ) 4.arccos( (A)x?(0,1] (B)x?(?1,0) ? 2 ??? 5(如果θ是第二象限角，且满足cos?sin??sin?,那么 222 (C)x?[0,1] (D)x?[0,] 18 (A)是第一象限角 (B)是第三象限角 ( B ) (C)可能是第一象限角，也可能是第三象限角 (D)是第二象限角 二((本题满分24分)本题共6小题，每一个小题满分4直接写出结果) 1(已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4答:或. 2.函数log0.5(x2?4x?4)在什么区间上是增函数, 答:x,-2. 3(求方程(sinx?cosx)2?4 ?8? 12 答:{x|x?4(求(|x|?答:7?? ?n?,n?Z}?{x|x???n?,n?Z} 1212 1 ?2)3|x| 1?2n 5(求limn??3n?1 答:0 6(要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法(只要求写出式子，不答:P74?6! 三((本题满分12?0,当x?0,1(设H(x)??画出函数 19 y=H(x-1)1,当x?0,? 2(画出极坐标方程(??2)(??)?0(??0)? 4 解: 1( 2( 四( (本题满 分 12分) 已知三个平面两两相交，有 证:设三个平面为α，β，γ，且????c,????b,????a. ?????c,????b,?c??,b??. 从而c与b1(若c与b交于一点，设c?b?P.由P?c,且c??, 有P??; 又由P?b,b??,有P??.于是P?????a ?所以a,b,c交于一点(即P点) P α 2.若 a c?b,则 由 b??,有c//?.又由c??,且????a a,b,c五((本题满分14分) 设c,d,x为实数，c?0，xlog 20 d (cx?) x x??1在什么情 解:原方程有解的充要条件是: (1)?x?0, ?d (2)?cx??0, x? ?cx?d?0,(3) ?x?d?1 (4)?(cx?)?x x? d 由条件(4)知x(cx?)?1，所以cx2?d?c?0，可得 x 1?dx2?. cdd 又由x(cx?)?1及x,0，知cx??0，即条件(2)包含在条 件(1) xx 及(4再由条件(3)及x(cx?)?1，知x?1.因此，原条件 21 可简化为以下的等价条件组: ? (1)?x?0, ? (5) ?x?1, ?21?dx?.(6)?c? 1?d ?0.这个不等式仅在以下两种情形下成立: 由条件(1)(6)知c dx ?c,0,1-d,0,即c,0,d,1; ?c,0,1-d,0,即c,0,d,1. 再由条件(1)(5)及(6)可知c?1?d 从而，当c,0,d,1且c?1?d时，或者当c,0,d,1且c?1?d时，原方程有解，它的解是 x?六((本题满分16分) 1(设p?0，实系数一元二次方程z2?2pz?q?0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1，ZZ1，Z2为焦点且经过原点的 7分) 2(求经过定点M(1，2)，以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶9分) 12 22 解:1.因为p,q为实数，p?0，z1,z2为虚数，所以 (?2p)2?4q?0,q?p2?0 由z1,z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称， 所以椭圆短轴在x 根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|, 焦距离=2c=|z1-z2|=(z1?z2)2?4z1z2|?2q?p2, 长轴长=2a=2b2?c2?2q. 2.因为椭圆经过点M(1，2)，且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x设椭圆左顶点为A(x,y)，因为椭圆的离心率为， 所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的， 从而左焦点F的坐标为( 3x ,y)2 12 12 设d为点M到y轴的距离，则根据 ( |MF|1 ?及两点间距离公式，可得 d2 3x1 ?1)2?(y?2)2?()2,即22 23 22 9(x?)?4(y?2)2?1 3 篇三:1984年高考理科数学试题、答案及点评 1984年全国统一高考理科数学试题及答案 (共八道大题，满分12010分，不计入 总分) 一(选择题(本题满分15分)本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内)，一律得负11(数集X={(2n+1)π，n是整数}与数集Y={(4k?1)π，k是整数}之间的关系是 ( ) (A)X?Y(B)X?Y (C)X=Y (D)X?Y 考点:集合的包含关系判断及应用( :题中两个数集都示π的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系( 解答:解:?数集X={(2n+1)π，n是整数} ?其中的元素是π的奇数倍( ?数集Y={(4k?1)π，k是整数} ?其中的元素也是π的奇数倍( ?它们之间的关系是X=Y( 故选C( 24 点评:本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题(要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理 解，善于抓住代表元素，认清集合的特征( 2(如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么( ) (A)F=0，G?0，E?0. (B)E=0，F=0，G?0. (C)G=0，F=0，E?0.(D)G=0，E=0，F?0. 考点:圆的一般方程( 分析:圆与x轴相切于原点，则圆心在y轴上，G=0，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，F=0，E?0 解答:故选C( 点评:本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题( 3.如果n是正整数，那么[1?(?1)n](n2?1)的值( ) (A(B18 (C)是整数但不一定是偶数 (D考点:进行简单的合情推理( 分析:这是一个简单的合情推理问题，我们可以对n的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案( 解答:?n是正整数 ?当为为奇数时，n2-1必为8的整数倍，不妨令 25 n2-1=8Z，Z?N* 则1 8 [1?(?1)n](n2?1)=2Z，Z?N* 即此时1 8 [1?(?1)n](n2?1)的值为偶数( ?当为偶数时，1-(-1)n=0 则1 8 [1?(?1)n](n2?1)=0 故1 8 [1?(?1)n](n2?1)的值一定是偶数 故选B 点评:这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为:根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果( 4.arccos(?x)大于arccosx的充分条件是 ( ) (A)x?(0,1] (B)x?(?1,0) (C)x?[0,1] (D)x?[0,] ? 2 考点:反三角函数的运用( 分析:充分考虑arccosx的范围，推出arccos(-x)的范围，然后确定arccos(-x)大于arccosx的充分条件 解答:解:?arccosx?[0，π]， (1)arccosx?[0，π 2 )时，x??(0，1]，arccos(-x)?(π 2 ，π],arccosx， (2)arccosx?(π 2 ，π]时，x?[-1，0)，arccos(-x)?[0，π 2 ),arccosx， 26 (3)arccosx=π 2 时 x=0，arccosx=π 2 =arccos(-x)， 故选A( 点评:本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题( 5(如果θ是第二象限角，且满足cos?sin??sin?,那么 ( ) (A)是第一象限角 (B)是第三象限角 (C)可能是第一象限角，也可能是第三象限角 (D)是第二象限角 考点:半角的三角函数( ?2?2?2 先根据θ的范围确定 故选B( 点评:本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系(属基础题 二((本题满分24分)本题共6小题，每一个小题满分4要求直接写出结果) 1(已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4考点:棱柱、棱锥、棱台的体积( 分析:圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积( 解答:解:圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形， 当母线为4时，圆柱的底面半径是1 π 此时圆柱体积是(1 π )2π×4,4 π 27 当母线为2时，圆柱的底面半径是2 π ，此时圆柱的体积是(2 π )2π×2,8 π 综上所求圆柱的体积是:或. 点评:本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题(容易疏忽一种情况( 4?8? 2.函数log0.5(x2?4x?4)在什么区间上是增函数, 考点:对数函数的单调性与特殊点( 分析:本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可( 解答:解:令x2+4x+4,0，得x?-2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=-2故内层函数在(-?，-2)上是减函数，在(-2，+?)上是增函数( 因为外层函数的底数0.5,1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间 故函数y=log0.5(x2+4x+4)在(-?，-2)上是增函数( 点评:本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法( 3(求方程(sinx?cosx)2?1 2 考点:三角函数的化简求值( 分析:利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一 28 个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式( 解:由题意知，(sinx?cosx)2? ，即1+sin2x=1 2 ， ?sin2x=1 2 ，则2x=7π 6 +2nπ或-π 6 +2nπ(n?Z)， 解得x=7π 12 +nπ或-π 12 +nπ(n?Z)， ?所求方程的解集是:{x|x? 7???n?,n?Z}?{x|x???n?,n?Z} 121212 29