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寻找几何解题钥匙

北师大版九

题目如下：如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且CD=1，过点C作CH⊥BD于点H，O是AB的中点，连接OH，求OH的长度.

图1

读题后，学生通过对这道题的条件的梳理，产生了共同的认识，条件能给我们两组基本图形：

1. 等腰Rt△ACB有了底边上的中点O通常会连结底边上的中线，产生三线合一的线段，将等腰△ACB分成两个全等的等腰直角三角形。
2. Rt△ACB作斜边上的高的基本图形（射影图）六条线段可以知二推四，OH的长度一部分学生首选放进△BOH中，直观感觉△BOH∽△BDA，条件分析△BOA三边都能求，在△BOH中，BO，BH能求，显然边的条件较多，两个三角形又是“A”型图，有一对公共角，去尝试算夹公共角的两边是否成比例，计算后确实成比例，相似得证，OH当然也能求。这道题边的条件特别多，从边入手不为上策，相似三角形的寻找就成为了解决几何题的第一把钥匙。

这时一些学生又说可以再找一对角来证相似，他们连结CO后，∠COB=∠CHB=90°，于是C，B，O，H四点共圆，轻松证到∠BHO=∠BCO=45°，也就得到∠BHO=∠A，用角来证四点共圆，再证角，对有些学生来说认为更容易，依然是相似，用到当时补充