伯格斯模型

Burgers 模型是由马克思威尔模型（M 体）与开尔文模型（K 体）串联组合的 结构模型。 设马克思威尔模型与开尔文模型应变分别为 ，串联后总的应变为两个 应变的相加，而应力相等，故有： σ= + 将上述方程式中消去 ，即可得到Burgers 模型的蠕变本构关系： σ+（ ） + = +     (5.17) 或σ+ + = +       (5.18) 式中， = ， = ， = ， = 三维张量方程为： + + =2 +   (5.19) 式（5.17）、式（5.18）与式（5.19）均为H-K 模型的本构方程式。 应力条件为： = =恒量，初始条件为： =0, = =   。这里应用拉普拉斯（Laplace）变换进行蠕变方程的推导，对于瞬时加载时间引入一个单位 阶梯函数Δ(t )，其定义为： Δ(t ) （5.20） 因而，应力 可表示为： =   （5.21） 、 、 的拉普拉斯变换为： (5.22) 应变 的拉普拉斯变化为 ， 的导数的拉普拉斯变换为： (5.23) 对三维本构方程式（5.19）进行拉普拉斯变换，以及将式（5.22）与式（5.23） 代入式（5.19），得 + + =2 + (5.24) =   (5.25) 对上式进行拉普拉斯逆变换，查表可知：令α= =1  = = 代入式（5.25）整理后可得： =   （5.26） 式（5.26）即为Burgers 体蠕变方程，将 、 、 = +     (5.27) Burgers 体蠕变模型描述介质具有初始瞬时弹性应变、衰减蠕变（I）阶段以及 稳态蠕变（II）阶段。 5）参数识别以及对比 目前，煤岩蠕变模型参数确定的多为回归反演法、最小二乘法以及蠕变 曲线分解法等。其中，最小二乘法应用最为普遍，但最小二乘法解决非线性问 其效果并不理想。因此，本项目采用quasi-Newton 算法（BFGS 算法）对煤岩蠕变 模型进行参数识别。 BFGS 算法是由Broyden，Fletcher，Goldfarb 和Shanno等人在1970 年提出的。 该算法不用计算二阶偏导数矩阵及其逆阵就可以构造出每次迭代的搜索方向[23]。 该算法数值稳定性好，可直接对蠕变全过程曲线拟合，故BFGS 算法被认为是目 前最好的一种局部收敛算法，得到了极为广泛的应用。其搜索方向的构造如下： (5.28) (5.29) =1+ (5.30) = (5.31) (5.32) 式中，k 为迭代次数。计算步骤如下：（1）给定迭代初始值。初始 ，设定计算精度ε>0，初始矩阵 = I （单位矩阵），令k =0。 ②搜索和迭代。计算 ，沿 进行不精确一维搜索，求出步长 使 =min （5.33） （5.34） ③执行熟练准则。若 ＜ε，则取 ， p* p(k 1) = + ，计算结束；否则由式（5.28）-（5.30）计算 ，令k = k +1，返回步（2）。 在压缩作用下H-K蠕变模型以及Burgers蠕变模型与试验曲线的吻合度均比较 好，且二者相比，Burgers 蠕变模型与试验曲线的吻合度更高；然而，对于煤岩直 接拉伸蠕变试验，Burgers 蠕变模型与试验曲线的吻合度明显高于H-K 蠕变模型。 这是因为Burgers 蠕变模型较H-K 蠕变模型多了一个粘性元件，因而，其更适用于 较为复杂的受力状态，表5.2、5.3 为两个模型的拟合参数。 表5.2 Burgers 蠕变模型参数 Table.5.2 The Burges model’s parameters   应力差/MPa E1/MPa η1( MPa·h) E2/MPa η2/(MPa·h) R2 压缩 35.76 10398.34 8135090.29 669753.50 79591.79 0.975 45.96 11716.38 10505174.78 667039.09 128052.98 0.976 53.60 12429.55 9062436.97 678798.88 239067.45 0.987 61.24 12931.55 7133296.28 492721.39 213979.13 0.991 66.34 12981.99 3182051.76 461094.58 274210.73 0.998               表.5.3 H-K 蠕变模型参数 Table.5.3 The H-K model’s parameters   应力差/MPa EM/MPa EK/MPa ηK/(MPa·h) R2 压缩 35.76 10376.00 699651.45 119836.49 0.967 45.96 11668.51 721766.80 262518.53 0.947 53.60 12381.57 632841.68 494324.00 0.961 61.24 12872.28 445863.74 386286.88 0.970 66.34 12914.20 301130.73 484737.01 0.986             根据表5.2、表5.3 可知，拟合相关系数（R）均在0.9 以上，最高达到了0.998 说明拟合效果相当好，且在应力状态相同的情况下，Burgers 蠕变模型各项拟合相 关系数平方（R2）均明显高于H-K 蠕变模型。同时可以看出相同荷载作用下，各 参数的变化范围相对较小。