河南工业大学理学院谢萍丽老师点集拓扑学试题(含答案)

点集拓扑学练习 一、单项选择题 1、设 ，下列集族中,（  ② ）是 上的拓扑. ①   ② ③   ④               2、设 ，下列集族中,（    ）是 上的拓扑. ①   ② ③   ④               ：② 3、设 ，下列集族中,（    ）是 上的拓扑. ①   ② ③       ④               答案：③ 4、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集个数（    ） ① 1    ② 2      ③ 3  ④  4  答案：② 5、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（    ） ① 1    ② 2      ③ 3  ④  4  答案：② 6、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为（      ） ① 0  ② 1      ③ 2  ④  3  答案：③ 7、设 ，拓扑 , 的既开又闭的非空真子集个数（  ） ① 1  ② 2      ③ 3  ④  4  答案：② 8、在实数空间中，有理数集 的边界 是（    ） ①     ② Q      ③ R -Q    ④ R     答案：④ 9、在实数空间中，区间 的内部是（    ） ①     ②       ③     ④   答案：④ 10、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中错误的是（    ） ①     ② ③     ④               答案: ③ 11、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（    ） ①     ② ③     ④               答案: ① 12、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（    ） ①           ② ③     ④       答案: ④ 13、已知 是一个离散拓扑空间，A是 的子集,则下列结论中正确的是（      ） ①           ② ③           ④               答案：① 14、已知 是一个平庸拓扑空间，A是 的子集,则下列结论中不正确的是（      ） ① 若 ,则           ② 若 ,则 ③ 若A={ },则       ④ 若 , 则     答案：④ 15、已知 是一个平庸拓扑空间，A是 的子集,则下列结论中正确的是（      ） ① 若 ,则           ② 若 ,则 ③ 若A={ },则   ④ 若 ,则     答案：① 16、设 ，令 ,则由 产生的 上的拓扑是（    ） ① { , ,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}    ② { , ,{c},{d},{c,d}} ③ { , ,{c},{a,b,c}}    ④ { , ,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}  答案：① 17、设 是至少含有两个元素的集合， , 是 的拓扑，则（    ）是 的基. ①   ② ③         ④   答案：③ 18、 设 ,则下列 的拓扑中（  ）以 为子基. ① { , ,{a},{a,c}}        ② { , ,{a}} ③ { , ,{a},{b},{a,b}}    ④  { , }答案：② 19、离散空间的任一子集为(      ) ① 开集  ② 闭集  ③ 即开又闭  ④ 非开非闭  答案：③ 20、平庸空间的任一非空真子集为(      ) ① 开集  ② 闭集  ③ 即开又闭  ④ 非开非闭  答案：④ 21、实数空间R的子集A ={1, , , ,……},则 ＝（  ） ①φ      ② R    ③ A∪{0}    ④ A    答案：③ 22、已知 上的拓扑 ,则点1的邻域个数是（  ） ① 1    ② 2        ③ 3        ④ 4              答案：④ 23、已知 ,则 上的所有可能的拓扑有（  ） ① 1个  　② 2个      ③ 3个      ④ 4个          答案：④  24、已知 ={a,b,c},则 上的含有４个元素的拓扑有（  ）个 ① 3    ② 5      ③ 7      ④  9                答案：④ 25、设 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 (      ) ①             ②   ③当 时,     ④ 当 时,     答案：③ 26、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为(    )      ①           ② ③           ④       答案：③ 27、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为(      )      ①                 ② ③       ④             答案：① 28、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑为(      )        ①             ② ③               ④                     答案：④ 29、有理数集 是实数空间 的一个（    ） ① 不连通子集                ② 连通子集 ③ 开集              　 ④ 以上都不对              答案：① 30、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若 ,  则Z为(    ) ①不连通子集    ② 连通子集  ③ 闭集  ④ 开集 答案：② 二、填空题 1、设 ,则 的平庸拓扑为                          ;答案： 2、设 ,则 的离散拓扑为                          ;答案： 3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫                          ; 答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________. 答案： R 5、 当且仅当对于 的每一邻域 有                    答案： 6、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 =        ;答案： 7、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 =        ;答案： 8、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 =        ;答案： 9、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 =        ;答案： 10、设 ,则 的平庸拓扑为                          ;答案： 11、设 ,则 的离散拓扑为        答案： 12、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为                      ;答案：{3} 13、 是拓扑空间 到 的一个映射，若它是一个单射，并且是从 到它的象集 的一个同胚，则称映射 是一个            .答案：嵌入 14、 是拓扑空间 到 的一个映射，如果它是一个满射，并且 的拓扑是对于映射 而言的商拓扑，则称 是一个              ;答案：商映射 15、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个开集 的象集 是 中的一个开集，则称映射 是一个    　　答案：开映射 16、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个闭集 的象集 是 中的一个闭集，则称映射 是一个    　　答案：闭映射 17、若拓扑空间 存在两个非空的开子集 ,使得 ,则 是一个              ；答案：不连通空间 18、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个            ; 答案：连通子集 19、设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得 ,则称 是一个                    ；答案：不连通空间. 三．判断 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(      )  答案:√  理由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，因为对任意 ，都有 ,由于 中的任何一个子集都是开集，从而 是 中的开集，所以 是连续的. 2、设 是集合 的两个拓扑，则 不一定是集合 的拓扑(    )答案:× 理由：因为（1） 是 的拓扑，故 T1， T２，从而 ； （２）对任意的 T1 T２，则有 T1且 T２，由于T1, T2是 的拓扑，故 T1且 T2，从而 T1 T２； （３）对任意的 ，则 ，由于T1, T2是 的拓扑，从而 U T’U T1, U T’U T2,故 U T’U T1 T２； 综上有T1 T２也是 的拓扑． 3、从拓扑空间 到平庸空间 的任何映射都是连续映射（    ）答案:√ 理由：设 是任一满足条件的映射，由于 是平庸空间，它中的开集只有 ,易知它们在 下的原象分别是 ,均为 中的开集，从而 连续. 4、设 为离散拓扑空间 的任意子集，则 （    ）答案:√ 理由：设 为 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以 是 的开子集，且有 ，即 ,从而 . 5、设 为平庸空间 （ 多于一点）的一个单点集，则 （    ）答案：× 理由：设 ,则对于任意 , 有唯一的一个邻域 ，且有 ,从而 ，因此 是 的一个凝聚点，但对于 的唯一的邻域 ，有 ,所以有 . 6、设 为平庸空间 的任何一个多于两点的子集，则 （    ）答案：√ 理由：对于任意 因为 包含多于一点，从而对于 的唯一的邻域 ，且有 ，因此 是 的一个凝聚点，即 ，所以有 . 四． 名词解释 1．同胚映射      答案：设 和 是两个拓扑空间.如果 是一个一一映射，并且 和 都是连续映射，则称 是一个同胚映射或同胚. 2、集合 的聚点      答案：设A是拓扑空间X的一个子集，如果 的每一个邻域U中都有A中异于 的点，即 ，则称点 是集合A的一个凝聚点。 3、集合 的内部      答案：设 是一个拓扑空间， .则集合 的所有内点构成的集合称为集合 的内部. 4．拓扑空间 的基      答案：设 是一个拓扑空间， 是 的一个子族.如果 中的每一个元素是 中的某些元素的并，则称 是拓扑 的一个基. 5．闭包      答案：设 是一个拓扑空间， .集合 与集合 的导集 的并 称为集合 的闭包. 6. 拓扑性质  在同胚变换下保持不变的性质称为同胚性质. 7、导集      答案：设 是一个拓扑空间，集合 的所有凝聚点构成的集合称为 的导集. 8、不连通空间      答案：设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得 ,则称 是一个不连通空间. 11、 空间      答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为 空间.