(详细解析)2000年高考数学试题(全国旧课程)理科

(详细解析)2000年高考数学试题(全国旧课程)理科2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合和都是自然数集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，象20的原象是A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】，解得．2．在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是A．B．C．D．【答案】B【解析】所求复数为．3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是A．B．C．6D．【答案】D【解析】设长、宽和高分别为，则，∴，∴，∴对角线长．4．已知，那么下列命题成立的是A．若是第一象限角，则B．若是第二象限角，则C．若是第三象限角，则D．若是第四象限角，则【答案】D【解析】用特殊值法：取，A不正确；取，B不正确；取，C不正确；D正确．5．函数的部分图像是【答案】D【解析】函数是奇函数，A、C错误；且当时，．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款元，则他的当月工资、薪金所得介于A．800~900元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~2800元【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为元，所以选C．7．若，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】一：；，所以B正确．方法二：特殊值法：取，即可得答案．8．以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】设圆上任意一点，直径为2，则，即．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆柱的半径为，则高，．10．过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】圆的标准方程为，设直线的方程为，由题设条件可得，解得，由于切点在第三象限，所以，所求切线．11．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则等于A．B．C．D．【答案】C【解析】特殊值法．作轴，即将代入抛物线方程得，∴．【编者注】此题用一般方法比较复杂，并要注意原方程不是标准方程．12．如图，是圆锥底面中心到母线的垂线，绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为A．B．C．D．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为，高为，上半部分由共底的两个圆锥构成，过向轴作垂线，垂足为，，∴，原圆锥的体积为，解得，∴．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种（用数字作答）．【答案】252【解析】不同的出场安排共有．14．椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是．【答案】【解析】方法一：（向量法）设，由题设，即，，又由得，代入并化简得，解得．方法二：（圆锥曲线性质）设，∵，∴，又，，当为钝角时，，解得．15．设是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式是．【答案】【解析】条件化为，∵∴，即，累成得．16．如图，分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数．（I）当函数取得最大值时，求自变量的集合；（II）该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．（Ⅰ）．——6分取得最大值必须且只需，即．所以当函数取得最大值时，自变量的集合为——8分（Ⅱ）将函数依次进行如下变换：（i）把函数的图像向左平移，得到函数的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横纵坐标不变），得到函数的图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数的图像；综上得到函数的图像．——12分18．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体的底面是菱形，且．（I）证明：；（II）假定，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结，和交于，连结．∵四边形是菱形，∴．又∵，∴，∴，∵，∴，——2分但，∴平面，又平面，∴．——4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴是二面角的平面角．在中，，∴．——6分∵，∴．∴，∴，即．作，垂足为．∴点是的中点，且，所以．——8分（Ⅲ）当时，能使平面证明一：∵，∴，又，由此可推得．∴三棱锥是正三棱锥．——10分设与相交于．∵，且，∴．又是正三角形的边上的高和中线，∴点是正三角形的中心，∴平面．即平面．——12分证明二：由（Ⅰ）知，平面，∵平面，∴．——10分当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同的证法可得，又，∴平面．——12分19．（本小题满分12分）设函数，其中．（I）解不等式；（II）求的取值范围，使函数在区间上是单调函数．【解】本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式即，由此得，即，其中常数．所以，原不等式等价于即——3分所以，当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的解集为．——6分（Ⅱ）在区间上任取，使得．．——8分（ⅰ）当时，∵，∴，又，∴，即．所以，当时，函数在区间上是单调递减函数．——10分（ii）当时，在区间上存在两点，满足，，即，所以函数在区间上不是单调函数．综上，当且仅当时，函数在区间上是单调函数．——12分20．（本小题满分12分）（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（II）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．【解】本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．（Ⅰ）因为是等比数列，故有，将代入上式，得，——3分即，整理得，解得或．——6分（Ⅱ）设的公比分别为，．为证不是等比数列，只需证．事实上，，．由于，又不为零，因此，故不是等比数列．——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为．——4分（Ⅱ）设时刻的纯收益为，则由题意得即——6分当时，配方整理得，所以，当时，取得区间上的最大值100；当时，配方整理得所以，当时，取得区间上的最大值．——10分综上，由可知，在区间上可以取得最大值100，此时，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．——12分22．（本小题满分14分）如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过三点，且以为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立直角坐标系，则轴．因为双曲线经过点，且以为焦点，由双曲线的对称性知关于轴对称．——2分依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．由定比分点坐标公式得．设双曲线的方程为，则离心率．由点在双曲线上，将点的坐标和代入双曲线方程得，①．②——7分由①式得，　　③将③式代入②式，整理得，故．　　——10分由题设得，．解得．所以双曲线的离心率的取值范围为．——14分