“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试 题号 一 二 三 总分 1～5 6～10 11 12 13 14 得分 评卷人 复查人 答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设，则代数式的值为().（A）24（B）25（C）（D）2．对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“△”为：（）△（）＝（）．如果对于任意实数都有（）△（）＝（），那么（）为().（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，-1）3．若，，且满足，则的值为().（A）1（B）2（C）（D）4．点分别在△的边上，相交于点，设，则与的大小关系为().（A）（B）（C）（D）不能确定5．设，则的整数部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是.7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是.8．如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点.若，则的值为.9．若的最大值为a，最小值为b，则的值为.10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.12．如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.13．如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.14．如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考一、选择题1．A解：因为，，，所以2．B解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立.由于实数的任意性，得（）=（1，0）．3．C解：由题设可知，于是，所以，故，从而．于是．4．C解：如图，连接，设，则，从而有．因为，所以．5．A解：当时，因为，所以.于是有，故的整数部分等于4．二、填空题6．3＜m≤4解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，．显然，所以≥0，即，≥0，所以，≥0，解之得3＜m≤4.7．解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是.8．6解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为因为点在双曲线上，所以．由于，又因为，于是所以即EMBEDEquation.DSMT4messyadj.凌乱的；脏的9．解：由≥0，且≥0，得≤≤．．由于，所以当时，取到最大值1，故．当或1时，取到最小值，故．所以，．10．84解：如图，设BC＝a，AC＝b，则＝1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，即，故．②由①②得，解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以．三、解答题11．解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故，或29.12．：如图，延长交⊙于点，连接.因为为⊙的直径，所以∠∠90°，故为⊙的直径.于是.又因为点为△的垂心，所以所以∥，∥，四边形为平行四边形.所以点为的中点.13．解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由得，于是，即.于是EMBEDEquation.DSMT4又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.（2）解法一设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以=，=.因为∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.解法二设直线的函数解析式为,其中.由（1）可知，∠=∠，所以.故.将代入上式，平方并整理得，即.所以或又由(1)得，.若代入上式得从而.同理，若可得从而.所以，直线的函数解析式为，或.14．解：如图，作△ABQ，使得则△ABQ∽△ACP.由于，所以相似比为2.于是．.由知，，于是．所以，从而．于是.故．（第10题）（第8题）（第12题）（第13题）（第14题）（第4题）（第8题）（第10题）（第12题）（第13题）（第14题）_1166390164.unknown_1166390165.unknown_1237316833.unknown_1237317044.unknown_1237317238.unknown_1329814532.unknown_1329814533.unknown_1329814551.unknown_1329814561.unknown_1332941635.unknown_1332943653.unknown_1332945812.unknown_1354610761.unknown_1354610762.unknown_1354613041.unknown_1354620953.unknown_1354620988.unknown_1354621267.unknown_1354621286.unknown_1354621327.unknown_1354621393.unknown_1354621675.unknown_1354621702.unknown_1354621741.unknown_1354621742.unknown_1354621743.unknown_1354627549.unknown_1354627584.unknown_1354627945.unknown_1354685476.unknown_1354685500.unknown_1354685803.unknown_1354685906.unknown_1354685907.unknown_1354690372.unknown_1354690373.unknown_1354690868.unknown_1354700899.unknown_1354700900.unknown_1354700955.unknown_1354701209.unknown_1354701245.unknown_1354701289.unknown_1354708820.unknown_1354708884.unknown_1354709101.unknown_1354709146.unknown_1354711579.unknown_1354734230.unknown_1354734281.unknown_1354734282.unknown_1354734416.unknown_1354734417.unknown_1354734617.unknown_1354792730.unknown_1354792830.unknown_1354793500.unknown_1354793517.unknown_1354793530.unknown_1354793531.unknown_1354793570.unknown_1354793571.unknown_1354793598.unknown_1354793619.unknown_1354793620.unknown_1354793621.unknown_1354793655.unknown_1354793666.unknown_1354793679.unknown_1354793691.unknown_1354793705.unknown_1354793715.unknown_1354793837.unknown_1354793866.unknown_1354794198.unknown_1354794352.unknown_1354794361.unknown_1354794447.unknown_1354794460.unknown_1354794474.unknown_1354794488.unknown_1354794500.unknown_1354794527.unknown_1354794538.unknown_1354795162.unknown_1354795163.unknown_1354795164.unknown_1354795165.unknown_1354795174.unknown_1354795175.unknown_1354795221.unknown_1354795254.unknown_1354795266.unknown_1354795277.unknown_1354795291.unknown_1354795328.unknown_1354795345.unknown_1354795346.unknown_1354795347.unknown_1354795489.unknown_1354795503.unknown_1354795520.unknown_1354795563.unknown_1354795564.unknown_1354795654.unknown_1354795673.unknown_1354795691.unknown_1354795692.unknown_1354795693.unknown_1354795705.unknown_1354795725.unknown_1354795751.unknown_1354795826.unknown_1354795841.unknown_1354795851.unknown_1354795861.unknown_1354795876.unknown_1354795888.unknown_1354795909.unknown_1354795922.unknown_1354795968.unknown_1354795969.unknown_1354795993.unknown_1354795994.unknown_1354795995.unknown_1354803946.unknown_1354804332.unknown_1354804706.unknown_1354804882.unknown_1354881249.unknown_1356069406.unknown_1356070841.unknown_1356071041.unknown_1356071062.unknown_1356071103.unknown_1356071128.unknown_1356071157.unknown_1356071170.unknown_1356071186.unknown_1356072124.unknown_1356079869.unknown_1356080338.unknown_1356080346.unknown_1356080457.unknown_1356080458.unknown_1356083381.unknown_1356083399.unknown_1356083438.unknown_1356083460.unknown_1356083542.unknown_1356083543.unknown_1356084278.unknown_1356084315.unknown_1356084316.unknown_1356084883.unknown_1356084993.unknown_1356085039.unknown_1356085067.unknown_1356085122.unknown_1356085186.unknown_1356085232.unknown_1356085361.unknown_1356807596.unknown_1356807693.unknown_1356807869.unknown_1356959000.unknown_1356959099.unknown_1356959274.unknown_1356959289.unknown_1356959554.unknown_1356961383.unknown_1356961511.unknown_1356961870.unknown_1356961884.unknown_1356961899.unknown_1356961954.unknown_1356962047.unknown_1356962078.unknown_1356962461.unknown_1356964286.unknown_1356964296.unknown_1356965086.unknown_1356965243.unknown_1356965322.unknown_1356965336.unknown_1356965337.unknown_1356965461.unknown_1356965462.unknown_1356980711.unknown_1357017240.unknown_1357021798.unknown_1357021819.unknown_1357021903.unknown_1357201196.unknown_1357201226.unknown_1357201423.unknown_1357201587.unknown_1357201642.unknown_1357201683.unknown_1357201725.unknown_1357201757.unknown_1357201926.unknown_1357202008.unknown_1357202021.unknown_1357202028.unknown_1357204051.unknown_1357204066.unknown_1357204082.unknown_1357204139.unknown_1357204641.unknown_1357205604.unknown_1357206193.unknown_1357539109.unknown_1357556073.unknown_1357556147.unknown_1357556319.unknown_1357556341.unknown_1357556406.unknown_1357556441.unknown_1357557241.unknown_1357557473.unknown_1357557508.unknown_1357563135.unknown_1357563335.unknown_1357563469.unknown_1357563495.unknown_1357563511.unknown_1357563525.unknown_1357563559.unknown_1357563576.unknown_1357563605.unknown_1357563614.unknown_1357563653.unknown_1359394125.unknown_1359395077.unknown_1359396463.unknown_1359396786.unknown_1359396813.unknown_1359397006.unknown_1359397012.unknown_1359397055.unknown_1359397098.unknown_1359397152.unknown_1359397202.unknown_1359397259.unknown_1359397304.unknown_1359397330.unknown_1359397674.unknown_1359397805.unknown_1359397818.unknown_1359397846.unknown_1359397971.unknown_1359397997.unknown_1359398016.unknown_1359398144.unknown_1359398157.unknown_1359398199.unknown_1359398210.unknown_1359398217.unknown_1359398243.unknown_1359398260.unknown_1359398333.unknown_1359398411.unknown_1359398828.unknown_1359467585.unknown_1359531116.unknown_1359531158.unknown_1359531265.unknown_1359531764.unknown_1359531811.unknown_1359532076.unknown_1359532174.unknown_1359532557.unknown_1359532786.unknown_1359532816.unknown_1359532851.unknown_1359888545.unknown_1359888573.unknown_1359889131.unknown_1359889151.unknown_1359889205.unknown_1359889246.unknown_1359889629.unknown_1359889648.unknown_1359889658.unknown_1359889891.unknown_1359889917.unknown_1359889955.unknown_1359890273.unknown_1359890290.unknown_1359890343.unknown_1359890357.unknown_1359890429.unknown_1359890438.unknown_1359890714.unknown