小学三年级下册数学讲义第八章数学广角-搭配(二)人教新课标版(含解析)

人教版小学三年级数学同步复习与测试讲义第八章数学广角-搭配（二）【知识点归纳总结】简单的排列、组合1．排列组合的概念：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序．组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序．排列组合的中心问是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数．2．解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理与分步计数原理．（1）分类计数原理（也称加法原理）：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事．那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数．如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法．（2）分步计数原理（也称乘法原理）：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数．如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3×2=6种不同的走法．【典型例题】例1：有4支足球队，每两支球队打一场比赛，一共要比赛（）A、4场B、6场C、8场分析：两两之间比赛，每只球队就要打3场比赛，一共要打4×3场比赛，这样每场比赛就被算了2次，所以再除以2就是全部的比赛场次．解：4×3÷2，=12÷2，=6（场）；故选：B．点评：甲与乙比赛和乙与甲的比赛是同一场比赛，所以要再除以2．例2：小华从学校到少年宫有2条路线，从少年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有（）条路线可以走．A、3B、4C、5D、6分析：小华从学校到公园分两个步骤完成，第一步小华从学校到少年宫有2条路线即有两种方法，第二步从少年宫到公园有3条路线即有3种方法，根据乘法原理，即可得解．解：2×3=6，答：小华从学校到少年宫有2条路线，从小年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有6条路线可以走；故选：D．点评：此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理．【同步测试】单元同步测一．选择题（共10小题）1．从A点到C点共有（）种走法．A．3B．4C．22．4个同学照相，每两人照一张，一共照了（）张．A．4B．5C．6D．73．3只小动物排队，一共有（）种排法．A．3B．6C．94．学习小组有6人，若从中挑选3人去参加一项体验活动，则共计有（）种选择方法．A．12B．15C．18D．205．算盘的一个上珠示5，一个下珠表示1（如图），现在用1个上珠和2个下珠，一共可以表示出（）种不同的三位数A．6B．12C．216．由两个8和两个6可以组成（）个不同四位数．A．8B．7C．67．8位老朋友聚会，每两人之间握一次手，一共握了（）次手．A．16B．24C．28D．408．用2，4，7这三个数字，一共可以组成（）个最简分数，【分子、分母每次分别只能使用一个数字】A．4B．6C．5D．39．用4、0、5三张数字卡片可以组成（）个不同的三位数．A．4B．5C．610．今年“国庆七日长假”，陆老师想参加“千岛湖双日游”，哪两天去呢，陆老师共有多少种不同的选择？（）A．5种B．6种C．4种二．填空题（共8小题）11．由1、2、3这三个数字能组成的三位数一共有个，它们的和是．12．用三张卡片，一共能组成个三位数，其中最大的数是．13．盒子里有除颜色外其他都相同的6个红色的小球和4个蓝色的小球，从中任意摸出一个小球，有种可能；从中任意摸出两个小球，有种可能．14．用0、1、3、5、7、9最多可组成个不同的六位数，最大的是，最小的是．15．有三把锁和三把钥匙，现在用三把钥匙去打开三把锁，最多要试次．16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄种植方法有种．17．六年级4个班之间将举行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要进行场比赛．18．有一楼梯共12级，如规定每次只能跨上一级或两级，要登上第12级，共有不同的走法．三．判断题（共5小题）19．用0、1、5、9四个数字组成的四位数中，最小的是1059．．（判断对错）20．用3、0、5可以组成6个不同的两位数（判断对错）21．用数字1、6、0、8、4组成的一个最大的五位数是86410．．（判断对错）22．用0、1、2能组成4个没有重复的两位数．．（判断对错）23．用2、5、0、9这四个数字所能够组成的三位数和四位数的个数一样多，都是18个．（判断对错）四．应用题（共4小题）24．用1、2、3这三个数字中的两个或三个，你能写出哪些小数部分只有一位的小数？25．用4、0、7这三个数字和小数点可以组成多少个小于1的两位小数？如果组成大于4的两位小数呢？（把能够组成的小数依次写下来）26．学校举行乒乓球单打比赛，参赛者有7个同学，每个同学都要与其他同学比赛场，请问一共要比赛多少场？27．用0、1、5、8这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1850是第几个？五．解答题（共2小题）28．想一想，试一试．用2、0、3、5、8这五张数字卡片组成最大的五位数和最小的五位数，然后用计算器算一算他们的差与和各是多少？29．三人想代表我们三年1班，进行“一带一”的跳绳比赛，这三个人有种组合．请在上面的图上连一连．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】从A点开始到C点结束，共有两条路可走：A→B→C，A→D→C，据此解答即可．【解答】解：从A点到C点共有2种走法：A→B→C，A→D→C．故选：C．【点评】本题关键是明确行走路线中各点的顺序．2．【分析】先不考虑重复的情况，每两人照一张，每个人要和其他3人照3次，一共照了3×4＝12张；由于每个人重复多算了1次，所以实际上一共照了（12÷2＝6）张．【解答】解：根据题意可得：3×4÷2，＝6（张）；答：一共照了6张．故选：C．【点评】本题考查了组合知识，要注意不能重复计数，关键要理解：在不考虑重复的情况每个人要和其他3人照3次．3．【分析】每种小动物排在第一名都有2种排法，那么3个小动物排队，一共有（2×3）种排法．【解答】解：假设是甲、乙、丙3只小动物排队，就有以下排法：甲，乙，丙；所以一共的排法是：3×2＝6（种）．故选：B．【点评】本题考查了排列知识，要注意排列的顺序，关键要理解每种小动物排在第一名都有2种排法．4．【分析】从6个中先选1个，有6种选法；再从剩余5个中再选1个，有5种选法；再从剩余4个中选1个，有4种选法；总选法有6×5×4＝120种，重复的次数：3个人可以排列出3×2＝6种可能，相除即可得到答案．【解答】解：从6个中先选1个，有6种选法；再从剩余5个中再选1个，有5种选法；再从剩余4个中选1个，有4种选法；总选法：6×5×4＝120（种）重复的次数：3个人可以排列出3×2＝6（种）120÷6＝20（种）故选：D．【点评】这道题中先计算出6个人中选出3个人进行有顺序的排列，得到120种，再计算出重复计算的次数，相除即可得到答案．5．【分析】此题可以分类列举，可以分为：①1个上珠在百位，2个下珠都在十位、2个下珠都在个位、1个下珠在十位，1个在个位，共3种情况；②1个上珠和1个下珠在百位，1个下珠在个位、1个下珠在十位，共2种情况；③1个上珠和2个下珠都在百位，只有1中情况；④1个下珠在百位，1个上珠与1个下珠在十位、1个上珠与1个下珠在个位、1个上珠在十位与1个下珠在个位、1个下珠在十位与1个上珠在个位，共4种情况；⑤2个下珠在百位，1个上珠在十位、1个上珠在个位，共2种情况；然后再把这5类三位数的个数加起来即可．【解答】解：根据分析可得：①520，502，511；②601，610；③700；④160，106，151，115；⑤250，205；一个可以表示：3+2+1+4+2＝12（种）．故选：B．【点评】此题考查了有关简单的排列、组合的知识，对于这类问题，应注意恰当分类．6．【分析】写出用8、8、6、6组成的不同四位数，进而求出个数．【解答】解：用8、8、6、6组成的不同四位数有：8866，8686，8668；6886，6868，6688；一共是6个．故选：C．【点评】列举四位数时，要注意按照一定顺序写，做到不重复、不漏写．7．【分析】每个人都要和其他所有人握手，所以8×（8﹣1）＝56（次），这样重复算了一次，再除以2即可．【解答】解：每个人都要和其他所有人握手，所以8×（8﹣1）＝56（次）56÷2＝28（次）故选：C．【点评】在这道题中，先计算出每个人和其他人握手，再求和，这样就出现了重复计算，一定要除以2，才能得到正确答案．8．【分析】从3个数中任取一个作分子，再从剩下2个中任取1个作分母，可以取2次，每次组成（3﹣1）个分数，由于和不是最简分数，所以先计算出组成分数的个数，再减去不是最简分数的分数个数即可．【解答】解：组成的分数的个数：3×（3﹣1）＝3×2＝6（个）由于和不是最简分数，所以一共可以组成6﹣2＝4个最简分数．答：一共可以组成4个最简分数．故选：A．【点评】解答此题要注意组成的分数中有两个不是最简分数．9．【分析】根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成两类：1、百位上是4时，能组成哪些三位数；2、百位上是5时，能组成哪些三位数．【解答】解：1、百位上是4时，组成的数有：450、405；2、百位上是3时，组成的数有：504，540．共有4个．答：一共可以组4个不同的三位数．故选：A．【点评】此题考查了有关简单的排列知识，对于这类问题，注意分类思想的运用，做到不重复不遗漏．10．【分析】度假的这两天是相邻的两天，只要不把第一天放在10月7日（最后一天）即可．【解答】解：陆老师可以选择以下的两天去旅游：10月1日和10月2日；10月2日和10月3日；10月3日和0月4日；10月4日和10月5日；10月5日和10月6日；10月6日和10月7日．共6种选择．故选：B．【点评】本题只要理解这两天是相邻的两天，问题不难解决．二．填空题（共8小题）11．【分析】（1）求能组成的三位数共有几个，分下列几种情况：①“1”在首位；②“2”在首位；③“3”在首位；（2）求和，把求出的这几个数加起来即可．【解答】解：（1）①“1”在首位：123，132；②“2”在首位：213，231；③“3”在首位：312，321；因此，共有6个；（2）123+132+213+231+312+321，＝（100+200+300）×2+（23+32+13+31+12+21），＝1200+132，＝1332．故答案为：6，1332．【点评】此题考查了数的组成以及简单的排列组合知识．如果有4个数字，能组成三位数的个数，可以这样计算：4×3×2×1；如果有n个数字，能组成三位数的个数，也可以用简便的算法求出．12．【分析】写出这个样的三位数全部可能，进而求解；要求最大的三位数，就要把所给的数字从高位到低位按从大到小的顺序排列，即530；据此解答．【解答】解：用3、0、5组成的三位数有：305、350、530、503，共有4个；最大的三位数是530．故答案为：4，530．【点评】解答此题应注意“0”不能放在首位的情况．13．【分析】盒子里有除颜色外其他都相同的6个红色的小球和4个蓝色的小球，从中任意摸出一个小球，有2种可能，要么是红球，要么是篮球；从中任意摸出两个小球，有3种可能，1红1篮，两红，两篮；由此解答即可．【解答】解：盒子里有除颜色外其他都相同的6个红色的小球和4个蓝色的小球，从中任意摸出一个小球，有2种可能；从中任意摸出两个小球，有3种可能．故答案为：2，3．【点评】此题考查了简单的排列组合，根据题意进行列举，运用列举法，是解答此题的关键．14．【分析】根据题意，用六个不同的自然数最多可以组成的六位数的个数为：6×5×4×3×2×1＝720（个），但是，这组数中有0，0不能放在最高位，所以要去掉：5×4×3×2×1＝120（个），所以组成六位数的个数为：720﹣120＝600（个）．要想使这个六位数大，较大的数字应该在高位，所以是：975310；要想使这个六位数小，较小的数字应该在高位，但是0不能在最高位，所以是103579．【解答】解：6×5×4×3×2×1﹣5×4×3×2×1＝720﹣120＝600（个）最大是：975310，最小是：103579．故答案为：600；975310；103579．【点评】本题主要考查简单的排列组合，关键利用乘法原理计算．15．【分析】从最坏的情况考虑：每次都到试到最后一把锁才打开，则拿3把钥匙开第一把锁，至少要试3次，进一步用剩下的2把钥匙开第二把锁，至少要试2次，最后一把只需1次就可打开，由此解决问题．【解答】解：3+2+1＝6（次）．答：最多要试6次．故答案为：6．【点评】解决此题的关键在于要考虑最坏的结果，用运用类推的方法解答问题．16．【分析】如下图所示，满足条件的情况有6种可能，当A或B种在第一垄，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则B或A有3种可能，即种在第八或第九或第十垄；当A或B种在第二垄，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则B或A有2种可能，即种在第九或第十垄；当A或B种在第一垄，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则B或A有1种可能，即种在第十垄；因此得解．【解答】解：（3+2+1）×2＝6×2＝12（种）；答：则不同的选垄种植方法有12种．故答案为：12．【点评】此题考查了简单的排列、组合．分类完成工作，每一类中的方法可以独立完成工作，用加法．17．【分析】由于采用单循环制进行比赛，所以每个班都要和其它三个班赛一场，即进行3场比赛；四个班一共要有3×4＝12场比赛，又因为每两个班重复计算了一次，所以实际全年级一共要进行了12÷2＝6场比赛．【解答】解：3×4÷2，＝12÷2，＝6（场）；答：全年级一共要进行6场比赛．故答案为：6．【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法，第一类中又有M1种方法，第二类中又有M2种方法，…，第n类中又有Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+…+Mn种方法．18．【分析】从最简单的1级开始分析，逐一到2级、3级…找出规律解决问题．【解答】解：1级：1种；2级：2种；（走1级或走2级）3级：3种；（全走1级，走1+2或2+1）4级：5种；（全走1级，2+1+1，1+2+1，1+1+2，2+2）5级：8种；（全走1级，2+1+1+1，1+2+1+1，1+1+2+1，1+1+1+2，2+2+1，2+1+2，1+2+2）…【兔子数列】1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233．答：共有233种不同的走法．【点评】此题考查了简单的排列、组合，认真分析题意，得出结论．三．判断题（共5小题）19．【分析】要想组成的数最小，要把数按照从小到大的顺序从高位到低位排下来，但是最高位不能是零．【解答】解：用0、1、5、9组成四位数，如果组成的四位数最小，那么0不能在千位上，最小的数只能填上1，然后从小到大的把其它三个数字写出来组成的四位数就是最小的，所以最小的数是1059．故答案为：√．【点评】此题主要考查整数的组成，求组成的最小的数，该数从最高位到最低位，数字选择由小到大，但最高位上的数字不能为0．20．【分析】用3、0、5可以组成不同的两位数，由于最高位不能为0，所以十位数只能是3或5，运用穷举法写出所有的可能，再判断．【解答】解：用3、0、5三个数能组成的两位数有30、35、50、53，共有4个．所以题干说法错误．故答案为：×．【点评】本题是简单的排列问题，注意0不能放在最高位十位上．21．【分析】要使用数字1、6、0、8、4组成的五位数最大，则最高位上是五个数字中的最大数8，其余的数位上的数分别是6、4、1、0．【解答】解：因为用数字1、6、0、8、4组成的一个最大的五位数是86410，所以题中说法正确．故答案为：√．【点评】此题主要考查了简单的排列、组合问题，以及整数的组成，要熟练掌握．22．【分析】运用穷举法写出所有的可能，注意不能重复和遗漏．【解答】解：用0、1、2能组成的没有重复数字的两位数有：10，12，20，21；一共是4个．原题说法正确．故答案为：√．【点评】本题是简单的排列问题，注意0不能放在最高位十位上．23．【分析】用2、5、0、9这四个数字所能够组成的三位数：先排百位，因为0不能放在百位上，所以有3种排法；再排十位，有3种排法；再排个位，有2种排法；共有3×3×2＝18种；用2、5、0、9这四个数字所能够组成的四位数先排千位，因为0不能放在千位上，所以有3种排法；再排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有3×3×2×1＝18种排法，即有18个不同的四位数．据此解答．【解答】解：根据分析可得，用2、5、0、9这四个数字所能够组成的三位数和四位数的个数都是：3×3×2＝18（种）3×3×2×1＝18（种）所以用2、5、0、9这四个数字所能够组成的三位数和四位数的个数一样多，都是18个说法正确．故答案为：√．【点评】本题考查了复杂的乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．四．应用题（共4小题）24．【分析】用1、2、3这三个数字中的两个或三个组成小数部分只有一位的小数，可以分取2个数字、3个数字来组数，分别列举出所有能组成的一位小数即可．【解答】解：取2个数字可以组成：1.2、2.1、1.3、3.1、2.3、3.2，取3个数字可以组成：12.3、21.3、23.1、32.1、13.2、31.2．【点评】此题考查了简单的排列组合，注意按一定的顺序列举，不要遗漏．25．【分析】用4、0、7这三个数字和小数点可以组成小于1的两位小数，则个位上只能是0，可以组成0.47、0.74，如果组成大于4的两位小数，则个位上只能是4，可以组成4.07、4.70，据此解答．【解答】解：用4、0、7这三个数字和小数点可以组成小于1的两位小数是0.47、0.74，如果组成大于4的两位小数，可以组成4.07、4.70．【点评】解答此题关键是确定个位数，注意是组成两位小数．26．【分析】由于每两名运动员之间都要进行一场比赛，也就是每个人都要和另外的（7﹣1）个人进行一场比赛，一共要进行7×6＝42（场），但是每两个人之间重复计数了一次，所以实际一共要进行42÷2＝21（场）比赛．据此解答．【解答】解：7×（7﹣1）÷2＝7×6÷2＝42÷2＝21（场），答：一共要比赛21场．【点评】本题先从一个人进行的比赛场次入手易于寻找答案，再在每个人进行的比赛场次都相同的基础上，去掉重复计数的情况，即可解答．27．【分析】先排千位，因为0不能放在千位上，所以有3种排法；再排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有3×3×2×1＝18种；先看比1850小的数有多少个，千位只能是1，百位为0时，有2个；百位为5时，有2个；百位为8时，有1个，共2+2+1＝5个，所以1850是第6个．【解答】解：根据分析可得，3×3×2×1＝18（种），可以组成18个不同的四位数由分析可得比1850小的数有2+2+1＝5个，所以从小到大排列，1850是第6个．【点评】本题考查了复杂的乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．五．解答题（共2小题）28．【分析】要想组成的数最大，要把数按照从大到小的顺序从高位到低位排下来；要想组成的数最小，要把数按照从小到大的顺序从高位到低位排下来，但是零不能放在最高位．然后再求他们的差与和即可．【解答】解：用2、0、3、5、8五个数字卡片组成最大的五位数是：85320，最小的五位数是：20358；85320﹣20358＝6496285320+20358＝105678答：最大的五位数是85320，最小的五位数是20358；他们的差是64962，和是105678．【点评】要求最大的几位数，从给出数字中，数字大的在最高位，从左向右以此类推即可；要求最小的几位数，从给出数字中，数字小的在最高位，从左向右以此类推即可，注意最高位上不能是0．29．【分析】每两个进行重新组合，可看作是两两握手，每个人都要和另外的2个人组合一次，3个人共组合3×2＝6次，去掉重复的情况，实际只组合了6÷2＝3种，据此解答．【解答】解：（3﹣1）×3÷2＝6÷2＝3（种）；答：一共有3种组合方法．故答案为：3．【点评】本题是典型的握手问题，如果数目比较少，可以用枚举法解答；如果数目比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答．