概率论与随机过程习题集北邮研一专硕

习22.1设随机过程为常数，V服从正态分布的随机变量，求的一维概率密度、均值和相关函数。()()0,XtVtbtb=+∈∞，，))(0,1N()Xt解：由，则：(0,1VN∼()()01EVDV==，则的均值函数为：()Xt()()()EXtEVtbtEVbb=+=+=⎡⎤⎣⎦()Xt的相关函数为：()()()()()()221212121111,X2RttEXtXtEvtbvtbttEvbttb==++=+=⎡⎤⎣⎦+()Xt的一维概率密度为：()()ttFxfxx∂=∂，而函数()0,xVtbt=+∈∞在单调则：()()()()1tttFxFxvfxfxvxt∂∂∂===∂∂∂iv又：V服从正态分布()0,1N，则：()2212vfveπ−=所以：()()()2222211122xbvttfxfveextttππ−−−===∈，R-end-2.2设随机变量Y具有概率密度()fy，令：()()0,0YtXtetY−=>>，求随机过程的一维概率密度及()Xt()()12,XEXtRtt，。解：由()()0,0YtXtetY−=>>，则的均值函数为：()Xt()()0YtytEXtEeefydy=∞−−⎡⎤==⎣⎦∫()Xt的相关函数为：()()()()()121212120,yttYtYtXRttEXtXtEeeefydy=∞−+−−⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫()Xt的一维概率密度为：()()()()(11ln0tttFxFyytfxfyftxyxtxtxt∂∂∂⎛⎞====−>⎜⎟∂∂∂⎝⎠i)-end-2.3若从开始每隔0t=12秒抛掷一枚均匀的硬币作实验，定义随机过程：()()cos2tXttπ⎧=⎨⎩，，t时刻分别抛得正、反面试求：（1）的一维分布函数()Xt(1;12);FxFx⎛⎞⎜⎟⎝⎠，；（2）的二维分布函数()Xt121,1;,2Fxx⎛⎞⎜⎟⎝⎠；（3）的均值()Xt()()()()2211XXXXmtmtσσ，，方差，。解：（1）当12t=时，12X⎛⎞⎜⎟⎝⎠的分布列110122PXPX⎧⎫⎧⎫⎛⎞⎛⎞12===⎨⎬⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎩⎭⎩⎭=则分布函数：120011;02211xFxPXxxx<⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎞⎛⎞1=≤=≤<⎨⎬⎨⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎩⎭⎪≥⎪⎩，，　，同理：当时，的分布列1t=()1X(){}(){}111122PXPX=−===则分布函数：()(){}12011;11212xFxPXxxx<−⎧⎪⎪=≤=−≤⎨⎪≥⎪⎩，，　，<（2）由于在不同时刻抛掷硬币是相互独立的，则在12t=，1t=的联合分布列为：()()110,110,1222PXXPXX⎧⎫⎧⎛⎞⎛⎞==−===⎨⎬⎨⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎩⎭⎩⎫⎬⎭()()111,111,1222PXXPXX⎧⎫⎧⎛⎞⎛⎞===−===⎨⎬⎨⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎩⎭⎩14⎫=⎬⎭则二维分布函数121,1;,2Fxx⎛⎞⎜⎝⎠⎟分布函数：2124121212412100121,1;,20121121xxxxFxxxxxxxx<<⎧⎪⎪≤<≤<⎪⎛⎞=⎨⎜⎟⎝⎠≤<≥≥≤<⎪⎪≥≥⎪⎩１１１０或－，且－1，且或且－1，且，2（3）离散型随机过程的均值函数为：()()()111cos2cos2222Xmtttttππ=+=⎡⎤⎣⎦ii+则：()111cos2122Xmπ⎡⎤⎛⎞=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦ii12=()()()()()()()22222221111cos2cos2cos12222XXtEXtmttttttσπππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−=+−+=−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ii方差则：()22111cos124Xσπ⎡⎡⎤⎛⎞=−⎢⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎣⎦i方差94⎤=⎥-end-2.4设有随机过程()()()cossinXtAtBtωω=+，其中ω为常数，,AB是相互独立且服从正态(20,N)σ的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解：由于(2,0,ABN)σ∼，则()()()()20EAEBDADBσ====，则：()()()()()()()()cossincossin0XmtEXtEAtBttEAtEBωωωω==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()Xt的相关函数为：()()()()()()(12121122,cossincossinX)RttEXtXtEAtBtAtBtωωωω==++⎡⎤⎡⎤⎡⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎦由于,AB是相互独立则均值函数为：()()()()()()()(22212121212,coscossinsincosX)RttttEAttEAttωωωωσω=+=−-end-2.5已知随机过程的均值函数()Xt()Xmt和协方差函数()(12,XBtttϕ，)为普通函数，令：，求随机过程()()()YtXttϕ=+()Yt的均值和协方差函数。解：由，()()()YtXttϕ=+ϕ(t)为普通函数则随机过程()Yt的均值函数为：()()()()()YXmtEYtEXttmttϕϕ==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()协方差函数()()()()()121122,YYYBttEYtmtYtmt=−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()11221,XX2XEXtmtXtmtBtt=−−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦　-end-2.6设随机过程，其中()()sinXtAtω=+ΘAω，为常数，Θ是在(),ππ−上均匀分布的随机变量，令，求()()2YtXt=()(),,YXYRttRttττ++和。解：()()()()()22,YRttEYtYtEXtXtτττ⎡⎤+=+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()(2222422,sinsinsinsinYRttEAtAtAEttτωωωτωωωτ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡)⎤∴+=+Θ++Θ=+Θ++Θ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣()()22sinsinttωωωτ⎡⎤⎡⎤+Θ++Θ⎣⎦⎣⎦而：4⎦)τ⎤⎦()(1cos221cos222ttωωω=−+Θ−++Θ⎡⎤⎡⎣⎦⎣i()()()()1cos22cos222cos22cos222ttttωωωτωωωτ=−+Θ−++Θ++Θ++Θ()()()()111cos22cos222cos424cos222tttωωωτωωτωτ=−+Θ−++Θ+++Θ+()()()422,sinsinYRttAEttτωωωτ⎡⎤⎡⎤∴+=+Θ++Θ⎣⎦⎣⎦()()()()4111cos22cos222cos424cos222AEtttωωωτωωτωτ⎡⎤=−+Θ−++Θ+++Θ+⎢⎥⎣⎦()()1cos22cos2202Ettdππωωθπ−+Θ=+=⎡⎤⎣⎦∫而：θ同理：()()1cos222cos22202Ettdππωωτωωτθθπ−++Θ=++=⎡⎤⎣⎦∫则：()()()()()411,1cos22cos222cos424cos222YRttAEtttτωωωτωωτ⎡⎤+=−+Θ−++Θ+++Θ+⎢⎥⎣⎦ωτ()()4411111cos21cos24242AEAωτω⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦τ而：()()(),XYRttEXtYtττ+=+⎡⎤⎣⎦()()22sinsinEAtAtωωω⎡⎤=+Θ+⎡⎤⎣⎦⎣⎦τ+Θ()()()()32321sinsinsinsin02AEttAttdππωωωτωθωωτθπ−⎡⎤=+Θ++Θ=+++⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫θ=-end-2.7设随机过程，其中()2XtXYtZt=++XYZ、、是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程()Xt的协方差函数。解：由于()()()()()()01EXEYEZDXDYDZ=====，=则()Xt的均值函数为：()()()()()()220XmtEXtEXYtZtEXtEYtEZ==++=++⎡⎤⎣⎦=所以()Xt的协方差函数为：()()()()()()221212121122,,XXBttRttEXtXtEXYtZtXYtZt===++++⎡⎤⎣⎦()()()2222212121212122EXttEYttEZtttt=++=++-end-2.8设()Xt为实随机过程，x为任意实数，令：()()()10XtxYtXtx≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，证明随机过程()Yt的均值函数和相关函数分别为()Xt的一维和二维分布函数。证明：()Yt的均值函数为：()()(){}(){}(){}()10YXmtEYtPXtxPXtxPXtxFx==≤+>=≤=⎡⎤⎣⎦ii()Yt的相关函数为：()()()1212,YRttEYtYt=⎡⎤⎣⎦()(){}()(){}12121110PXtxXtxPXtxXtx=≤≤+≤iiii，，>()(){}()(){}12120100PXtxXtxPXtxXtx+>≤+>iiii，，>()(){}()(){}()1212111,XPXtxXtxPXtxXtxFxx=≤≤=≤≤=ii，，2-end-2.9设()ft是一个周期为T的周期函数，随机变量Y在(]0,T上均匀分布，令()()XtftY=−，求证随机过程()Xt满足：()()()()01TEXtXtftftdtTττ+=+⎡⎤⎣⎦∫。证明：()()()()()()01TEXtXtEftYftYftyftydyTττ+=−−+=−−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫τ()()()()()()11tTtttTtysEXtXtfsfsdsfsfsdsTTττ−−−=+=−+=+⎡⎤⎣⎦∫∫令，有：τ由于()ft是一个周期为T的周期函数，则：()()()()()()0011TTEXtXtfsfsdsftftdtTTττ+=+=+⎡⎤⎣⎦∫∫τ-end-2.10设随机过程()Xt的协方差函数为()12,XBtt，方差函数为()2Xtσ，试证：（1）()()()1212,XXXBttttσσ≤；（2）()()()2212121,2XXXBttttσσ⎡⎤≤+⎣⎦证明：（1）根据定义，有：()()()()()121122,XXXBttEXtmtXtmt=−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦根据Schwarz不等式，有：()()()()()()()()()()1222112211221XXXXX2XEXtmtXtmtEXtmtEXtmtttσσ⎡⎤−−≤−−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦i（2）有（1）的结论，有：()()()1212,XXXBttttσσ≤而对任意的,xyR∈，均有：()2212xyxy≤+则：()()()()()221212121,2XXXXXBttttttσσσσ⎡≤≤+⎣⎤⎦-end-2.11设随机过程()Xt和()Yt的互协方差函数为()12,XYBtt，试证：()()()1212,XYXYBttttσσ≤证明：根据定义，有：()()()()()121122,XYXYBttEXtmtYtmt=−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦根据Schwarz不等式，有：()()()()()()()()()()1222112211221XYXYX2YEXtmtYtmtEXtmtEYtmtttσσ⎡⎤−−≤−−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦i-end-2.12设随机过程，其中()(1kNitkkXtAeω+Φ==∑)ω为常数，为第k个信号的随机振幅，kAkΦ是在(0,2)π上均匀分布的随机相位，所以随机变量()1,2,kkAkΦ="，N以及它们之间都是相互独立的，求的均值和协方差函数。()Xt解：先求的均值函数：()Xt()()()11kkNNititkkkkEXtEAeEAeωω+Φ+Φ==⎡⎤⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑因(1,2,kk)AkΦ="，N之间相互独立，则：()[]()1kNitkkEXtEAEeω+Φ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑而：(0,2kU)πΦ∼，则：()()20102kkititEeedπωωϕϕπ+Φ+⎡⎤==⎣⎦∫所以：()[]()10kNitkkEXtEAEeω+Φ=⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑()Xt的协方差函数()()()()121212,,XXBttRttEXtXt⎡⎤==⎣⎦()()()(){}()12211111kjjkNNNNittititkjkjkjkjEAeEAeEeEAAωωω⎡⎤−+Φ−Φ+Φ+Φ⎣⎦====⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑当时，相互独立，则：k≠jjkΦΦ与()(){}()12120kjjkittiittiEeeEeEeωω⎡⎤−+Φ−Φ−Φ−Φ⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦当时，k=j()(){}()1212kjittittEeeωω⎡⎤−+Φ−Φ−⎣⎦=则的协方差函数()Xt()()()122121,NittXkkBtteEAω−==∑-end-2.13设(){}0Xtt≥，是实正交增量过程，()00X=，VV是正态随机变量，若对任意的相互独立，令()0tXt≥，与()()YtXtV=+，求随机过程(){}0Ytt≥，的协方差函数。解：因(){}0Xtt≥，是实正交增量过程，则：()Xt的零均值的二阶矩过程。又V是标准正态随机变量，则：()()01EVDV==，，则()()()0EYtEXtEV=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由因为任意的相互独立，则：()0tXt≥，与V()()()()()()12121212,,YYBttRttEYtYtEXtVXtV===++⎡⎤⎡⎤⎡⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎦()()()()()()()()2212121212,,XXXXXRttmtEVmtEVEVRttttσ=+++=+=1min,1+jX-end-2.14设随机过程，其中1nnjY==∑()1,2,jXjn="是相互独立的随机变量，且：()()101jjPXpPXpq====−=，，求()1,2,nYn="的均值和协方差函数。解：的均值函数为：(1,2,nYn=")()()()11110nnnnjjjjjEYEXEXpqn===⎛⎞p===+⎜⎟⎝⎠∑∑∑ii=而：，则的协方差函数为：()2ijijpEXXijp≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，(1,2,nYn=")()()21111,nmnmYjkjkjkjkBnmEXnpXmpEXXmnp====⎡⎤⎡⎤=−−=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑当时，mn≤()()()()2211nmjkjkjkjkjkjkEXXEXXEXXmpmnmpmpqmnp===≠=+=+−=+∑∑∑∑同理当时，mn>()()()()2211nmjkjkjkjkjkjkEXXEXXEXXnpmnnpnpqmnp===≠=+=+−=+∑∑∑∑则：()()()211,mnmYjkjkin,BnmEXXmnpmnpq===−=∑∑-end-2.15设Y是独立同分布随机变量，Z，()()1112PYPY===−=，()()()cossinXtYtZtθθ=+，t−∞<<∞，其中θ为常数，证明随机过程(){}Xtt−∞<<∞，是广义平稳过程，但不是严平稳过程。证明：由于随机过程(){}Xtt−∞<<∞，的均值函数为：()()()()()()()()cossincossin0XmtEXtEYtZttEYtEZθθθθ==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=相关函数为：()()()()()()(12121122,cossincossinX)RttEXtXtEYtZtYtZtθθθθ==++⎡⎤⎡⎤⎡⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎦而Y是独立同分布随机变量，则：Z，()()0EYEZ==，()()221EYEZ==，则：()()()()()()()()2212121212,coscossinsincosXRttttEYttEZttθθθθθ=+=−且()()2,1XEXtRtt⎡⎤==⎣⎦则随机过程(){}Xtt−∞<<∞，是广义平稳过程。下面证明(){}Xtt−∞<<∞，不是严平稳过程，采用反证法：假设(){}Xtt−∞<<∞，是严平稳过程，则：()()12;;FtxFtx=特别地，有：()0;1;14FFπθ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟，下面分别计算这两个值，有：()(){}{}0;10111FPXPY=≤=≤=而{};11cossin124444FPXPYZPYZππππθ⎧⎫⎛⎞⎛⎞⎧⎫=≤=+≤=+≤⎨⎬⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎩⎭⎩⎭{}{}{}31111114PYZPYZPYZ===−+=−=+=−=−=，，，显然：()0;1;14FFπθ⎛⎞≠⎜⎝⎠⎟与假设矛盾，则(){}Xtt−∞<<∞，不是严平稳过程。-end-2.16设(){}Wtt−∞<<∞，是参数为2σ的维纳过程，令()()20ttXteWetααα−=−∞<<∞>，，为常数，证明(){}Xtt−∞<<∞，是平稳正态过程，相关函数()2XReαττσ−=。证明：因(){}Wtt−∞<<∞，是参数为2σ的维纳过程，有：()()20,WtNtσ∼，则：()(220,ttWeNeαασ∼)2，且()0EXtt=−∞<<∞⎡⎤⎣⎦，()Xt的相关函数为：()()()()()()()()1212121222221212,ttttttttXRttEXtXteeEWeWeeEWeWeααααααα−+−−⎡⎤⎡===⎡⎤⎣⎦⎤⎣⎦⎣⎦而：()()()()()()()121212222220tttttEWeWeEWeWWeWeWeαααααα⎡⎤⎡⎤⎡=−−+⎣⎦⎣⎦⎣1t⎤⎦因是独立增量过程，则()Wt()()()()()1212222100tttEWeWWeWettααα⎡⎤⎡⎤−−=⎣⎦⎣⎦≥则()()()()()()()(){}12121122221212,ttttttXRttEXtXteEWeeDWeEWeαααα−+−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12tα()()()1221122221ttttteeetααασσ−+−−==t≥同理可得：()()(1221212,ttX)Rttettασ−−=≥，则(){}Xtt−∞<<∞，是平稳正态过程。综上所述，有相关函数：()()122212,ttXXRtteReαατστ−−−==，即σ-end-2.17设(){}0Xtt≥，是维纳过程，()0X0=，试求它的有限维概率密度函数族。解：由维纳过程的定义，有：()()20,XtNtσ∼则对任意的，有：120nntt<<<<"及t()()20,12iiXtNtiσ=∼"，，，n又因为维纳过程是齐次的独立增量过程，则()()()()12,,nXtXtXt"的联合分布与()()()()()()()1210,,nnXtXXtXtXtXt−−−−"1相同。再由其独立增量性，知()()()()()()()1210,,nnXtXXtXtXtXt−−−−"1服从联合正态分布，则的概率密度为：()()()()12,,nXtXtXt"()22112211122121211111,,,;,,,22kkkkxxxntttXnnkkkftttxxxeetttσσππ++−−−−−=+=−∏""-end-习题33.1设()1Xt和是分别具有参数()2Xt12λλ和的相互独立的泊松过程，证明：（1）是具有参数()()()12YtXtXt=+12λλ+的泊松过程；（2）()()()12ZtXtXt=−不是泊松过程。证明：因为()()()()112XtXt2πλπ∼∼，λ（1）根据泊松过程的定义，下面对随机过程()()()12YtXtXt=+一一验证其满足：()()()121000YXX=+=D　041232tttt<≤<D　取，说明()Yt为独立增量过程因为：()()()()112XtXt2πλπ∼∼，λ，则：()()()()()()()()1211141322212423XtXtXtXtXtXtXtXt−−−−与，与相互独立另外，相互独立，则：()()12XtXt与()()()()()()()()1211242322211413XtXtXtXtXtXtXtXt−−−−与，与相互独立则：()()()()()()()()121112122222YtYtXtXtXtXt−=−−+与()()()()()()()()141314132423YtYtXtXtXtXt−=−−+相互独立则：()Yt是独立增量过程。()()()()()()()()12123PYtsYsnPXtsXtsXsXsn+−==+++−−=D　()()()()()11220niPXtsXsiXtsXsni=⎧⎫=+=++=⎨⎬⎩⎭∪－，−−()()()()(){}11220niPXtsXsiXtsXsni==+=++=∑－，由于相互独立，则：()()12XtXt与()()()()()()()()()11220niPYtsYsnPXtsXsiPXtsXsni=+−==+=•++=−∑－()()()()()()()()()()()121212121212121200!!!!!!!!iniinittnnnnnnttiitttteteteeenininininnλλλλλλλλλλλλλλλλ−−−+−+−+−−=====+=tt+⎡⎤⎣⎦−−∑∑综上所述，是具有参数()()()12YtXtXt=+12λλ+的泊松过程。（2）()()()()()()121212EZtEXtXtEXtEXttλλ=−=−=−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()121212DZtDXtXtDXtDXttλλ=−=−=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦显然：()()EZtDZt=⎡⎤⎡⎣⎦⎣⎤⎦，则()()()12ZtXtXt=−不是泊松过程。-end-3.2设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为，且与其它顾客是否购买商品无关，若{p}0tYt≥，是购买商品的顾客数，证明{}0tYt≥，是强度为pλ的泊松过程。证明：设(){}0Xtt≥，示到达商店的顾客数，iξ表示第个顾客是否购买商品，不妨假设i若第个顾客购买商品，取i1iξ=；若第i个顾客未购买商品，取0iξ=。则：()()10iiPpPξξ====−，1p再由题意知：1,2,iiξ="，彼此独立且同分布，且与(){}0Xtt≥，独立因此，()1XttiYiξ==∑是复合泊松过程。容易验证满足：（1）；（2）是独立增量过程；且：tY00Y=tY0{}{(,)}{(,)}{()(),}()(1)!()(1)!()!()(1)(!!tssnktnkknknnkntknknklktknklPYYkPstskPstsknnPNtsNsnnketCppnteppknktepplklλλλλλλ++∞=−+∞−=+∞−−=++∞−−=−==+=+≥=+−==−=−−=−=∑∑∑∑内有个顾客购买内有个顾客购买,有个人到达，0此个人中有个顾客购买了商品0)()((1))!!()!tkllptknkeptptkleptkλλλλλ−+∞=−−⋅−==∑因此，是强度为tYpλ的泊松过程。-end-3.3设电话总机在(]0,t内接到电话呼叫数()Xt是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）第二分钟内接到第3次呼叫的概率。解：（1）因()()Xtπλ∼则：()()()()323224233!3ePYtYteλλλλ−−+−===（2）P{第二分钟内接到第3次呼叫}=()()()(){}2010,213KPXXkXXk=−=−≥−∑()(){}()(){}2010213KPXXkPXXk==−=−≥∑−()(){}()(){}()(){}()(){}10021310121PXXPXXPXXPXX=−=−≥+−=−≥2()(){}()(){}10221PXXPXX+−=−1≥()(){}()(){}()(){}121021121ePXXPXXPXXλ−⎡⎤=−−=−−=−−=⎣⎦2()(){}()(){}()(){}121021112102ePXXPXXePXXλλλλ−−⎡⎤⎡+−−=−−=+−−=⎣⎦⎣⎤⎦1122eeeeeeeee1λλλλλλλλλλλλλ−−−−−−−−−⎡⎤λ⎡⎤⎡=−−−+−−+−⎤⎣⎦⎣⎢⎥⎣⎦⎦()221122eeλλλλλ−−⎡⎤⎛⎞=++−++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦2λ-end-3.4设(){}0Xtt≥，是具有参数为λ的泊松过程，假设S是相邻事件的时间间隔，证明：{}{}1212PSssSsPSs>+>=>，即假定预先知道最近一次到达发生在秒，下一次到达至少发生在将来秒的概率等于在将来秒出现下一次事件的无条件概率（这一性质称为“泊松过程无记忆性”）。1s2s2s证明：因为()()Xtπλ∼则：{}()(){}()20212112100!ssPSssSsPXssXseλλ−>+>=+−=={}{}2221sePSsPSλ−==−≤=>s3-end-3.5设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为12λλλ，，，且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并单个输出过程（假定无长度、无延时），求：（1）相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度；（2）汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度。解：（1）由定理3.2知绿色汽车到达时间间隔为独立同分布的均值为1λ的指数分布，则绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度为：()11000ttefttλλ−≥⎧⎪=⎨<⎪⎩　（2）若把这些汽车合并单个输出过程()Yt，则根据3.1（1）知()Yt服从于参数为123λλλ++的泊松过程，于是汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度为：()()()123123000tYtefttλλλλλλ−++⎧≥++⎪=⎨<⎪⎩　-end-3.6设(){}0Xtt≥，为具有参数为λ的泊松过程，证明：（1）()nnEWλ=，即泊松过程第次到达时间的数学期望恰好是到达率倒数的倍；nn（2）()2nnDWλ=，即泊松过程第次到达时间的方差恰好是到达率平方的倒数的倍。nn证明：设表示iT(){}0Xtt≥，第次事件发生到第i次事件发生的时间间隔，则1i−1,2,iTi="，相互独立且服从均值为1λ的指数分布，则：()()2111,2,iiETDTiλλ==="，，n，而1nniiWT==∑（1）()()1nniinEWETλ===∑（2）()()21nniinDWDTλ===∑-end-3.7设(){}0Xtt≥，和(){}0Ytt≥，分别是具有参数为12λλ和的相互独立的泊松过程，令W和是'W()Xt的两个相继泊松型事件出现的时间，且'WW<，对于'WtW<<，有()()Xt=+XW和，定义()()'1XWXW=()()'NYWYW=−，求N的概率分布。解：()()(){}''0,PNkPYWYWkWWsds∞==−=−=∫()(){}{}'''0PYWYWkWWsPWWsds∞=−=−=−=∫i()21212112120!kkssseedskλλλλλλλλλλ∞−−⎛⎞==⎜⎟++⎝⎠∫i-end-3.8设脉冲到达计数器的规律是到达率为λ的泊松过程，记录每个脉冲的概率为，记录不同p脉冲的概率是相互独立的，令()Xt表示已被记录的脉冲数：（1）求(){}0,1,2,PXtkk=="，（2）()Xt是否为泊松过程。解：设(){}0Ntt≥，表示在[]0,t区间脉冲到达计数器的个数，若第i个脉冲被计数器记录，取1iξ=；若第i个脉冲不被计数器记录，取0iξ=，则：()()101iiPpPpξξ====−，，则：()()1NtiiXtξ==∑则根据复合泊松过程的定义知：()Xt为泊松过程，且：()()()1EXtENtEtξλλ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ii=则()Xt的强度为pλ，所以：(){}()0,1,2,!kptptPXtkekkλλ−==="，-end-3.9某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达最高峰20人/时；从11时到13时，平均顾客到达率保持不变，为20人/时；从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8:30—9:30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少？解：将时间8时至17时平移为0时至9时，依据题意商店的到达率为：()()55032035202559ttttttλ+≤⎧⎪⎪=<⎨⎪−−<≤⎪⎩，，　，≤≤=则：()()()1.50.51.50.55510XXmmtdt−=+∫所以：()(){}()01010101.50.500!tttPXXee−−−===则：在8:30—9:30间无顾客到达商店的概率是？在这段时间内到达商店的顾客数学期望是10人。10te−-end-3.10设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居，即2λ=，如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率是16，一户三人的概率是13，一户二人的概率是13，一户一人的概率是16，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。解：设(){}0Ntt≥，表示在[]0,t间的移民户数，表示每户的人口数，则在[iY]0,t内的移民人数：()()1NtiiXt==∑Y是一个复合泊松过程。因为相互独立且具有相同分布的随机变量，其分布率为：iY{}{}{}{}11142363PYPYPYPY========，则：()()25426EYEY==，3根据题意知()Nt在5周内是强度为10的泊松过程，由定理3.6，有：()()()()()()211XXmtEXttEYDtDXttEYλλ====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则：()()543215525252526XXmDt=××==××=，3所以：在五周内移民到该地区人口的数学期望为25，方差为2153。-end-习题44.1设质点在区间[的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原点，在其它整数点分别以概率]0,413向左、右移动一格或停留在原点，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解：根据题意，画出其状态转移图：则一步转移概率矩阵为：{}10000111003331110,1,2,3,4003331110033300001PI⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，二步转移概率矩阵为：21000010000100001111114221000003333339999111111123210,0000333333999991111111224000003333339999000010000100001PI⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦i，{}1,2,3,4=-end-4.2独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于，令，这些值分别对应于第次和第n次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链{p2n≥0,1,23nX=或1n−}0,1,2nXn="，的一步和二步转移概率矩阵。解：根据题意，有：{}0,1,2,3I=则一步转移概率矩阵为：0001020310111213202122233031323300000000pppppqpppppqPpppppqpppppq⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦二步转移概率矩阵为：2222222220000000000000000pqpqppqpqqpqpqppqpqqPpqpqppqpqqpqpqppqpqq⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦i-end-4.3设{}0nXn≥，为马尔可夫链，试证：（1）{}11220011,,,,nnnnnmnmnnPXiXiXiXiXiXi++++++======""{}1122,,nnnnnmnmnnPXiXiXiXi++++++====="　　（2）{}002211,,,nnnnnmnmnnPXiXiXiXiXi++++++=====""{}{}00112211,,nnnnnnnmnmnnPXiXiXiPXiXiXi++++++++======="i"证明：（1）{}11220011,,,,nnnnnmnmnnPXiXiXiXiXiXi++++++======""{}{}001111220011,,,,,nnnnnnnmnmnnPXiXiXiXiXiXiPXiXiXi++++++=========="""00111111110011nnnnnmnmnnnnmnmnnnmnmnnniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiipppppppppppppp−++−+++−+++−+−==="""""{}{}{}1111,nnnnnmnmnnnmnmnnnnPXiXiXiPXiXiXiPXi++++++++=======""==（2）{}002211,,,nnnnnmnmnnPXiXiXiXiXi++++++=====""{}{}00112211,,,nnnnnnnmnmnnPXiXiXiXiXiPXi++++++++======="0011110011112111nnnnnmnmnnnnnnmnmnniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiipppppppppppppp−++−++++++−+++==""""i1ni+{}{}00112211,,nnnnnnnmnmnnPXiXiXiPXiXiXi++++++++======="i"-end-4.4设{}1nXn≥，为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为：{}0111144441111444411,2,3,441113484811114444ipPXiiP⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，试证：{}{}20121411441PXXXPXX==<<≠=<<，　4证明：由题意，有：{}{}{}1221114441414PXXPXXPX<<==<<=<<，{}{}{}{}{}{}{}{}73112121241348487111184411923231PXXPXXPXpPXpPXPXPXPX=+=+×+×===+==+=+ii=2，=3，=2=360==而：{}{}{}0122010111444114114PXXXPXXXPXX=<<===<<==<<，　，，　，　{}{}{}{}0120120101124131213PXXXPXXXPXXPXX===+======+==，，，，，，4311111112241133