2021版高考数学总复习第二篇函数、导数及其应用第11节导数在研究函数中的应用（第一课时）利用导数研究函数

第11节　导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数(1)函数y=f(x)在某个区间内可导①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内;②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内;③如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数.(2)单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不存在变号零点.知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理单调递增单调递减2.函数的极值与导数(1)函数极小值的概念①函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小;②f′(a)=0;③在点x=a附近的左侧,右侧;则点a叫做函数y=f(x)的,f(a)叫做函数y=f(x)的.(2)函数极大值的概念①函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大;②f′(b)=0;③在点x=b附近的左侧,右侧;则点b叫做函数y=f(x)的,f(b)叫做函数y=f(x)的;极小值点与极大值点统称为,极小值与极大值统称为.f′(x)<0f′(x)>0极小值点极小值f′(x)>0f′(x)<0极大值点极大值极值点极值3.函数的最值与导数求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求y=f(x)在(a,b)内的;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中的一个为最大值,的一个为最小值.4.利用导数解决实际生活中的优化问题(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式y=f(x)并确定定义域;(2)求导数f′(x),解方程f′(x)=0;(3)判断使f′(x)=0的x值是极大值点还是极小值点;(4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中作答.极值最大最小【重要结论】1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]内一定有最值.2.若函数f(x)在[a,b]内是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值一定是函数的最值.4.极值与最值的关系:极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只要不在端点处取,则必定在极值处取.第一课时　利用导数研究函数的单调性1.(教材习题改编)函数f(x)=x3-3x+1的单调增区间是(　　)(A)(-1,1)(B)(-∞,1)(C)(-1,+∞)(D)(-∞,-1),(1,+∞)对点自测D解析:f′(x)=3x2-3.由f′(x)>0得x<-1或x>1.故单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞),故选D.D3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是先增后减的函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　)C解析:根据题意f′(x)在[a,b]上是先增后减的函数,则在函数f(x)的图象上,各点的切线斜率是先随x的增大而增大,然后随x的增大而减小,由四个选项的图形对比可以看出,只有选项C满足题意.故选C.4.(2018·宁夏育才中学月考)若函数f(x)=alnx-x在区间(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 考点专项突破在讲练中理解知识考点一　利用导数求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)=ex-1-lnx.求f(x)的单调区间.(1)利用导数求函数单调性的方法:反思归纳f′(x)>0(<0)可解先确定函数的定义域,解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间f′(x)=0可解先确定函数的定义域,解方程f′(x)=0,求出实数根,把实根按从小到大的顺序排列起来,把定义域分成若干个小区间,确定f′(x)在各个区间内的符号,从而确定单调区间f′(x)>0(<0)及f′(x)=0不可解先确定函数的定义域,当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)=0均不可解时,求导并化简,根据f′(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f′(x)的符号,得单调区间【跟踪训练1】(2018·湖北武汉高中毕业调研节选)已知函数f(x)=xex-e(lnx+x),求f(x)的单调区间.考点二　讨论含参数函数的单调性【例2】(2018·江苏盐城学业质量监测节选)已知函数f(x)=lnx+x-ax2,a∈R.设g(x)=f(x)+(a-3)x,试讨论函数g(x)的单调性.反思归纳(2)当10得01,所以f(x)在(0,lna),(1,+∞)上单调递增,在(lna,1)上单调递减.(3)当a=e时,令ex=a,f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(4)当a>e时,令ex=a,得x=lna∈(1,+∞),由f′(x)<0得10得0lna,所以f(x)在(0,1),(lna,+∞)上单调递增,在(1,lna)上单调递减.综上,当0e时,f(x)在(0,1),(lna,+∞)上单调递增,在(1,lna)上单调递减.考点三　导数与函数单调性关系的应用(多维探究)考查角度1:导函数图象的理解【例3】设f(x)在定义域内可导,其图象如图所示,则导函数f′(x)的图象可能是(　　)解析:由f(x)的图象可知函数f(x)在(-∞,0)时单调递减,因此其导数小于0,可排除C,D;再由函数f(x)在y轴的右侧,图象先下降再上升,最后下降知函数f(x)先递减,再递增,最后递减,即有导数先小于0,再大于0,最后小于0,可排除A;则B正确.选B.反思归纳导函数f′(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(递增区间),导函数f′(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(递减区间).【跟踪训练3】(2018·浙江省温州市一模)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是(　　)解析:由导函数的图象可知,函数f(x)先减后增,排除A,B;又知f′(x)=0的根为正,即f(x)的极值点为正,排除D.故选C.考查角度2:利用导数构造函数解不等式【例4】定义在{x|x≠0}上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,f(x)的导函数为f′(x),且满足f(1)=0,当x>0时,xf′(x)<2f(x),则使得不等式f(x)>0的解集为(　　)(A)(-∞,-1)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞)(D)(-1,0)∪(0,1)反思归纳常用的构造不等式的方法:(1)关系式为“加”型①f′(x)+f(x)≥0构造[exf(x)]′=ex[f′(x)+f(x)];②xf′(x)+f(x)≥0构造[xf(x)]′=xf′(x)+f(x);③xf′(x)+nf(x)≥0构造[xnf(x)]′=xnf′(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf′(x)+nf(x)](注意对x的符号进行讨论).反思归纳函数在某区间上的单调性的讨论(1)在区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件;(2)函数y=f(x)在(a,b)上是增函数(或减函数),则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立;(3)函数y=f(x)在(a,b)上存在单调递增(或递减)区间,则f′(x)>0(或f′(x)<0)在(a,b)内有解;(4)函数y=f(x)在(a,b)内不单调,则y=f′(x)在(a,b)内有变号零点.【一题多变1】将本题的条件变为“若函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间”,求实数a的取值范围.【一题多变2】将本题的条件变为“若g(x)的单调减区间为(-2,-1)”,求实数a的值.解:因为g(x)的单调减区间为(-2,-1),所以x1=-2,x2=-1是g′(x)=0的两个根,所以(-2)+(-1)=a,即a=-3.【一题多变3】将本题的条件变为“若g(x)在(-2,-1)上不单调,”求实数a的取值范围.备选例题(2)求f(x)的单调区间.