定积分习题及答案

第五章定积分(A层次)a3dx1．2sinxcos3xdx；2．x2a2x2dx；3．；001x21x2xdxdxdx4．1；5．4；6．1；3154x1x11x142dxdx7．e；8．0；9．1cos2xdx；1x1lnx2x22x20325xsinx10．x4sinxdx；11．24cos4xdx；12．dx；425x2x12x4lnx113．3dx；14．dx；15．xarctgxdx；sin2x1x04e16．2e2xcosxdx；17．xsinx2dx；18．sinlnxdx；001sinxxsinx19．2cosxcos3xdx；20．4dx；21．dx；201sinx01cosx4121x1x22．2xlndx；23．dx；24．2lnsinxdx；01x1x40%dx25．dx0。01x21x(B层次)yxdy1．求由etdtcostdt0所决定的隐函数y对x的导数。00dxx2．当x为何值时，函数Ixtet2dt有极值0dcosx3．cost2dt。dxsinxx1,x14．设fx1，求2fxdx。x2,x102xarctgt2dt5．lim0。xx211sinx,0x6．设fx2，求xxftdt。00,其它1,当x0时1x7．设fx，求2fx1dx。1,当x0时01ex，18．limn2nn2。nn2knen9．求lim。n2kk1nnen10．设fx是连续函数，且fxx21ftdt，求fx。0dt11．若2ln2，求x。xet161112．证明：2e22ex2dx2。12xxa13．已知lim4x2e2xdx，求常数a。xxaa1x2,x014．设fx，求3fx2dx。ex,x0115．设fx有一个原函数为1sin2x，求2xf2xdx。016．设fxaxblnx，在1,3上fx0，求出常数a，b使3fxdx最1小。117．已知fxex2，求fxfxdx。0~2118．设fxx2xfxdx2fxdx，求fx。0019．fcosxcosxfcosxsin2xdx。0x20．设x0时，Fxx2t2ftdt的导数与x2是等价无穷小，试求0f0。(C层次)1．设fx是任意的二次多项式，gx是某个二次多项式，已知111bfxdxf04ff1，求gxdx。062a2．设函数fx在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，则在a,b内存在，ab1使得bfxdxbafba3f。a2243．fx在a,b上二次可微，且fx0，fx0。试证fbfabafabfxdxba。a24．设函数fx在a,b上连续，fx在a,b上存在且可积，fafb0，1试证fxbfxdx(axb)。2a5．设fx在0,1上连续，1fxdx0，1xfxdx1，求证存在一点x，000x1，使fx4。&xFx6．设fx可微，f00，f01，Fxtfx2t2dt，求lim。0x0x47．设fx在a,b上连续可微，若fafb0，则4bfxdxmaxfx。ba2aaxbfxkfx8．设fx在A,B上连续，AabB，求证limbdxk0akfbfa。9．设fx为奇函数，在,内连续且单调增加，Fxxx3tftdt，0证明：(1)Fx为奇函数；(2)Fx在0,上单调减少。10．设fx可微且积分1fxxfxtdt的结果与x无关，试求fx。011．若fx在0,连续，f02，f1，证明：fxfxsinxdx3。012．求曲线yxt1t2dt在点(0,0)处的切线方程。013．设fx为连续函数，对任意实数a有asinxfxdx0，求证af2xfx。2xydy14．设方程2xtgxysec2tdt，求。0dx2#15．设fx在a,b上连续，求证：1limxfthftdtfxfa(axb)h0ha216．当x0时，fx连续，且满足x1xftdtx，求f2。017．设fx在0,1连续且递减，证明1fxdxfxdx，其中0,1。0018．设fx连续，Fxxftf2atdt，f00，fa1，试证：0F2a2Fa1。19．设gx是a,b上的连续函数，fxxgtdt，试证在a,b内方程afbgx0至少有一个根。ba120．设fx在a,b连续，且fx0，又Fxxftdtxdt，证明：abft(1)Fx2(2)Fx0在a,b内有且仅有一个根。21．设fx在0,2a上连续，则2afxdxafxf2axdx。00$22．设fx是以为周期的连续函数，证明：2sinxxfxdx2xfxdx。0023．设fx在a,b上正值，连续，则在a,b内至少存在一点，使1fxdxbfxdxbfxdx。a2afu124．证明1lnfxtdtxlndu1lnfudu。00fu025．设fx在a,b上连续且严格单调增加，则abbfxdx2bxfxdx。aaM26．设fx在a,b上可导，且fxM，fa0，则bfxdxba2。a227．设fx处处二阶可导，且fx0，又ut为任一连续函数，则11afutdtfautdt，a0。a0a0ab28．设fx在a,b上二阶可导，且fx0，则bfxdxbaf。a229．设fx在a,b上连续，且fx0，bfxdx0，证明在a,b上必有afx0。^30．fx在a,b上连续，且对任何区间,a,b有不等式fxdxM1(M，为正常数)，试证在a,b上fx0。第五章定积分(A)1．2sinxcos3xdx0121解：原式2cos3xdxcos4x0440a2．x2a2x2dx0解：令xasint，则dxacostdt当x0时t0，当xa时t2原式2a2sin2tacostacostdt0a4a42sin22tdt21cos4tdt4080>a4a412sin4ta48284160dx3．31x21x2解：令xtg，则dxsec2d当x1，3时分别为，43sec2原式3dtg2sec43sin2dsin42233xdx4．1154x511解：令54xu，则xu2，dxudu442当x1，1时，u3,1@111原式5u2du386dx5．41x1解：令xt，dx2tdt当x1时，t1；当x4时，t222tdt22dt原式2dt11t111t22t2ln1t222ln113dx6．131x14解：令1xu，则x1u2，dx2udu31当x,1时u,042102uu11原式du22du12ln21u10u12【2dx7．e1x1lnx2121解：原式edlnxed1lnx11lnx11lnx21lnxe22321dx8．02x22x2dx解：原式0arctgx1021x122arctg1arctg14429．1cos2xdx0解：原式2cos2xdx2cosxdx0022cosxdx2cosxdx022sinx2sinx2202（10．x4sinxdx解：∵x4sinx为奇函数∴x4sinxdx011．24cos4xdx22解：原式422cos4xdx222cos2xdx00221cos2x2dx2212cos2xcos22xdx002x222cos2xdx21cos4xdx00012sin2x22cos4xd4x0240313sin4x22420x3sin2x12．5dx5x42x21>x3sin2x解：∵为奇函数x42x21x3sin2x∴5dx05x42x21x13．3dxsin2x4解：原式3xdctgx4xctgx33ctgxdx4413lnsinx34941332lnln49221313ln4922lnx14．4dx1x解：原式24lnxdx1<2xlnx44xdlnx114124ln2xdx1x148ln22x2dx18ln2415．1xarctgxdx011解：原式arctgxdx2202111xx2arctgxdx2001x211dx1dx1820201x21111xarctgx82200142）16．2e2xcosxdx0解：原式2e2xdsinx0e2xsinx22sinx2e2xdx00e22e2xdcosx0e2e2xcosx222cosx2e2xdx00e242e2xcosxdx01故2e2xcosxdxe20517．xsinx2dx01cos2x解：原式xsinx2dxx2dx00211x2dxx2cos2xdx2020~11x3x2dsin2x640031x2sin2xsin2x2xdx640031xdcos2x640313xcos2xcos2xdx64006418．esinlnxdx11解：原式xsinlnxeexcoslnxdx11xesin1ecoslnxdx11eeesin1xcoslnxxsinlnxdx11xesin1ecos11esinlnxdx1e故esinlnxdxsin1cos1112~19．2cosxcos3xdx4解：原式2cosx1cos2xdx40cosxsinxdx2cosxsinxdx04023232cosxcosx22330444233sinx20．4dx01sinxsinx1sinx解：原式4dx01sin2xsinx4tg2xdx0cos2xdcosx44sec2x1dx0cos2x014tgxx422cosx040"xsinx21．dx01cos2x解：令xt，则2tsint22原式2dt21cos2t2cost2tcost2dt1sin2t1sin2t2cost22dtarctgsint201sin2t0411x22．2xlndx01x11xx2解：原式2lnd01x21x21x21x21x1x1x1ln2dx21x021x1x2011x2ln32lndx80x21111dxln32dx2800x21:1111x1ln3ln2822x1013ln3281x223．dx1x4111x2解：原式dx2x2dx01x401x2x2112dx012xx2x1x2arctgx222024．2lnsinxdx0xx解：原式2ln2sincosdx令x2t24ln2lnsintlncostdt0220ln224lnsintdt4lncostdt200tu2ln224lnsintdt2lnsinudu204"ln222lnsintdt20故2lnsinxdxln202dx25．001x21x11解：令x，则dxdttt21dttdt原式0t21t21t1t21t0t2tdxdxxdx∴201x21x01x21x01x21x1dxarctgx01x202dx故01x21x4(B)|yxdy1．求由etdtcostdt0所决定的隐函数y对x的导数。00dx解：将两边对x求导得dyeycosx0dxdycosx∴dxeyx2．当x为何值时，函数Ixtet2dt有极值0解：Ixxex2，令Ix0得x0当x0时，Ix0当x0时，Ix0∴当x0时，函数Ix有极小值。dcosx3．cost2dt。dxsinx！dacost解：原式cost2dtcost2dtdxsinxadsinxcosxcost2dtcost2dtdxaacossin2xsinxcoscos2xcosxcossin2cosxcoscos2xsinxcossin2xcosxsinxcossin2xsinxcosxcossin2xx1,x14．设fx1，求2fxdx。x2,x1022121解：fxdxx1dxx2dx001211128x2xx326301xarctgt2dt5．lim0。xx21!x2arctgtdt2型arctgx解：lim0limxx21x11x212x221x1arctgx2x21arctgx2x2limlimxxxx12lim1arctgx2xx241sinx,0x6．设fx2，求xxftdt。00,其它解：当x0时，xxftdtx0dt00011cosx当0x时，xxsintdt0221当x时，xxftdtftdtxftdtsintdtx0dt100020,当0时1故x1cosx,当0x时。21,当x时1,当x0时1x7．设fx，求2fx1dx。1,当x0时01ex1,当x1时x解：fx11,当x1时1ex1、dx12fx1dx12dx001ex111x11ex1ex1dx1dx1201ex11x11ln1ex1ln20ln1e18．limn2nn2。nn212n1解：原式limnnnnnni12lim1xdxnnn03i1knen9．求lim。n2kk1nnenknen1解：原式limn2knk11enx1edxarctgex1arctge01e2x04%10．设fx是连续函数，且fxx21ftdt，求fx。0解：令1ftdtA，则fxx2A，01从而1fxdx1x2Adx2A00211即A2A，A22∴fxx1dt11．若2ln2，求x。xet162u解：令et1u，则tln1u2，dtdu1u2当t2ln2时，u3当tx时，uex1dt2udu∴2ln232arctgu3xet1ex11u2uex1，2arctgex136从而xln21112．证明：2e22ex2dx2。1211证：考虑,上的函数yex2，则22y2xex2，令y0得x01当x,0时，y021当x0,时，y0211∴yex2在x0处取最大值y1，且yex2在x处取最小值e221111故2e2dx2ex2dx21dx11122211即2e22ex2dx2。12#xxa13．已知lim4x2e2xdx，求常数a。xxaa2ax解：左端lim1e2axxa右端2x2e2xd2x2x2de2xaa2x2e2x2xe2xdxaa2a2e2a2xde2xa2a2e2a2xe2xe2xdxaa2a22a1e2a∴2a22a1e2ae2a解之a0或a1。1x2,x014．设fx，求3fx2dx。ex,x01'解：令x2t，则310171fx2dxftdt1t2dtetdt11103e15．设fx有一个原函数为1sin2x，求2xf2xdx。0解：令2xt，且fx1sin2xsin2xt112xf2xdxftdttftdt00224011tdfttftftdt404001tsin2t1sin2t040016．设fxaxblnx，在1,3上fx0，求出常数a，b使3fxdx最1小。解：当3fxdx最小，即3axblnxdx最小，由fxaxblnx0知，11yaxb在ylnx的上方，其间所夹面积最小，则yaxb是ylnx的切线，111而y，设切点为x,lnx，则切线yxxlnx，故a，x00x00x00blnx1。033a3于是Iaxblnxdxx2bxlnxdx1211;4a21lna3lnxdx121令I40得aaa2从而x2，bln2102又I0，此时3fxdx最小。aa21117．已知fxex2，求fxfxdx。0解：fx2xex2111fxfxdx1fxdfxfx2002021122xex2e2202118．设fxx2xfxdx2fxdx，求fx。0012解：设fxdxA，fxdxB，则fxx2Bx2A00￥1111∴Afxdxx2Bx2AdxB2A0032228∴Bfxdxx2Bx2Adx2B4A00314解得：A，B，于是3342fxx2x3319．fcosxcosxfcosxsin2xdx。0解：原式fcosxcosxdxsinxfcosxdcosx00fcosxcosxdxsinxfcosxfcosxcosxdx0000x20．设x0时，Fxx2t2ftdt的导数与x2是等价无穷小，试求0f0。xxx2t2ftdt2xftdt解：lim0lim0x0x3x0x23?x2ftdt2xflim0lim0,xx0xx0x2f011故f02(C)1．设fx是任意的二次多项式，gx是某个二次多项式，已知111bfxdxf04ff1，求gxdx。062a解：设xbata，则Ibgxdx1gbatabadta0ba1gbatadt0令gbataft<1ba于是f0ga，fg，f1gb22baba由已知得Iga4ggb622．设函数fx在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，则在a,b内存在，ab1使得bfxdxbafba3f。a224证：由泰勒公式ffxfxfxxxxx20002!0其中x,xa,b，位于x与x之间。00两边积分得：fbfxdxbfxdxbfxxxdxbxx2dx0000aaaa2!fxfbafx0bx2ax2bx3ax30200600ab令x，则02,abab1ab2ab2bfxdxbaffbaa22222fab3ab3ba622ab1bafba3f，a,b。2243．fx在a,b上二次可微，且fx0，fx0。试证fbfabafabfxdxba。a2证明：当xa,b时，由fx0，fx0知fx是严格增及严格凹的，fbfa从而fxfa及fxfaxaba故bfxdxbfadxbafaaabbfbfafxdxfaxadxaabafbfa1bafaba2ba2fbfaba24．设函数fx在a,b上连续，fx在a,b上存在且可积，fafb0，1试证fxbfxdx(axb)。2a、证明：因为在a,b上fx可积，故有bfxdxxftdtbftdtaax而fxxftdt，fxbftdtax1于是fxxftdtbftdt2ax11fxxftdtbftdtbftdt2ax2a5．设fx在0,1上连续，1fxdx0，1xfxdx1，求证存在一点x，000x1，使fx4。证：假设fx4，x0,1由已知1fxdx0，1xfxdx1，得001111xfxdx1fxdx1xfxdx02002111xfxdx41xdx0202：111142xdxxdx11022211故1xfxdx41xdx02021从而1xfx4dx002∴fx40因为fx在0,1连续，则fx4或fx4。从而1fxdx4或4，0这与1fxdx0矛盾。故fx4。0xFx6．设fx可微，f00，f01，Fxtfx2t2dt，求lim。0x0x41x2解：令x2t2u，则Fxfudu，显然Fxxfx220FxFxfx2fx2f011于是limlimlimlimf0。x0x4x04x3x04x2x04x20447．设fx在a,b上连续可微，若fafb0，则4bfxdxmaxfx。ba2aaxbabab证：因fx在a,b上连续可微，则fx在a,和,b上均满足拉22格朗日定理条件，设Mmaxfx，则有axb]abbbfxdx2fxdxfxdxabaa2abb2fafxadxfbfxbdx1ab2a2abb2fxadxfxbdx1ab2a2abbMM2xadxMxbdxba2aba424故bfxdxM。ba2afxkfx8．设fx在A,B上连续，AabB，求证limbdxk0akfbfa。fxkfx11证：bdxbfxkdxbfxdxakkaka令xku，则bfxkdxbkfuduaakfxkfk11于是bdxbkfxdxbfxdxakkakka11bkfxdxakfxdxkbka{fxkfx11故limbdxlimbkfxdxlimakfxdxk0akk0kbk0kafbfa9．设fx为奇函数，在,内连续且单调增加，Fxxx3tftdt，0证明：(1)Fx为奇函数；(2)Fx在0,上单调减少。xx证：(1)Fxx3tftdttux3ufudu00xxfx为奇函数x3ufudux3ufuduFx00∴Fx为奇函数。(2)Fxxxftdt3xtftdt00xftdtxfx3xfx0xftdt2xfx0xftfxdtxfx0￥由于fx是奇函数且单调增加，当x0时，fx0，xftfxdt00tx，故Fx0，x0,，即Fx在0,上0单调减少。10．设fx可微且积分1fxxfxtdt的结果与x无关，试求fx。0解：记1fxxfxtdtC，则01fxxfxtdtfxxfuduC00由fx可微，于是fxfx0解之fxkex（k为任意常数）11．若fx在0,连续，f02，f1，证明：fxfxsinxdx3。0解：因fxsinxdxsinxdfx00}sinxfxfxcosxdx00fxcosxdx0cosxdfxfxcosxfxsinxdx000ff0fxsinxdx012fxsinxdx3fxsinxdx00所以fxfxsinxdx3。012．求曲线yxt1t2dt在点(0,0)处的切线方程。0解：yx1x2，则y02，故切线方程为：y02x0，即y2x。13．设fx为连续函数，对任意实数a有asinxfxdx0，求证af2xfx。?证：两边对a求导sinafa1sinafa0即fafa令ax，即得f2xfx。2xydy14．设方程2xtgxysec2tdt，求。0dx2解：方程两边对x求导，得2sec2xy1ysec2xy1y从而y1cos2xysin2xyy2sinxycosxy1y2sinxycos3xy|15．设fx在a,b上连续，求证：1limxfthftdtfxfa(axb)h0ha证：设Fx为fx的原函数，则1左边limFxhFahFxFah0hFxhFxFahFalimh0hhfxfa右边。216．当x0时，fx连续，且满足x1xftdtx，求f2。0解：等式两边对x求导，得fx21x2x3x21令x21x2得x1~将x1代入得：f2511故f2。517．设fx在0,1连续且递减，证明1fxdxfxdx，其中0,1。00证：1fxdxfxdx1fxdx00则1fxdxfxdx001fxdx1fxdx01f1f，,1，0,12121ff12由于fx递减，ff12）故1fxdxfxdx000即1fxdxfxdx。0018．设fx连续，Fxxftf2atdt，f00，fa1，试证：0F2a2Fa1。证：F2a2Fa2aftf2atdt2aftf2atdt002aftf2atdtaftf2atdt002aftf2atd2ataftf2atdta0ftf2at2a2aftf2ataftf2atdtaa0在第一个积分中，令2atu，则2aftf2atdtafuf2audua0而ftf2at2af2af0f2a1a、故F2a2Fa119．设gx是a,b上的连续函数，fxxgtdt，试证在a,b内方程afbgx0至少有一个根。ba证：由积分中值定理，存在a,b使fbbgtdtgbaafb即g0bafb故是方程gx0的一个根。ba120．设fx在a,b连续，且fx0，又Fxxftdtxdt，证明：abft(1)Fx2(2)Fx0在a,b内有且仅有一个根。1证：(1)Fxfx2fx1(2)Faadt0，Fbbftdt0bfta>又Fx在a,b连续，由介值定理知Fx0在a,b内至少有一根。又Fx0，则Fx单增，从而Fx0在a,b内至多有一根。故Fx0在a,b内有且仅有一个根。21．设fx在0,2a上连续，则2afxdxafxf2axdx。00证：2afxdxafxdx2afxdx00a令x2au，dxdu，则2afxdxaf2auduaf2axdxa00故2afxdxafxf2axdx0022．设fx是以为周期的连续函数，证明：2sinxxfxdx2xfxdx。00\证：2sinxxfxdx0sinxxfxdx2sinxxfxdx0令xu，则2sinxxfxdxsinuufudu0usinufudu(∵fx以为周期)0故2sinxxfxdx2xfxdx0023．设fx在a,b上正值，连续，则在a,b内至少存在一点，使1fxdxbfxdxbfxdx。a2a证：令Fxxftdtbftdtax由于xa,b时，fx0，故…Fabftdt0aFbbftdt0a故由零点定理知，存在一点a,b，使得F0即ftdtbftdt0afxdxbfxdxa又bfxdxfxdxbfxdx2fxdxaaa1故fxdxbfxdxbfxdx。a2afu124．证明1lnfxtdtxlndu1lnfudu。00fu0证：设xtu1，则1lnfxtduxlnfu1du0x1?xlnfu1du0lnfu1du0x1令u1v，则0lnfu1du1lnfvdv1lnfudux1xxxlnfudu1lnfudu00fu1故1lnfxtdtxlndu1lnfudu00fu025．设fx在a,b上连续且严格单调增加，则abbfxdx2bxfxdx。aa证：令Fxaxxftdt2xtftdtaa则Fxxftdtaxfx2xfxaxftdtxafxaxftfxdta∵atx，fx在a,b严格单增∴ftfx0则Fx0，从而FbFa0即abbftdt2btftdt0aa故abbfxdx2bxfxdxaaM26．设fx在a,b上可导，且fxM，fa0，则bfxdxba2。a2证：由假设对xa,b，可知fx在a,x上满足微分中值定理，则有fxfxfafxa，a,x又因fxM，xa,b故fxMxaM于是bfxdxbMxadxba2。aa227．设fx处处二阶可导，且fx0，又ut为任一连续函数，则11afutdtfautdt，a0。a0a0证：由泰勒公式，有1fxfxfxxxfxx20002!0其中在x与x之间0又因fx0，故1fxfxfxxxfxx200002!0即fxfxfxxx0001令xut，xautdt0a011aaaaa则futdtfutdtdtfutdt00a00a01utautdtdta01即afutdtafautdt。0a0ab28．设fx在a,b上二阶可导，且fx0，则bfxdxbaf。a2ab证：对xa,b，将fx在x处展开，得02ababab1ab2fxffxfx2222!2ab其中在x与之间。2由题设fx0，则f0。ababab从而fxffx222ababab积分bfxdxbaffbxdxa22a2ab即bfxdxbafa229．设fx在a,b上连续，且fx0，bfxdx0，证明在a,b上必有afx0。证：由fx0得bfxdx0，再由题设bfxdx0，知bfxdx0aaa又由于fx0，对xa,b得，0bftdtxftdt0aa即xftdt0，从而fxxftdt0aa30．fx在a,b上连续，且对任何区间,a,b有不等式fxdxM1(M，为正常数)，试证在a,b上fx0。证：令Fxxftdt，则FxfxaFFfx又dxM令，则上式左端Ff，右端0。由此得f0，由的任意性知fx0。