二项式定理赋值法求各项系数的和(1)

例2．已知(1−2x)7=a0​a1​xa2​x2⋯a7​x7，求：（1）a1​a2​⋯a7​； （2）a1​a3​a5​a7​； （3）∣a0​∣∣a1​∣⋯∣a7​∣.解：（1）当x=1时，(1−2x)7=(1−2)7=−1，展开式右边为a0​a1​a2​⋯a7​∴a0​a1​a2​⋯a7​=−1，当x=0时，a0​=1，∴a1​a2​⋯a7​=−1−1=−2，（2）令x=1，a0​a1​a2​⋯a7​=−1   ① 令x=−1，a0​−a1​a2​−a3​a4​−a5​a6​−a7​=37  ②①−②得：2(a1​a3​a5​a7​)=−1−37，∴=−2137​.（3）由展开式知：a1​,a3​,a5​,a7​均为负，a0​,a2​,a4​,a8​均为正，∴由（2）中①②得：2(a0​a2​a4​a6​)=−137，∴a0​a2​a4​a6​=2−137​，∴∣a0​∣∣a1​∣⋯∣a7​∣=a0​−a1​a2​−a3​a4​−a5​a6​−a7​=(a0​a2​a4​a6​)−(a1​a3​a5​a7​)=37例6．设(1x​)(1x​)2(1x​)3⋯(1x​)n=a0​a1​xa2​x2⋯an​xn，当a0​a1​a2​⋯an​=254时，求n的值解：令x=1得：a0​a1​a2​⋯an​=22223⋯2n=2−12(2n−1)​=254，∴2n=128,n=7，点评：对于f(x)=a0​(x−a)na1​(x−a)n−1⋯an​，令x−a=1,即x=a1可得各项系数的和a0​a1​a2​⋯an​的值；令x−a=−1,即x=a−1，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8．在(2x−3y)10的展开式中,求:①二项式系数的和;　②各项系数的和;　③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;　④奇数项系数和与偶数项系数和;　⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数Cnr​,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式2x−3y中的系数无关.解：设(2x−3y)10=a0​x10a1​x9ya2​x8y2⋯a10​y10(*),各项系数和即为a0​a1​⋯a10​,奇数项系数和为a0​a2​⋯a10​,偶数项系数和为a1​a3​a5​⋯a9​,x的奇次项系数和为a1​a3​a5​⋯a9​,x的偶次项系数和a0​a2​a4​⋯a10​.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为C100​C101​⋯C1010​=210.②令x=y=1,各项系数和为(2−3)10=(−1)10=1.③奇数项的二项式系数和为C100​C102​⋯C1010​=29,偶数项的二项式系数和为C101​C103​⋯C109​=29.④设(2x−3y)10=a0​x10a1​x9ya2​x8y2⋯a10​y10,令x=y=1,得到a0​a1​a2​⋯a10​=1…(1),令x=1,y=−1(或x=−1,y=1)得a0​−a1​a2​−a3​⋯a10​=510…(2)(1)(2)得2(a0​a2​⋯a10​)=1510,∴奇数项的系数和为21510​;(1)-(2)得2(a1​a3​⋯a9​)=1−510,∴偶数项的系数和为21−510​.⑤x的奇次项系数和为a1​a3​a5​⋯a9​=21−510​;x的偶次项系数和为a0​a2​a4​⋯a10​=21510​.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一例7．求证：Cn1​2Cn2​3Cn3​⋯nCnn​=n⋅2n−1．证（法一）倒序相加：设S=Cn1​2Cn2​3Cn3​⋯nCnn​   ①又∵S=nCnn​(n−1)Cnn−1​(n−2)Cnn−2​⋯2Cn2​Cn1​ 　②∵Cnr​=Cnn−r​，∴Cn0​=Cnn​,Cn1​=Cnn−1​,⋯，  由①②得：2S=n(Cn0​Cn1​Cn2​⋯Cnn​​)，∴S=21​⋅n⋅2n=n⋅2n−1，即Cn1​2Cn2​3Cn3​⋯nCnn​=n⋅2n−1．（法二）：左边各组合数的通项为rCnr​=r⋅r!(n−r)!n!​=(r−1)!(n−r)!n⋅(n−1)!​=nCn−1r−1​，∴Cn1​2Cn2​3Cn3​⋯nCnn​=n(Cn−10​Cn−11​Cn−22​⋯Cn−1n−1​​)=n⋅2n−11．设(1−x​)5(32x​)9=a0​(x1​)14a1​(x1​)13⋯a13​(x1​)a14​求：①a0​a1​⋯a14​ ②a1​a3​⋯a13​．答案：①39=19683； ②(3935​)/2​=99632．多项式f(x)=Cn1​(x−1)Cn2​(x−1)2Cn3​(x−1)3⋯Cnn​(x−1)n（n>6）的展开式中，x6的系数为3．在(1x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1−x2)n等于（）B.pq    C.p2q2   D.p2−q2