斯托克斯公式

一、斯托克斯(一、斯托克斯(stokesstokes)公式)公式二、简单应用二、简单应用三、物理意义----环流量与旋度三、物理意义----环流量与旋度四、小结四、小结思考思考题机动目录上页下页返回结束一、斯托克斯(stokes)公式【定理】设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与Σ的侧符合右手规则,函数(,,)Pxyz,Q(,,)xyz,R(,,)xyz在曲面Σ（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数,则有公式∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P()()()∫∫−dydz+−dzdx+−dxdyΣ∂y∂z∂z∂x∂x∂yPdx=∫+Qdy+Rdz斯托克斯公式Γ机动目录上页下页返回结束n右手法则∑Γ是有向曲面Σ的Γ正向边界曲线n【证明】［情形1］如图zΣ设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点Γ并Σ取上侧,有向曲线为Σ的正向边界oCyxDxy曲线Γ在xoy的投影.且所围区域Dxy.C:(,)Σz=fxy机动目录上页下页返回结束思路:曲面积分二重积分曲线积分12∂P∂P以下欲证：∫∫dzdx−dxdy=∫PdxΣ∂z∂yΓ∂P∂P∂P∂P∵∫∫dzdx−dxdy=(∫∫cosβ−γcosdS)Σ∂z∂yΣ∂z∂y又∵cosβ=−fycosγ代入上式得,∂P∂P∂P∂P∫∫dzdx−dxdy=−∫∫(+f)ycosγdSΣ∂z∂yΣ∂y∂z机动目录上页下页返回结束∂P∂P∂P∂P即dzdx−dxdy=−(+f)dxdy∫∫∫∫yΣ∂z∂yΣ∂y∂z∂∂P∂PP[x,,y(f,x=)]y+⋅f∂y∂y∂zy∂P∂P∫∫dzdx−dxdyΣ∂z∂y∂P=−x[y,,f(x,y)]dxdy,1∫∫∂yDxy机动目录上页下页返回结束根椐格林公式∂Pxy−f[x,y,(,dxdy)]=[,P,(x,y)]fxydx∫∫∂y∫cDxy∂P∂P即dzdxdxdy−=P[,x,y(f,x)]y2dx∫∫∫cΣ∂z∂y平面有向曲线∂P∂Pdzdxdxdy−=(,,),Pxyzdx∫∫∫ΓΣ∂z∂y空间有向曲线机动目录上页下页返回结束同理可证∂Q∂Qdxdydydz−=Q(,,),xyzdy∫∫∫ΓΣ∂x∂z∂R∂Rdydzdzdx−=(,,),Rxyzdz∫∫∫ΓΣ∂y∂x将以上三式相加∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P()()()∫∫−dydz+−dzdx+−dxdyΣ∂y∂z∂z∂x∂x∂yPdx=∫+Qdy+..Rdz故有结论成立.Γ机动目录上页下页返回结束［情形2］曲面Σ与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线、面把Σ分成与平行z轴直线只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕【注意】如果Σ是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.斯托克斯公式特殊情形格林公式Stokes公式的实质:达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.机动目录上页下页返回结束为便于记忆，斯托克斯公式还可写作:dydzdzdxdxdy∂∂∂Pdx=+Qdy+Rdz∫∫∫ΓΣx∂∂y∂zPQR或用第一类曲面积分表示:cosαcosβγcos∂∂∂ds=Pdx+Qdy+Rdz∫∫∫ΓΣx∂∂y∂zPQR其中{cosn=,αcosβ,γcos}机动目录上页下页返回结束二、简单的应用（可简化空间曲线积分）【例】1曲线积分计算zdx+xdy+,ydz∫Γ其中Γ是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的三边界,角形的整个它的正向与这个三角形上侧的法向则.右手规量之间符合z1【解】按斯托克斯公式,有nzdx+xdy+ydz∫Γo1y1dydz=∫∫+dzdx+dxdyDΣxxy由于Σ的法向量n={1,1,1}的三个方向余弦都为正，机动目录上页下页返回结束再由对称性知：ydydz∫∫+dzdx+=3∫∫dxdydxdy=3∫∫dσ1ΣΣDxyDxy如图D3xyzdx∫+xdy+=ydzxΓ2o1也可以dydz∫∫+dzdx+dxdyΣ(cos=∫∫α+βcosγ+dScos)Σ3=dS=3dS=3dσD面积∫∫3∫∫∫∫xyΣΣDxy3=2机动目录上页下页返回结束【例2】分计算曲线积yz()()()−2dx2+z2−x2dy+2x2−其中yΓ是平面dz∫Γ3x+y+z=截立方体:0≤x≤1,0≤y≤10,≤z≤1的2若从截痕,表面所得的ox针方向.逆时取轴的正向看去,3【解】面为平取Σx+y+z=2znΣ侧被的上Γ所围成的部分.1则n{=1,1,1}Γ3oy1x即cosα=cosβ=cosγ,=3机动目录上页下页返回结束1113333∂∂∂x+y=∴I=dSD2∫∫x∂∂y∂zxyΣ1222222x+y=y−zz−xx−y243=−x∫∫()y+z+dS(在∵Σx上+y+z)=3Σ243=−⋅dS=2−3∫∫dxdy332∫∫ΣDxy9=−6∫∫dxdy=−.Dxy2面积机动目录上页下页返回结束【例3】Γ为柱面x2+y2=2与平面yy=z的交线,从z轴正向看为顺时针I,计算=ydx2+xydy+dxz.z∫Γ【解】设∑为平面z=y上被Γ所围椭圆域,且取下侧,z则其法线方向余弦Γ11cosα=0cosβ,=,cosγ=−22Σ利用斯托克斯公式得oy2cosαcosβγcosx1I=∂∂∂dS=(y−z)dS=0∫∫x∂∂y∂z2∫∫∑2∑yxyxz平面y=z机动目录上页下页返回结束三、物理意义---环流量与旋度1.【环流量的定义】设向量场Axyz(,,)(,,)(,,)(,,)Pxyzi=+Qxyzj+Rxyzk则沿场A中某一封闭的有向曲线Γ上的曲线积分AΓd=s∫⋅Pdx=∫+Qdy+RdzΓΓ称为向量场A沿曲线Γ按所取方向的环流量.利用stokes公式,有ijk∂∂∂环流量Γ=A⋅ds=d⋅S∫Γ∫∫Σx∂∂y∂zPQR机动目录上页下页返回结束2.【旋度的定义】ijk∂∂∂称向量为向量场的旋度().rotAx∂∂y∂zPQRijk∂∂∂旋度rot=Ax∂∂y∂zPQR∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P()()().=−i+−j+−k∂y∂z∂z∂x∂x∂y机动目录上页下页返回结束斯托克斯公式的又一种形式∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P[(∫∫)cos−α(+−)cosβ+−(γdS)cos]Σ∂y∂z∂z∂x∂x∂yP=(∫cosλ+Qμcosν+cosR)dsΓ其中Σ的单位法向量为cosn=αi+cosβj+γcosk,Γ的单位切向量为cost=λi+cosμj+νcosk机动目录上页下页返回结束斯托克斯公式的向量形式rotA⋅ndS=⋅Arot或t()AdsdS=Ads∫∫∫Γ∫∫n∫ΓtΣΣ其中rot()An=rot⋅An∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P()=cos−α(+−)cosβ+−(γ)cos∂y∂z∂z∂x∂x∂yAAt=n⋅=Pcosλ+cosQμ+cosνR机动目录上页下页返回结束∴环流量Γrot=Ad⋅S=Ads∫∫∫ΓtΣStokes公式的物理解释:向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场A的旋度场通过Γ所张的曲面的通量.(Γ的正向与Σ的侧符合右手法则)机动目录上页下页返回结束旋度的力学意义:L【例3】设一刚体绕过原点O的某个ω度速其角动,轴转ω(,,)=ω1ω2ω3,刚ov体上每一点处的线速度构成一个线速量则向场,r=OMM={x,,yz}在点M度速线处的【解】由力学知道点M的线速度为由此可看出旋度与旋转角速度的ijk关系.v=ω×r=ωω1ω23(此即“旋度”一词的由来)xyz观察旋度rot2=v{,ω12ω2,ω2}3=ω2.机动目录上页下页返回结束四、小结斯托克斯公式cosαcosβγdydzcosdzdxdxdy∂∂∂∂∂∂∫∫dS=∫∫Σx∂∂y∂zΣx∂∂y∂zPQRPQRPdx=+Qdyrot+=ARdzn⋅dS=⋅Atds∫Γ∫∫∫ΓΣ斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式的物理意义机动目录上页下页返回结束