导数与恒成立问题

《导数与恒成立问题》 南宁二中  黄邵华 教学背景分析： 《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节，在每年的高考当中也几乎是必考题，而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型.在前段时间的学习中，学生已经学习和掌握了导数的定义及其基本应用（如求切线，求单调区间，求极值和最值等），故在此段内容的学习后，应当注重知识的深化和综合.恒成立问题是导数的综合应用中的常见问题，并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知识结合较为紧密，故特选此题作为一个专题进行教学. 高二（25）班的学生是我校高二年级的一个普通班，此班学生头脑灵活，反应比较灵敏，但学生性格普遍沉闷，虽然大脑在积极思考，但在课上不善于达.因此在教学方式上以教师问题为引导，通过由简到难的变式训练，让学生自主学习和发现解决恒成立问题的常用办法. 教学目标： 知识与技能：掌握利用导数解决恒成立问题的； 过程与方法：通过多次变式训练的过程，体会将复杂问题化为简单问题，将陌生 问题化为熟悉问题的转化数学思想，体会导数的工具性作用； 情感态度与价值观：通过对相关数学问题的思考和分析，感受事物是普通联系的 辩证主义思想，发现数学之美，培养数学钻研精神. 教学重点： 1、将恒成立问题转化为最值问题 2、分离变量法求解含参的恒成立问题 教学难点： 如何将其他问题转化为恒成立问题 教学过程： 环节一、复习引入 复习导数的基本应用：求切线方程、求极值、求单调区间以及求函数的最值. 通过一个网络图呈现： 教师提出：这些是利用导数可以解决的几类问题，但是很多问题并不是导数的简单应用，而是将这些导数的应用综合起来解决一个较为复杂的问题，这样复杂的问题很多，但基本都可以转化为这几种简单的问题，今天我们介绍其中的一类问题：恒成立问题. 环节二、新课讲授 例（2010年安徽高考理科17题改编）：已知函数 ，若 恒成立，求实数 的取值范围. 解析： ◇法1： 由 恒成立可得， 的最小值应该大于等于0. ，令 可得， . 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 因此 ，解得 . ◇法2（分离变量法）： 恒成立， 令 ，则有 ， ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 因此 ，所以 . ▲教师引导学生： ； 变式一：已知函数 ，若 在 上单调递增，求实数 的取值范围. 解析：由 在 上单调递增，可得 在 上恒成立， 即： 上恒成立，易得： （或由分离变量法求得）. ▲教师引导学生总结： ； 变式二：求证：当 且 时，有 . 证明： 设 ，要证原不等式，即证： 在 上恒成立. ，由例题结论可得当 时， ， 因此 在 上单调递增，所以 ， 综上所述： 成立. ▲教师引导学生总结： ； 环节三、巩固深化 练习（2012年天津高考理科20题改编）： 已知函数 ，对于任意的 ，有 ，求 的最小值. 解析：设 ，则 在 恒成立， ，令 . 若 ，则 ，则 在 恒成立， 在 单调递减， 因此 ， 符合题意； 若 ，则 ，则 时 ， 在 单调递增， 因此 ，不符合题意. 综上所述， ，即 的最小值为 . 教师通过程序框图将此题的解题步骤进行分析，并强调： 1、新课标理念“适当的模式化”对解题的帮助； 2、解题时缕清思路，不断地分析题目所给的问题和条件，寻找每个步骤的突破口. 环节四、课堂小结 1、知识层面：恒成立问题的解决办法：转化为最值问题，求参数范围时还可采用分离变量法； 2、数学思想方法层面：利用转化的思想将复杂与陌生的问题转化为简单与熟悉的问题； 3、学习方法与态度层面：即要注重将复杂问题进行分析与分解，更重要的是对基础知识的掌握和巩固. 环节五、课后思考 思考（2012年天津高考理科20题改编）： 已知函数 ， 求证：对于任意的 ，有 . 环节六、课后作业 1、尝试用分离变量法解决变式二及课堂练习题； 2、完成课后思考题. 继续阅读