工程数学-概率统计简明教程-第一章-随机事件

二、随机现象四、小结一、概率论的诞生及应用三、随机试验第一章随机事件第一节　随机试验1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(a<c),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念一、概率论的诞生及应用1.概率论的诞生2.概率论的应用概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等.在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象二、随机现象在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.2.随机现象“函数在间断点处不存在导数”等.结果有可能出现正面也可能出现反面.确定性现象的特征条件完全决定结果结果有可能为:1,2,3,4,5或6.实例3抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例2用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.实例4从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:正品、次品.实例5过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.实例6出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例7明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义三、随机试验一、样本空间样本点三、随机事件间的关系及运算二、随机事件的概念第二节　样本空间、随机事件问题随机试验的结果?定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω.样本空间的元素,即试验E的每一个结果,称为样本点.实例1抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.一、样本空间样本点实例2抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例3从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.实例4记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.实例5考察某地区12月份的平均气温.实例6从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.实例7记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.答案写出下列随机试验的样本空间.1.同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.2.生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.课堂练习2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.说明3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.所以在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.随机事件随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件.试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.1.基本概念二、随机事件的概念实例上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.必然事件随机试验中必然会出现的结果.不可能事件随机试验中不可能出现的结果.实例上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.实例“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”.基本事件由一个样本点组成的单点集.2.几点说明例如抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A=“点数不大于4”,B=“点数为奇数”等等.(2)随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间随机事件基本事件必然事件不可能事件复合事件1.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作实例A＝“长度不合格”必然导致B＝“产品不合格”,所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”.图示B包含A.SB三、随机事件间的关系及运算2.A等于B若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.事件A与B的并(和事件)实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此C=“产品不合格”是A=“长度不合格”与B=“直径不合格”的并C=A∪B.图示事件A与B的并.ΩA4.事件A与B的交(积事件)ΩABAB图示事件A与B的积事件.ΩABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此D=“产品合格”是A=“长度合格”与B=“直径合格”的交或积事件D=AB.和事件与积事件的运算性质设A，B事件不能在同一试验中同时出现”,则称为事件A与B互斥或互不相容.实例A=“骰子出现1点”，“骰子出现偶数点”图示A与B的互斥.S若A与B互斥,则有5.事件A与B互斥或互不相容5.事件A与B互不相容(互斥)若事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容,即实例抛掷一枚硬币,“出现花面”与“出现字面”是互不相容的两个事件.设A示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作实例A=“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.SB若A与B互逆,则有6.事件A的对立事件“骰子出现1点”“骰子出现2点”图示A与B互斥.S实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.7.事件A与B的差由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.图示A与B的差.SAB实例C=“长度合格但直径不合格”是A=“长度合格”与B=“直径合格”的差C=A-B.对立事件与互斥事件的区别SSBA、B对立A、B互斥互斥对立事件间的运算规律例7有两门火炮同时向一架飞机射击,考察事件(1)击落飞机;(2)未击落飞机.解(1)A=｛击落飞机｝=C∪B1B2=B1B2∪C(2)=｛未击落飞机｝=A=｛击落飞机｝,Bi=｛击中第i个发动机｝,i=1,2,C=｛击中驾驶员｝.试将下列事件用A,Bi,C或他们的补事件表示出来.根据常识“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中2个发动机”.4.用事件A,B,C的运算表示下列随机事件.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现;解解解解习题一(p5)解解(7)不多于两个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现;(9)A,B至少有一个出现,C不出现;(10)A,B,C中恰好有两个出现.4.用事件A,B,C的运算表示下列随机事件.习题一(p5)解解解解(1)没有一个是次品;(2)至少有一个是次品;解解(3)只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品;(6)至多有一个是次品.作业P.5习题一1、2、3、（1）（2）（3）（4）4、（1）（2）（3）（4）5、（1）（2）（3）（4）随机试验四、小结1.随机试验、样本空间与随机事件的关系2.概率论与集合论之间的对应关系