2020版高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案文

第2讲　递推数列及数列求和的综合问题(1)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式．(2)累积法：形如(3)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝(4)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得[例1]　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；(2)a1＝1，an＝(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.【解析】　(1)由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋又a1＝2＝因此an＝(2)∵an＝∴an－1＝以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.由数列递推式求通项公式的常用方法『对接训练』1．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝解析：(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝(2)∵∴将这n－1个等式叠乘，得eq\f(an,a1)＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，∴an＝2.(3)∵an＋1＝取倒数得：∴∵a1＝1，∴∴∴∴an＝考点2　错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．[例2]　[2019·天津卷]设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.依题意，得故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证.『对接训练』2．[2019·山东青岛一模]已知公比为q的等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求q的值；(2)若bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有即由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1.代入②知q＝1不成立，故舍去，所以q＝2.(2)由(1)知a1＝2，所以an＝2n，bn＝anlog2an＝2nlog22n＝n·2n，所以Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，所以2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，两式相减得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于[例3]　[2019·湖南省湘东六校联考]已知数列{an}的前n项和Sn满足(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn＝【解析】　(1)由已知有当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也满足上式，∴an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝∴Tn＝由Tn≥∴n的最小值为5.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则『对接训练』3．[2019·安徽池州期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝解析：(1)由an＝当n≥2时，Sn－1＝an＝Sn－Sn－1＝所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝1×3n－1＝3n－1.故数列{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)得bn＝＝＝所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(　分组求和法一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并．[例4]　[2019·天津南开附中期中]已知数列{an}是等比数列，满足a1＝3，a4＝24，数列{bn}是等差数列，满足b2＝4，b4＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式．(2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前n项和．【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意，得q3＝∴{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×2n－1，∴a3＝12.设等差数列{bn}的公差为d，∵b2＝4，b4＝a3＝12，b4＝b2＋2d，∴12＝4＋2d，解得d＝4.∴bn＝b2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×4＝4n－4.故{bn}的通项公式为bn＝4n－4.(2)由(1)知an＝3×2n－1，bn＝4n－4，∴cn＝an－bn＝3×2n－1－(4n－4)．从而数列{cn}的前n项和Sn＝3×20＋3×21＋…＋3×2n－1－[0＋4＋8＋…＋(4n－4)]＝3×1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和．2．分组求和中的分组策略(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.『对接训练』4．[2016·高考全国卷Ⅱ]Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解析：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.课时作业10　递推数列及数列求和的综合问题1．[2018·天津卷]设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式．(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，①求Tn；②证明．解析：(1)解：设等比数列{an}的公比为q.由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.由q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d.由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故bn＝n.所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n.(2)①解：由(1)，有Sn＝Tn＝＝2n＋1－n－2.②证明：因为＝所以，.2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx－3<0的解集为(－1,3)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)由题意知，方程a1x2－dx－3＝0的两个根分别为－1和3.则故数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2.3．[2019·江西七校第一次联考]设数列{an}满足：a1＝1,3a2－a1＝1，且(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且b1＝解析：(1)∵又a1＝1,3a2－a1＝1，∴∴∴∴即an＝(2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝4．[2019·昆明市诊断测试]已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.(1)求{an}的通项公式；(2)设m∈Z，若Sn<m恒成立，求m的最小值．解析：(1)由a2＝2，S3＝7得解得所以an＝4·(2)由(1)可知，Sn＝＝8因为an>0，所以Sn单调递增．又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7,8)．又Sn<m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.5．[2019·浙江诸暨中学期中]设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝①－②，得3n－1·an＝当n＝1时，a1＝所以数列{an}的通项公式为an＝(2)由(1)知bn＝①当n为奇数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋3n－1＋n＝②当n为偶数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋(n－1)＋3n＝所以数列{bn}的前n项和Sn＝6．[2019·安徽合肥模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，且a2a3＝40，a1＋a4＝13，在公比为q(0<q<1)的等比数列{bn}中，b1，b3，b5∈(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列{cn}满足cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1)因为{an}为等差数列，所以a1＋a4＝a2＋a3＝13，又a2a3＝40，所以a2，a3是方程x2－13x＋40＝0的两个实数根．又公差d>0，所以a2<a3，所以a2＝5，a3＝8，所以因为在公比为q(0<q<1)的等比数列{bn}中，b1，b3，b5∈所以易知b1＝此时公比q2＝(2)由(1)知an＝3n－1，bn＝所以Tn＝2×两式相减，得故{cn}的前n项和Tn＝5－(3n＋5)×_1633325171.unknown_1633678076.unknown_1633678077.unknown_1633325149.unknown