2015年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择
(本大题共6小题,每小题2分,共12分,在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的)
1.(2分)(2015?南京)计算:|﹣5+3|的结果是( )
A.
﹣2
B.
2
C.
﹣8
D.
8
2.(2分)(2015?南京)计算(﹣xy3)2的结果是( )
A.
x2y6
B.
﹣x2y6
C.
x2y9
D.
﹣x2y9
3.(2分)(2015?南京)如图,在△ABC中,DE∥BC,
=
,则下列结论中正确的是( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
4.(2分)(2015?南京)某市2013年底机动车的数量是2×106辆,2014年新增3×105辆,用科学记数法
示该市2014年底机动车的数量是( )
A.
2.3×105辆
B.
3.2×105辆
C.
2.3×106辆
D.
3.2×106辆
5.(2分)(2015?南京)估计
介于( )
A.
0.4与0.5之间
B.
0.5与0.6之间
C.
0.6与0.7之间
D.
0.7与0.8之间
6.(2分)(2015?南京)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
A.
B.
C.
D.
2
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7.(2分)(2015?南京)4的平方根是 ;4的算术平方根是 .
8.(2分)(2015?南京)若式子
在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
9.(2分)(2015?南京)计算
的结果是 .
10.(2分)(2015?南京)分解因式(a﹣b)(a﹣4b)+ab的结果是 .
11.(2分)(2015?南京)不等式组
的解集是 .
12.(2分)(2015?南京)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 ,m的值是 .
13.(2分)(2015?南京)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,﹣3),作点A关于x轴的对称点,得到点A′,再作点A′关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是( , ).
14.(2分)(2015?南京)某工程队有14名员工,他们的工种及相应每人每月工资如下表所示:
工种
人数
每人每月工资/元
电工
5
7000
木工
4
6000
瓦工
5
5000
现该工程队进行了人员调整:减少木工2名,增加电工、瓦工各1名,与调整前相比,该工程队员工月工资的方差 (填“变小”、“不变”或“变大”).
15.(2分)(2015?南京)如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E= °.
16.(2分)(2015?南京)如图,过原点O的直线与反比例#函数#y1,y2的图象在第一象限内分别交于点A,B,且A为OB的中点,若函数y1=
,则y2与x的函数表达式是 .
三、解答题(本大题共11小题,共88分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)(2015?南京)解不等式2(x+1)﹣1≥3x+2,并把它的解集在数轴上表示出来.
18.(7分)(2015?南京)解方程:
.
19.(7分)(2015?南京)计算:(
﹣
)÷
.
20.(8分)(2015?南京)如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且
=
.
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB的大小.
21.(8分)(2015?南京)为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况,教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行
,整理样本数据,并结合2010年抽样结果,得到下列统计图:
(1)本次检测抽取了大、中、小学生共 名,其中小学生 名;
(2)根据抽样的结果,估计2014年该地区10万名大、中、小学生中,50米跑成绩合格的中学生人数为 名;
(3)比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况,写出一条正确的结论.
22.(8分)(2015?南京)某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张,从中随机取出2张纸币.
(1)求取出纸币的总额是30元的概率;
(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率.
23.(8分)(2015?南京)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得∠CAO=45°,轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h和36km/h,经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°,此时B处距离码头O多远?(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)
24.(8分)(2015?南京)如图,AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上,连接EF,∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证:四边形EGFH是矩形;
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,过G作MN∥EF,分别交AB,CD于点M,N,过H作PQ∥EF,分别交AB,CD于点P,Q,得到四边形MNQP,此时,他猜想四边形MNQP是菱形,请在下列框中补全他的证明思路.
25.(10分)(2015?南京)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
26.(8分)(2015?南京)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.
(1)求证:∠A=∠AEB;
(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证:△ABE是等边三角形.
27.(10分)(2015?南京)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
2015年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分,在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的)
1.(2分)(2015?南京)计算:|﹣5+3|的结果是( )
A.
﹣2
B.
2
C.
﹣8
D.
8
考点:
有理数的加法;绝对值.菁优网版权所有
分析:
先计算﹣5+3,再求绝对值即可.
解答:
解:原式=|﹣2|
=2.
故选B.
点评:
本题考查了有理数的加法,以及绝对值的求法,负数的绝对值等于它的相反数.
2.(2分)(2015?南京)计算(﹣xy3)2的结果是( )
A.
x2y6
B.
﹣x2y6
C.
x2y9
D.
﹣x2y9
考点:
幂的乘方与积的乘方.菁优网版权所有
分析:
根据幂的乘方和积的乘方的运算方法:①(am)n=amn(m,n是正整数);②(ab)n=anbn(n是正整数);求出计算(﹣xy3)2的结果是多少即可.
解答:
解:(﹣xy3)2
=(﹣x)2?(y3)2
=x2y6,
即计算(﹣xy3)2的结果是x2y6.
故选:A.
点评:
此题主要考查了幂的乘方和积的乘方,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①(am)n=amn(m,n是正整数);②(ab)n=anbn(n是正整数).
3.(2分)(2015?南京)如图,在△ABC中,DE∥BC,
=
,则下列结论中正确的是( )
A.
=
B.
=
C.
=
D.
=
考点:
相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,然后由相似三角形的对应边成比例可得
,然后由
=
,即可判断A、B的正误,然后根据相似三角形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误.
解答:
解:∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴
,
∵
=
,
∵
=
,
故A、B选项均错误;
∵△ADE∽△ABC,
∴
=
=
,
=(
)2=
,
故C选项正确,D选项错误.
故选C.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是:熟记相似三角形的对应边之比等于相似比;相似三角形的周长之比等于相似比;相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
4.(2分)(2015?南京)某市2013年底机动车的数量是2×106辆,2014年新增3×105辆,用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )
A.
2.3×105辆
B.
3.2×105辆
C.
2.3×106辆
D.
3.2×106辆
考点:
科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:2014年底机动车的数量为:3×105+2×106=2.3×106.
故选C.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
5.(2分)(2015?南京)估计
介于( )
A.
0.4与0.5之间
B.
0.5与0.6之间
C.
0.6与0.7之间
D.
0.7与0.8之间
考点:
估算无理数的大小.菁优网版权所有
分析:
先估算
的范围,再进一步估算
,即可解答.
解答:
解:∵
2.235,
∴
﹣1≈1.235,
∴
≈0.617,
∴
介于0.6与0.7之间,
故选:C.
点评:
本题考查了估算有理数的大小,解决本题的关键是估算
的大小.
6.(2分)(2015?南京)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
A.
B.
C.
D.
2
考点:
切线的性质;矩形的性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
连接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,得到∠A=∠B=90°,CD=AB=4,由于AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,推出四边形AFOE,FBGO是正方形,得到AF=BF=AE=BG=2,由勾股定理列方程即可求出结果.
解答:
解:连接OE,OF,ON,OG,
在矩形ABCD中,
∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,
∵AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,
∴四边形AFOE,FBGO是正方形,
∴AF=BF=AE=BG=2,
∴DE=3,
∵DM是⊙O的切线,
∴DN=DE=3,MN=MG,
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN,
在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,
∴(3+NM)2=(3﹣NM)2+42,
∴NM=
,
∴DM=3
=
,
故选A.
点评:
本题考查了切线的性质,勾股定理,正方形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7.(2分)(2015?南京)4的平方根是 ±2 ;4的算术平方根是 2 .
考点:
算术平方根;平方根.菁优网版权所有
分析:
如果一个非负数x的平方等于a,那么x是a的算术平方根,由此即可求出结果.
解答:
解:4的平方根是±2;4的算术平方根是2.
故答案为:±2;2.
点评:
此题主要考查了平方根和算术平方根的概念,算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误.
8.(2分)(2015?南京)若式子
在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥﹣1 .
考点:
二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
分析:
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数,列不等式求解.
解答:
解:根据题意得:x+1≥0,
解得x≥﹣1,
故答案为:x≥﹣1.
点评:
主要考查了二次根式的意义和性质.
概念:式子
(a≥0)叫二次根式.
性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
9.(2分)(2015?南京)计算
的结果是 5 .
考点:
二次根式的乘除法.菁优网版权所有
分析:
直接利用二次根式的性质化简求出即可.
解答:
解:
=
×
=5.
故答案为:5.
点评:
此题主要考查了二次根式的乘除运算,正确掌握二次根式的性质是解题关键.
10.(2分)(2015?南京)分解因式(a﹣b)(a﹣4b)+ab的结果是 (a﹣2b)2 .
考点:
因式分解-运用
法.菁优网版权所有
分析:
首先去括号,进而合并同类项,再利用完全平方公式分解因式得出即可.
解答:
解:(a﹣b)(a﹣4b)+ab
=a2﹣5ab+4b2+ab
=a2﹣4ab+4b2
=(a﹣2b)2.
故答案为:(a﹣2b)2.
点评:
此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关键.
11.(2分)(2015?南京)不等式组
的解集是 ﹣1<x<1 .
考点:
解一元一次不等式组.菁优网版权所有
分析:
分别解每一个不等式,再求解集的公共部分.
解答:
解:
,
解不等式①得:x>﹣1,
解不等式②得:x<1,
所以不等式组的解集是﹣1<x<1.
故答案为:﹣1<x<1.
点评:
本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x>较小的数、<较大的数,那么解集为x介于两数之间.
12.(2分)(2015?南京)已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是 3 ,m的值是 ﹣4 .
考点:
根与系数的关系;一元二次方程的解.菁优网版权所有
分析:
利用一元二次方程的根与系数的关系,两根的和是﹣m,两个根的积是3,即可求解.
解答:
解:设方程的另一个解是a,则1+a=﹣m,1×a=3,
解得:m=﹣4,a=3.
故答案是:3,﹣4.
点评:
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,正确理解根与系数的关系是关键.
13.(2分)(2015?南京)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(2,﹣3),作点A关于x轴的对称点,得到点A′,再作点A′关于y轴的对称点,得到点A″,则点A″的坐标是( ﹣2 , 3 ).
考点:
关于x轴、y轴对称的点的坐标.菁优网版权所有
分析:
分别利用x轴、y轴对称点的性质,得出A′,A″的坐标进而得出答案.
解答:
解:∵点A的坐标是(2,﹣3),作点A关于x轴的对称点,得到点A′,
∴A′的坐标为:(2,3),
∵点A′关于y轴的对称点,得到点A″,
∴点A″的坐标是:(﹣2,3).
故答案为:﹣2;3.
点评:
此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质.
(1)关于x轴对称点的坐标特点:
横坐标不变,纵坐标互为相反数.
即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,﹣y).
(2)关于y轴对称点的坐标特点:
横坐标互为相反数,纵坐标不变.
即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣x,y).
14.(2分)(2015?南京)某工程队有14名员工,他们的工种及相应每人每月工资如下表所示:
工种
人数
每人每月工资/元
电工
5
7000
木工
4
6000
瓦工
5
5000
现该工程队进行了人员调整:减少木工2名,增加电工、瓦工各1名,与调整前相比,该工程队员工月工资的方差 变大 (填“变小”、“不变”或“变大”).
考点:
方差.菁优网版权所有
分析:
利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大,进而得出方差变大.
解答:
解:∵减少木工2名,增加电工、瓦工各1名,
∴这组数据的平均数不变,但是每个数据减去平均数后平方和增大,则该工程队员工月工资的方差变大.
故答案为:变大.
点评:
此题主要考查了方差的定义,正确把握方差中每个数据的意义是解题关键.
15.(2分)(2015?南京)如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E= 215 °.
考点:
圆内接四边形的性质.菁优网版权所有
分析:
连接CE,根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°,再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD,然后求解即可.
解答:
解:如图,连接CE,
∵五边形ABCDE是圆内接五边形,
∴四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠B+∠AEC=180°,
∵∠CED=∠CAD=35°,
∴∠B+∠E=180°+35°=215°.
故答案为:215.
点评:
本题考查了圆内接四边形的性质,同弧所对的圆周角相等的性质,熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键.
16.(2分)(2015?南京)如图,过原点O的直线与反比例函数y1,y2的图象在第一象限内分别交于点A,B,且A为OB的中点,若函数y1=
,则y2与x的函数表达式是 y2=
.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
过A作AC⊥x轴于C,过B作BD⊥x轴于D,由于点A在反比例函数y1=
上,设A(a,
),求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果.
解答:
解:过A作AC⊥x轴于C,过B作BD⊥x轴于D,
∵点A在反比例函数y1=
上,
∴设A(a,
),
∴OC=a,AC=
,
∵AC⊥x轴,BD⊥x轴,
∴AC∥BD,
∴△OAC∽△OBD,
∴
,
∵A为OB的中点,
∴
=
,
∴BD=2AC=
,OD=2OC=2a,
∴B(2a,
),
设y2=
,
∴k=2a?
=4,
∴y2与x的函数表达式是:y2=
.
故答案为:y2=
.
点评:
本题主要考查了待定系数法求反比例函数,相似三角形的判定和性质,反比例函数
中k的几何意义要注意数形结合思想的运用.
三、解答题(本大题共11小题,共88分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)(2015?南京)解不等式2(x+1)﹣1≥3x+2,并把它的解集在数轴上表示出来.
考点:
解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集.菁优网版权所有
分析:
不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集,再在数轴上表示出不等式的解集即可.
解答:
解:去括号,得2x+2﹣1≥3x+2,
移项,得2x﹣3x≥2﹣2+1,
合并同类项,得﹣x≥1,
系数化为1,得x≤﹣1,
这个不等式的解集在数轴上表示为:
点评:
本题考查了一元一次不等式的解法,在数轴上表示不等式的解集,>,≥向右画;<,≤向左画,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
18.(7分)(2015?南京)解方程:
.
考点:
解分式方程.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
观察可得最简公分母是x(x﹣3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
解答:
解:方程两边同乘以x(x﹣3),得2x=3(x﹣3).
解这个方程,得x=9.
检验:将x=9代入x(x﹣3)知,x(x﹣3)≠0.
所以x=9是原方程的根.
点评:
本题考查分式方程的解法,需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验.
19.(7分)(2015?南京)计算:(
﹣
)÷
.
考点:
分式的混合运算.菁优网版权所有
分析:
首先将括号里面通分运算,进而利用分式的性质化简求出即可.
解答:
解:(
﹣
)÷
=[
﹣
]×
=[
﹣
]×
=
×
=
.
点评:
此题主要考查了分式的混合运算,正确进行通分运算是解题关键.
20.(8分)(2015?南京)如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且
=
.
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB的大小.
考点:
相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
(1)由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可证明△ACD∽△CBD;
(2)由(1)知△ACD∽△CBD,然后根据相似三角形的对应角相等可得:∠A=∠BCD,然后由∠A+∠ACD=90°,可得:∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.
解答:
(1)证明:∵CD是边AB上的高,
∴∠ADC=∠CDB=90°,
∵
=
.
∴△ACD∽△CBD;
(2)解:∵△ACD∽△CBD,
∴∠A=∠BCD,
在△ACD中,∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
即∠ACB=90°.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质,解题的关键是:熟记相似三角形的判定定理与性质定理.
21.(8分)(2015?南京)为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况,教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测,整理样本数据,并结合2010年抽样结果,得到下列统计图:
(1)本次检测抽取了大、中、小学生共 10000 名,其中小学生 4500 名;
(2)根据抽样的结果,估计2014年该地区10万名大、中、小学生中,50米跑成绩合格的中学生人数为 36000 名;
(3)比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况,写出一条正确的结论.
考点:
条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.菁优网版权所有
分析:
(1)根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测”,可得100000×10%,即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名,再根据扇形图可得小学生所占45%,即可解答;
(2)先计算出样本中50米跑成绩合格的中学生所占的百分比,再乘以10万,即可解答;
(3)根据条形图,写出一条即可,答案不唯一.
解答:
解:(1)100000×10%=10000(名),10000×45%═4500(名).
故答案为:10000,4500;
(2)100000×40%×90%=36000(名).
故答案为:36000;
(3)例如:与2010年相比,2014年该地区大学生50米跑成绩合格率下降了5%(答案不唯一).
点评:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
22.(8分)(2015?南京)某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张,从中随机取出2张纸币.
(1)求取出纸币的总额是30元的概率;
(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率.
考点:
列表法与树状图法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)先列表展示所有3种等可能的结果数,再找出总额是30元所占结果数,然后根据概率公式计算;
(2)找出总额超过51元的结果数,然后根据概率公式计算.
解答:
解:(1)列表:
共有3种等可能的结果数,其中总额是30元占1种,
所以取出纸币的总额是30元的概率=
;
(2)共有3种等可能的结果数,其中总额超过51元的有2种,
所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为
.
点评:
本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.
23.(8分)(2015?南京)如图,轮船甲位于码头O的正西方向A处,轮船乙位于码头O的正北方向C处,测得∠CAO=45°,轮船甲自西向东匀速行驶,同时轮船乙沿正北方向匀速行驶,它们的速度分别为45km/h和36km/h,经过0.1h,轮船甲行驶至B处,轮船乙行驶至D处,测得∠DBO=58°,此时B处距离码头O多远?(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)
考点:
解直角三角形的应用.菁优网版权所有
分析:
设B处距离码头Oxkm,分别在Rt△CAO和Rt△DBO中,根据三角函数求得CO和DO,再利用DC=DO﹣CO,得出x的值即可.
解答:
解:设B处距离码头Oxkm,
在Rt△CAO中,∠CAO=45°,
∵tan∠CAO=
,
∴CO=AO?tan∠CAO=(45×0.1+x)?tan45°=4.5+x,
在Rt△DBO中,∠DBO=58°,
∵tan∠DBO=
,
∴DO=BO?tan∠DBO=x?tan58°,
∵DC=DO﹣CO,
∴36×0.1=x?tan58°﹣(4.5+x),
∴x=
≈
=13.5.
因此,B处距离码头O大约13.5km.
点评:
本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握三角形中的边角关系是解题的关键.
24.(8分)(2015?南京)如图,AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上,连接EF,∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证:四边形EGFH是矩形;
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索,过G作MN∥EF,分别交AB,CD于点M,N,过H作PQ∥EF,分别交AB,CD于点P,Q,得到四边形MNQP,此时,他猜想四边形MNQP是菱形,请在下列框中补全他的证明思路.
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质;矩形的判定.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
(1)利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°,进而得出∠GEH=90°,进而求出四边形EGFH是矩形;
(2)利用菱形的判定方法首先得出要证?MNQP是菱形,只要证MN=NQ,再证∠MGE=∠QFH得出即可.
解答:
(1)证明:∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=
∠BEF,
∵FH平分∠DFE,
∴∠EFH=
∠DFE,
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∴∠FEH+∠EFH=
(∠BEF+∠DFE)=
×180°=90°,
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,
∴∠EHF=180°﹣(∠FEH+∠EFH)=180°﹣90°=90°,
同理可得:∠EGF=90°,
∵EG平分∠AEF,
∴∠GEF=
∠AEF,
∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=
∠BEF,
∵点A、E、B在同一条直线上,
∴∠AEB=180°,
即∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠FEG+∠FEH=
(∠AEF+∠BEF)=
×180°=90°,
即∠GEH=90°,
∴四边形EGFH是矩形;
(2)解:答案不唯一:
由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易证四边形MNQP是平行四边形,
要证?MNQP是菱形,只要证MN=NQ,由已知条件:FG平分∠CFE,MN∥EF,
故只要证GM=FQ,即证△MGE≌△QFH,易证 GE=FH、∠GME=∠FQH.
故只要证∠MGE=∠QFH,易证∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得证.
点评:
此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质,根据题意得出证明菱形的方法是解题关键.
25.(10分)(2015?南京)如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
考点:
作图—应用与
作图;等腰三角形的判定;勾股定理;正方形的性质.菁优网版权所有
专题:
作图题.
分析:
①以A为圆心,以3为半径作弧,交AD、AB两点,连接即可;②连接AC,在AC上,以A为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交AD、AB两点,连接即可;③以A为端点在AB上截取3个单位,以截取的点为圆心,以3个单位为半径画弧,交BC一个点,连接即可;④连接AC,在AC上,以C为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交BC、DC两点,然后连接A与这两个点即可;⑤以A为端点在AB上截取3个单位,再作着个线段的垂直平分线交CD一点,连接即可.
解答:
解:满足条件的所有图形如图所示:
点评:
此题主要考查了作图﹣应用与设计作图,关键是掌握等腰三角形的判定方法.
26.(8分)(2015?南京)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线交于点E,且DC=DE.
(1)求证:∠A=∠AEB;
(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD,求证:△ABE是等边三角形.
考点:
圆内接四边形的性质;等边三角形的判定与性质;圆周角定理.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
(1)根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°,根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°,进而得到∠A=∠DCE,然后利用等边对等角可得∠DCE=∠AEB,进而可得∠A=∠AEB;
(2)首先证明△DCE是等边三角形,进而可得∠AEB=60°,再根据∠A=∠AEB,可得△ABE是等腰三角形,进而可得△ABE是等边三角形.
解答:
证明:(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠BCD=180°,
∵∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠DCE,
∵DC=DE,
∴∠DCE=∠AEB,
∴∠A=∠AEB;
(2)∵∠A=∠AEB,
∴△ABE是等腰三角形,
∵EO⊥CD,
∴CF=DF,
∴EO是CD的垂直平分线,
∴ED=EC,
∵DC=DE,
∴DC=DE=EC,
∴△DCE是等边三角形,
∴∠AEB=60°,
∴△ABE是等边三角形.
点评:
此题主要考查了等边三角形的判定和性质,以及圆内接四边形的性质,关键是掌握圆内接四边形对角互补.
27.(10分)(2015?南京)某企业生产并销售某种产品,假设销售量与产量相等,如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位:元)、销售价y2(单位:元)与产量x(单位:kg)之间的函数关系.
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义;
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式;
(3)当该产品产量为多少时,获得的利润最大?最大利润是多少?
考点:
二次函数的应用.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;
(2)根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可;
(3)利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数,求得最值即可.
解答:
解:(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义:当产量为130kg时,该产品每千克生产成本与销售价相等,都为42元;
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1,
∵y=k1x+b1的图象过点(0,60)与(90,42),
∴
∴
,
∴这个一次函数的表达式为;y=﹣0.2x+60(0≤x≤90);
(3)设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2,
∵经过点(0,120)与(130,42),
∴
,
解得:
,
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120(0≤x≤130),
设产量为xkg时,获得的利润为W元,
当0≤x≤90时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣(﹣0.2x+60)]=﹣0.4(x﹣75)2+2250,
∴当x=75时,W的值最大,最大值为2250;
当90≤x130时,W=x[(﹣0.6x+120)﹣42]=﹣0.6(x﹣65)2+2535,
∴当x=90时,W=﹣0.6(90﹣65)2+2535=2160,
由﹣0.6<0知,当x>65时,W随x的增大而减小,∴90≤x≤130时,W≤2160,
因此当该产品产量为75kg时,获得的利润最大,最大值为2250.
点评:
本题考查了二次函数的应用,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型,难度不大.
参与本试卷答题和审题的老师有:张其铎;放飞梦想;zcl5287;caicl;sdwdmahongye;王学峰;1987483819;gbl210;sd2011;星期八;733599;zhangCF;CJX;gsls;守拙;sjzx(排名不分先后)
菁优网
2015年9月30日