浙江2020版高考数学复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形应用举例课件

4.7　解三角形应用举例 -6- 知识梳理 双击自测 1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为 (　　) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 知识梳理 -17- 考点一 考点二 考点三 测量高度问题(考点难度★★) 【例2】 (1)(2018浙江义乌期末)在一幢10 m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°,塔基的俯角为30°,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为　　　　 m.  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 -4- 知识梳理 双击自测 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方　的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方　的角叫做俯角(如图①).  (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等. (3)方位角:指从正北方向顺时针　转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).  (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 知识梳理 -5- 知识梳理 双击自测 3.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 知识梳理 -7- 知识梳理 双击自测 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80° 答案 解析 解析 关闭 由条件及图可知,A=∠CBD=40°, 又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°.所以∠DBA=10°. 因此灯塔A在灯塔B南偏西80°. 答案 解析 关闭 D 知识梳理 -8- 知识梳理 双击自测 3.一架飞机在海拔800 m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别为30°和45°,则这个海岛的宽度为　　　　　　　　.  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 知识梳理 -9- 知识梳理 双击自测 4.(教材改编)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10 n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于(　　) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 知识梳理 -10- 知识梳理 双击自测 5.(2018江苏南京模拟)已知某台风中心位于海港城市A东偏北α的150千米处,以每小时v千米的速度向正西方向快速移动,2.5小时后到达距海港城市A西偏北β的200千米处,若4cos α=3cos β,则风速v的值为　　　千米/时.  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 知识梳理 -11- 知识梳理 双击自测 自测点评 1.仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的. 2.利用方位角(或方向角)和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置. 3.“方位角”与“方向角”的区别:方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围是 . 知识梳理 -12- 考点一 考点二 考点三 测量距离问题(考点难度★) 【例1】 (1)某人为测出所住小区的面积,进行了一些测量工作,最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形,测得的数据如图所示,则AC=　　　　 km;该图所示的小区的面积是　　　 km2.  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 -13- 考点一 考点二 考点三 (2)(2018广东冲刺模拟)大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔,是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑.如图所示,已知∠ABE=α,∠ADE=β,垂直放置的标杆BC的高度h=4米,大雁塔高度H=64米.某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α,β的关系.该小组测得α,β的若干数据并分析测得的数据后,发现适当调整标杆到大雁塔的距离d,使α与β的差较大时,可以提高测量精确度,求α-β最大时,标杆到大雁塔的距离d为　　米.  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 -14- 考点一 考点二 考点三 总结1.测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决. 2.测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决. 3.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. -15- 考点一 考点二 考点三 对点训练 (2018福建高三模拟)如图,已知两条公路AB,AC的交汇点A处有一学校,现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,在两公路旁M,N (1)试用θ表示AM,并写出θ的范围; (2)当θ为多大时,工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远). -16- 考点一 考点二 考点三 所以AM=4sin(75°+θ)(0°<θ<105°). (2)在△APM中,AM=4sin(75°+θ), 所以AP2=AM2+MP2-2AM·MPcos∠AMP =20-16sin(2θ+180°) =20+16sin 2θ(0°<θ<105°). 当且仅当2θ=90°,即θ=45°时,AP2取得最大值36,即AP取得最大值6. 所以当θ=45°时,工厂产生的噪声对学校的影响最小. -18- 考点一 考点二 考点三 (2)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= 　　　　　 m.  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 -19- 考点一 考点二 考点三 方法总结求解高度问题首先应分清: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正弦定理、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题,注意数形结合思想的运用. -20- 考点一 考点二 考点三 对点训练 如图,测量河对岸的旗杆高AB时,选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=a,并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°,则旗杆高AB为　　　　　.  答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 -22- 考点一 考点二 考点三 (2)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为(　　) 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 -23- 考点一 考点二 考点三 方法总结1.对于和航行有关的问题,要抓住时间和路程两个关键量,解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解. 2.根据示意图,把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解不出来,需要先在其他三角形中求解相关量. -24- 考点一 考点二 考点三 对点训练某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试航行(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. -25- 考点一 考点二 考点三 解:(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里, -26- 考点一 考点二 考点三 (2)设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°), 此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20. 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时. -27- 思想方法——函数思想在解三角形中的应用 三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题,这需要建立有关量的函数关系式,通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用,经常与正弦定理、余弦定理相结合,此类问题综合性较强,能力要求较高,要有一定的分析问题、解决问题的能力. 学科素养 -28- 【典例】 如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是　　　　　.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)  学科素养 -29- 解析:如图,过点P作PO⊥BC于点O, 连接AO, 则∠PAO=θ. 学科素养 -30- 答题指导通过正弦定理和余弦定理建立边角关系,通过函数思想可以求出边或角的最值. 高分策略1.解三角形实际应用问题的一般步骤是:审题—建模(准确地画出图形)—求解—检验作答. 2.解三角形应用题的两种情形: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形.先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 学科素养 年份 2018 2017 2016 2015 2014 解三角形应用举例 17,4分(理) 备考定向(本节考查要求为学科指导意见要求,考试说明无直接的考查要求条目) 考查要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 考向分析 高考对正弦定理、余弦定理在现实生活中的应用的考查不是很多,主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质,基本不等式等交汇命题. 图① 图② ∵∠ACB=45°,∠CAB=105°, ∴∠ABC=180°-105°-45°=30°. 在△ABC中,由正弦定理得, ∴AB==50(m). A A.50 m B.50 m C.25 m D. m (800-800)m 由图可知,PQ=CQ-CP==(800-800)m. D A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 如图,在△ABC中, AB=10,∠A=60°, ∠B=75°,∠C=45°, , ∴BC=5 如图所示,AB=150,AC=200,∠B=α,∠C=β, 在Rt△ADB中,AD=ABsin α=150sin α,BD=ABcos α, 在Rt△ADC中,AD=ACsin β=200sin β,CD=ACcos β, ∴150sin α=200sin β, 即3sin α=4sin β,① 又cos α=cos β,② 由①②解得sin β=,cos β=,sin α=,cos α=, ∴BD=ABcos α=150=90, CD=ACcos β=200=160, ∴BC=BD+CD=90+160=250,∴v==100, 故答案为100. 100 如图,连接AC,由余弦定理可知AC=,故∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=150°, 即AD=, 故S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12(km2). 　 由题意得,可得BD=, 因此tan(α-β)=, 当且仅当d=16时,等号成立,因此当d=16时,tan(α-β)取最大值,即α-β取最大,即标杆到大雁塔的距离d为16 16 注:sin 75°= (异于点A)处设两个销售点,且满足∠A=∠PMN=75°,MN=(千米),PM=2(千米),设∠AMN=θ. =16sin2(75°+θ)+12-16sin(75°+θ)cos(75°+θ) =8[1-cos(2θ+150°)]-8sin(2θ+150°)+12 =20-8[sin (2θ+150°)+cos(2θ+150°)] 解:(1)因为∠AMN=θ,在△AMN中,, 因为MN=, 40 如图所示,过房屋顶C作塔AB的垂线CE,垂足为E,则CD=10,∠ACE=60°,∠BCE=30°, ∴BE=CD=10,BC=2CD=20, EC=BD==10 ∵∠ACE=60°,∠AEC=90°, ∴AC=2CE=20, ∴AE==30. ∴AB=AE+BE=30+10=40. 故答案为40. 由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°. 又AB=600 m,故由正弦定理得,解得BC=300 m. 在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300=100(m). 100 在三角形BCD中,由正弦定理得BC=a. 在直角三角形ABC中,AB=BCtan 60°=aa. a　 2　　 如图所示,A,C分别表示缉私艇、走私船的位置,设经x小时后在B处追上走私船. 则AB=14x,BC=10x,∠ACB=120°,在△ABC中,由余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240·x·cos 120°,解得x=2. 故AB=28,sin α=,即所需时间为2小时,sin α= 由题图可知,∠ACB=120°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠ACB=a2+a2-2·a·a=3a2,解得AB=a(km). B A.a km B.a km C.a km D.2a km 即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. 则S= =, 故当t=时,Smin=10,v==30 故v2=900-0