高中数学第一章立体几何初步1.5.1平行关系的判定学案北师大版必修2

5.1　平行关系的判定 学习目标　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义(重点)；2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(重点)；3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题(重、难点). 知识点一　直线与平面平行的判定定理 语言叙述 符号示 图形表示 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 【预习评价】 　若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 提示　根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误，可能直线在平面内. 知识点二　平面与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 【预习评价】 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 提示　不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一　直线与平面平行的判定定理的应用 【例1】　如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明　(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD. ∵EH⃘平面BCD，BD平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD⃘平面EFGH， EH平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 规律方法　(1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线. (2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等. 【训练1】　已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图).求证：PQ∥平面CBE. 证明　方法一　作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN， ∵EA＝BD，AP＝DQ， ∴EP＝BQ. 又AB＝CD，∴PM綊QN， ∴四边形PMNQ是平行四边形， ∴PQ∥MN. 又PQ⃘平面CBE， MN平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 方法二　如图所示， 连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK. ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ， ∴ 又AD∥BK， ∴ ∴PQ∥EK， 又PQ⃘平面CBE，EK平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 题型二　面面平行判定定理的应用 【例2】　如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC. 证明　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， 所以MQ∥AD，NQ∥BP. 因为BP平面PBC，NQ⃘平面PBC， 所以NQ∥平面PBC. 又因为底面ABCD为平行四边形， 所以BC∥AD，所以MQ∥BC. 因为BC平面PBC，MQ⃘平面PBC， 所以MQ∥平面PBC. 又因为MQ∩NQ＝Q， 所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC. 规律方法　(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面. (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. 【训练2】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD. 证明　如图所示，连接B1D1， ∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD， ∴PN∥BD， 又PN⃘平面A1BD， BD平面A1BD， ∴PN∥平面A1BD， 同理可得MN∥平面A1BD， 又∵MN∩PN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD. 【探究1】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由. 解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下： 连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点， ∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB， ∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA. 又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO. 又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B， ∴平面D1BQ∥平面PAO. 【探究2】　如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BC＝CD＝ 解　在梯形ABCD中，AB与CD不平行，且BC的长小于AD的长. 如图所示，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M为所求的一个点. 理由如下： 由已知，得BC∥ED，且BC＝ED. 所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CM∥EB. 又EB平面PBE，CM⃘平面PBE， 所以CM∥平面PBE. (说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) 【探究3】　在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由. 解　存在.证明如下： 如图，取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD，设BD∩AC＝O. ∵底面ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点.连接BF，MF，BM，OE. ∵PE∶ED＝2∶1，F为PC的中点，M为PE的中点，E为MD的中点，O为BD的中点， ∴MF∥EC，BM∥OE. ∵MF⃘平面AEC，CE平面AEC， BM⃘平面AEC，OE平面AEC， ∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC. ∵MF∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC. 又BF平面BMF，∴BF∥平面AEC. 规律方法　要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即： 课堂达标 1.直线a，b为异面直线，过直线a 与直线b平行的平面(　　) A.有且只有一个 B.有无数多个 C.至多一个 D.不存在 解析　在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因a∩b′＝A，所以a与b′确定一平面并且只有一个平面，故选A. 答案　A 2.平面α与平面β平行的条件可以是(　　) A.α内的一条直线与β平行 B.α内的两条直线与β平行 C.α内的无数条直线与β平行 D.α内的两条相交直线分别与β平行 解析　若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的；而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行；C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行.由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的. 答案　D 3.设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有________(填序号). ①lα，mα，且l∥β，m∥β；②lα，mα，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，lα，mα，且l∥β，m∥β. 解析　①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确. 答案　④ 4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论： ①平面EFGH∥平面ABCD； ②PA∥平面BDG； ③EF∥平面PBC； ④FH∥平面BDG； ⑤EF∥平面BDG； 其中正确结论的序号是________. 解析　把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可. 答案　①②③④ 5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1. 证明　如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE. ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1. ∵DE平面CDB1，AC1⃘平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1. 课堂小结 1.判定直线与平面平行的方法： (1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； (2)判定定理：(线线平行⇒线面平行)， 2.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成. 3.证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. 基础过关 1.下列说法正确的是(　　) A.如果两个平面有三个公共点，那么它们重合 B.过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C.在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D.如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 解析　由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无公共点，故选择C. 答案　C 2.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　) A.不可能作出 B.只能作出一个 C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在 解析　设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行. 答案　D 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　　) A.不存在 B.有1条 C.有2条 D.有无数条 解析　画出平面D1EF与平面ADD1A1的交线D1G，如图所示.于是在平面ADD1A1内与直线D1G平行的直线都与平面D1EF平行，有无数条. 答案　D 4.设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断： ①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________. 解析　若m∥n，m∥α，则n∥α，同样，若m∥n，n∥α，则m∥α. 答案　①②⇒③(或①③⇒②) 5.三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________. 解析　如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF平面SBC，EG⃘平面SBC，∴EG∥平面SBC. 答案　平行 6.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点.证明：平面PAC∥平面EFG. 证明　因为EF是△PAB的中位线， 所以EF∥PA. 又EF⃘平面PAC，PA平面PAC， 所以EF∥平面PAC. 同理得EG∥平面PAC. 又EF平面EFG， EG平面EFG，EF∩EG＝E， 所以平面PAC∥平面EFG. 7.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE. 证明　因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF， 由于FG∥BC，FG＝ 因此FG∥AM且FG＝AM， 所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA. 又FA平面ABFE，GM⃘平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE. 能力提升 8.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　) A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G 解析　如图，∵EG∥E1G1， EG⃘平面E1FG1， E1G1平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1， 又G1F∥H1E， 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG＝E， ∴平面E1FG1∥平面EGH1. 答案　A 9.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) 解析　由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ，故选A. 答案　A 10.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中， ①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF. 以上四个命题中，正确命题的序号是________. 解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图： 则易判定四个命题都是正确的. 答案　①②③④ 11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1. 解析　∵HN∥BD，HF∥DD1， HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D， ∴平面NHF∥平面B1BDD1， 故线段FH上任意点M与N连结， 有MN∥平面B1BDD1. 答案　M∈线段FH 12.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明　由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D平面ADC1， EB⃘平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1綊BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形， 所以A1E∥AD，又A1E⃘平面ADC1，AD平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1， A1E平面A1EB，EB平面A1EB， 且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1. 13.(选做题)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D? 解　如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM. 因为M是AB的中点， 所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG. 所以四边形MEFG是平行四边形. 因为ME∥BB1，BB1平面BB1D1D，ME⃘平面BB1D1D， 所以ME∥平面BB1D1D. 在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1平面BB1D1D，EF⃘平面BB1D1D， 所以EF∥平面BB1D1D. 又因为ME∩EF＝E，且ME平面MEFG，EF平面MEFG， 所以平面MEFG∥平面BB1D1D. 在FG上任取一点N，连接MN， 所以MN平面MEFG. 所以MN与平面BB1D1D无公共点. 所以MN∥平面BB1D1D. 总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D， 即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D. 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