【高一】上海重点高中函数综合题

【16】f(x)+f(1-x) =a^x/(a^x+√a)+a^(1-x)/(a^(1-x)+√a) =a^x[a^(1-x)+√a]+a^(1-x)(a^x+√a)/(a^x+√a)(a^(1-x)+√a) =[a+a^x√a+a+a^(1-x)√a]/[a+a^x√a+a^(1-x)√a+a) =1 已知函数f(x)=(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5,g(X)=(x的1/3次方+x的-1/3次方）/5 （1）证明：f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间 （2）分别计算f（4）-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值,由此解概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个不等式,并加以证明. 【】1.F(-X)=(x的-1/3次方-x的1/3次方）/5=-(x的1/3次方-x的-1/3次方）/5=-F(X) 所以F(X)是奇函数.对F(x)求导得F'(X)=(X的-2/3+X的-4/3）/15 令F'(X)=0得x=0 列表 所以F(X)在（-无穷,0）上单调递减 在（0,+无穷）上单调递增 2.首先,F(X)G(X)=)=(x的2/3次方-x的-2/3次方）/25 所以 f（4）-5f(2)g(2) =（4的1/3次方-4的-1/3次方）-5*（2的2/3次方-2的-2/3次方）/25） =（2的2/3次方-2的-2/3次方）/5-（2的2/3次方-2的-2/3次方）/5 =0 f（9）-5f(3)g(3) =（9的1/3次方-9的-1/3次方）-5*（3的2/3次方-3的-2/3次方）/25） =（3的2/3次方-3的-2/3次方）/5-（3的2/3次方-3的-2/3次方）/5 =0 推论：F(X的2次方）-5*F(X)G(X)=0 证明：由上得F(X)G(x)=(x的2/3次方-x的-2/3次方）/25 故5*F(X)G(x)=（x的2/3次方-x的-2/3次方）/5 同时,F(X的2次方）=（x的2/3次方-x的-2/3次方）/5 所以有F(X的2次方）-5*F(X)G(X)=0 【15】已知函数， ， （1） 证明：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间； （2）分别计算f（4）- 5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）所有不等于零的实数x都成立一个等式，并加以证明。 解：由已知中函数 ， ∴f（4）-5f（2）g（2） =f（22）-5f（2）g（2） = -5? ? = - =0 f（9）-5f（3）g（3） =f（32）-5f（3）g（3） = -5? ? = - =0 由此可推断f（x2）-5f（x）g（x）=0 故答案为：f（x2）-5f（x）g（x）=0 【15】 【14】 已知函数Y=(x)=1-2a^x-a^2x(a>0且a不等于1) 1:求函数f(x)的值域; 2:若x属于[-2,1]时,函数f(x)的最小值为-7,求a的值和函数f(x)的最大值. 解    （1）设a^x=t,则t＞0,y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2. 当t=0时,y=1,故值域(-∞,1). （2）若x∈[-2,1],则1/a2≤a^x≤a, 即1/a2≤t≤a, 当t=a即x=1时,最小值-a2-2a+1=-7,解得 a=2,故y=-t2-2t+1,(t=2^x) 当2^x=1/4即x=-2时,最大值=7/16. 2、f(x)=ax+1/a（1-x)=[(a2-1)x/a]+（1/a）, 当a＞1时,函数递增,最小值是x=0时1/a,此时最小值1/a∈(0,1)； 当0＜a＜1时,函数递减,最小值是x=1时a.此时最小值a∈(0,1)； 当a=1时,f(x)=1.函数值恒等于1. 综上,最大值1. 解】（1）f（x）＝2－（1＋a^x）^2, ∵a^x>0,∴f（1）1,∴当x∈〔－2,1〕时,a^2≤a^x≤a, ∴2－（a＋1）^2≤f（x）≤2－（a^2＋1）^2, ∴2－（a＋1）^2＝－7,得a＝2． 此时,f（x）的最大值为2－（2^2＋1）^2＝ 7/16． 【14】已知函数f（x）=-a2x-2ax+1（a＞1） （1）求函数f（x）的值域； （2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值． 1） 令t=ax＞0，∴f（x）=g（t）=-t2-2t+1=-（t+1）2+2 ∵t＞0，∴函数在（0，+∞）上单调减 ∴g（t）＜1 ∴函数f（x）的值域为（-∞，1） （2）∵a＞1，∴x∈[-2，1]时，t=ax∈[a-2，a]， ∵f（x）=g（t）=-t2-2t+1=-（t+1）2+2 ∴函数f（x）在[a-2，a]上单调减 ∴x=a时，函数f（x）取得最小值 ∵x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7， ∴-（a+1）2+2=-7 ∴（a+1）2=9 ∴a=2或-4（舍去） 所以a=2． 函数y=2^｜x｜的图像 y=x^-1/2的图像 【18】已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1（a>0且a不等于1） （1）求f(x)的定义域和值域； （2）讨论f(x)的奇偶性； （3）讨论f(x)的单调性。 定义域(-∞,+∞) 只需保证分母不为零即可，而a的x次方恒大于零，于是可解得上面的答案 2、值域(-1,1) 将f(x)变形为f(x)=1-2/(a的x次方+1)，这里(a的x次方+1)的值域是(1,+∞),所以[1/(a的x次方+1)]的值域是(0,1),则[-2/(a的x次方+1)]的值域是(-2,0), 于是f(x)值域(-1,1) 3、奇函数 f(-x)=(a的-x次方减1)/(a的-x次方+1) 将a的-x次方写成1/a的x次方，通分，化简后得f(-x)=-(a的x次方减1)/(a的x次方+1) =-f(x) 4、单调递增函数 如果是大题，要严格按照定义推理，就是设x1＞x2，推出f(x1)＞f(x2) 如果是小题，或不要求证明，可以这样判断，很简单的办法。a的x次方↗，则[1/(a的x次方+1)]↘，于是[-2/(a的x次方+1)]↗，所以f(x)=1-2/(a的x次方+1)也是单调递增函数 已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1（a>0且a不等于1） 已知函数f(x)= (a>0，且a≠1) （1）求f(x)的定义域和值域； 因为g(x)=a^x当a＞0且a≠1时，其定义域为R，值域为g(x)＞0 所以，a^x+1＞1 故f(x)的定义域为x∈R 又，f(x)=（a^x-1)/(a^x+1)=[(a^x+1)-2]/(a^x+1) =1-[2/(a^x+1)] 因为a^x+1＞1，所以0＜1/(a^x+1)＜1 所以，0＜2/(a^x+1)＜2 所以，-2＜-2/(a^x+1)＜0 所以，-1＜f(x)=1-[2/(a^x+1)]＜1 即，值域f(x)∈(-1 （2）讨论f(x)的奇偶性； f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1] =[1-a^x]/[1+a^x]【分子分母同乘以不为零的数a^x】 =-(a^x-1)/(a^x+1) =-f(x) 所以，f(x)为奇函数 （3）讨论f(x)的单调性。 由(2)知，f(x)为奇函数，所以只讨论在x＞0时的情况 ①当a＞1时，a^x为增函数 令：0＜x1＜x2 则，f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)/(a^x1+1)]-[(a^x2-1)/(a^x2+1)] =[(a^x1-1)*(a^x2+1)-(a^x2-1)*(a^x1+1)]/[(a^x1+1)*(a^x2+1)] 上述分式的分母一定＞0 分子=[a^(x1+x2)-a^x2+a^x1-1]-[a^(x1+x2)-a^x1+a^x2-1] =2(a^x1-a^x2) 因为a^x为增函数，且x1＜x2 所以，a^x1＜a^x2 所以，f(x1)-f(x2)＜0 即，f(x1)＜f(x2) 所以，f(x)为增函数 而f(x)为R上的奇函数 所以，在R上，f(x)为增函数 ②当0＜a＜1时，同理可得f(x)在R上为减函数