Newmark

本文采用Newmark-β法求解车—桥动力耦合体系的振动微分方程。 Newmark-β法假定： (2-141) (2-142) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t到t+?t时刻的速度不变，取为常数 。研究表明，当β≥0.5，?γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。 由式(2-141)和式(2-142)可得到用 及 ， ， 表示的 ， 表达式，即有 (2-143) (2-144) 考虑t+?t时刻的振动微分方程为： (2-145) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于ut+?t的方程 (2-146) 式中 求解式(2-146)可得 ，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出 和 。 由此，Newmark-β法的计算步骤如下： 1.初始计算： （1）形成刚度矩阵[K]、质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]； （2）给定初始值 ， 和 ； （3）选择积分步长?t、参数β、γ，并计算积分常数 ， ， ， ， ， ， ， ； （4）形成有效刚度矩阵 ； 2.对每个时间步的计算： （1）计算t+?t时刻的有效荷载： （2）求解t+?t时刻的位移： （3）计算t+?t时刻的速度和加速度： Newmark-β方法是一种无条件稳定的隐式积分格式，时间步长?t的大小不影响解的稳定性，?t的选择主要根据解的精度确定。