高中数学 含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法导学案 新人教A版必修5

广东省化州市实验中学2014高中数学 含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法导学案 新人教A版必修5 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 1、 分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 恒成立，只须求出 ，则 ；若 恒成立，只须求出 ，则 ，转化为函数求最值。 例1、已知函数 ，若对任意 恒有 ，试确定 的取值范围。 解：根据题意得： 在 上恒成立， 即： 在 上恒成立， 设 ，则 当 时， 所以 在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若 恒成立，只须求出 ，则 ，然后解不等式求出参数 的取值范围；若 恒成立，只须求出 ，则 ，然后解不等式求出参数 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 例2、已知 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。 解：令 ， 所以原不等式可化为： ， 要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。 2、 分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围。 解：设 ，则问题转化为当 时， 的最小值非负。 （1） 当 即： 时， 又 所以 不存在； （2） 当 即： 时， 又 （3） 当 即： 时， 又 EMBED Equation.DSMT4 综上所得： 变式：若对于 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围。 3、 确定主元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 看成是主元（未知数），而把另一个变量 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 例4、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。 解：设 ，对满足 的 ， 恒成立， 解得： 变式：已知不等式 对于 恒成立，求参数 的取值范围。 4、 利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即： ，则 且 ，不等式的解即为实数 的取值范围。 例5、当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 解： （1） 当 时， ，则问题转化为 （2） 当 时， ，则问题转化为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 综上所得： 或 5、 数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。 例6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。 解：由题意知： 在 内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数 和 观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立； 当 时，由图可知， 的图象必须过点 或在这个点的上方，则， 综上得： 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合，选择适当方法准确而快速地解题。 _1261981882.unknown _1261982016.unknown _1261982083.unknown _1261982151.unknown _1261982421.unknown _1261982443.unknown _1261982876.unknown _1261983006.unknown _1261983051.unknown _1261983079.unknown _1261983660.unknown _1261983744.unknown _1261983795.unknown _1261983837.unknown _1261983908.unknown _1261983938.unknown _1261983959.unknown _1261986627.unknown _1261986671.unknown _1261986710.unknown _1261986863.unknown _1261986904.unknown _1261986924.unknown _1261986933.unknown _1261989987.unknown _1261990018.unknown _1261994129.unknown _1261994169.unknown _1261995158.unknown _1261996675.unknown _1261996792.unknown _1261998723.unknown _1261998877.unknown _1261998891.unknown _1261999196.unknown _1261999273.unknown _1261999330.unknown _1261999376.unknown _1261999464.unknown _1261999573.unknown _1261999574.unknown _1261999759.unknown _1261999779.unknown _1261999809.unknown _1261999894.unknown _1262000044.unknown _1262000081.unknown _1262000106.unknown _1262000152.unknown _1262000242.unknown _1262000401.unknown _1262000565.unknown _1262000566.unknown _1262000837.unknown _1262000972.unknown _1262001091.unknown _1262001104.unknown _1262001120.unknown _1262001607.unknown _1262001685.unknown _1262001725.unknown _1262001765.unknown _1262001879.unknown _1262001923.unknown _1262001958.unknown _1262001985.unknown _1262002027.unknown _1262002070.unknown _1262002212.unknown _1262002213.unknown _1262002356.unknown _1262002452.unknown _1262002488.unknown _1262002934.unknown _1262003007.unknown _1262003073.unknown _1262003095.unknown _1262003216.unknown _1262003265.unknown _1262003360.unknown _1262003403.unknown _1262003437.unknown _1262003467.unknown _1262003498.unknown _1262003646.unknown _1262003647.unknown _1262003648.unknown _1262003703.unknown _1262003794.unknown _1262003815.unknown _1262004252.unknown _1262004342.unknown _1262004546.unknown _1262004578.unknown _1262004579.unknown _1458503952.unknown _1458504068.unknown _1458504081.unknown _1458504586.unknown _1458504601.unknown