数学分析(信阳师范学院)习题库第十五章 傅里叶级数

第十五章 傅里叶级数 1 三角级数与傅里叶级数 1．证明 (1) ， ， ， ， 是 上的正交系； (2) ， ， ， ， 是 上的正交系； (3) 1， ， ， ， ， 是 上的正交系； (4) 1， ， ， ， ， 不是 上的正交系； 2．求下列周期为 的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式 ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) ； (10) . 3．设 以 为周期，在 绝对可积，证明： (1) 如果函数 在 满足 ，则 ； (2) 如果函数 在 满足 ，则 . 2 傅里叶级数的收敛性 1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ； (2) ； 2．由展开式 ， (1) 用逐项积分法求 ， ， 在 中的傅里叶展开式； (2) 求级数 ， 的和. 3． (1) 在 内，求 的傅里叶展开式； (2) 求级数 的和. 4．设 在 上逐段可微，且 . ， 为 的傅里叶系数， ， 是 的导函数 的傅里叶系数，证明： ， ， . 5．证明：若三角级数 中的系数 ， 满足关系 ， M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数. 6．设 ，求证： . 7．设 以 为周期，在 上单调递减，且有界，求证： . 8．设 以 为周期，在 上导数 单调上升有界. 求证： . 9．证明：若 在 点满足 阶的利普希茨条件，则 在 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子. 10．设 是以 为周期的函数，在 绝对可积，又设 是 的傅里叶级数的前n项部分和 ， 则 ， 其中 是狄利克雷核. 11．设 是以 为周期，在 连续，它的傅里叶级数在 点收敛. 求证： . 12．设 是以 为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则 . 13．设 是以 为周期，在 绝对可积. 又设 满足 存在. 证明 . 进一步，若 在 点连续，则 ，其中 . 3 任意区间上的傅里叶级数 1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间 展开 (2) ； (3) ； (4) 2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ； (2) . 3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ； (2) 4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) (2) . 5．把函数 在 上展开成余弦级数，并推出 . 6．将函数 分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中 7．应当如何把给定在区间 的可积函数延拓到区间 内，使得它在 中对应的傅里叶级数为： (1) ； (2) . 4 傅里叶级数的平均收敛性 1．若 , 以 为周期，在 平方可积， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 则 . 2．设 在 上平方可积，求证： EMBED Equation.DSMT4 ， 其中 . _1124293195.unknown _1124295823.unknown _1124301765.unknown _1124302832.unknown _1124305911.unknown _1124306029.unknown _1124572883.unknown _1124573039.unknown _1124573105.unknown _1124573268.unknown _1124573078.unknown _1124312914.unknown _1124312932.unknown _1124305938.unknown _1124306027.unknown _1124306028.unknown _1124306026.unknown _1124305924.unknown _1124303243.unknown _1124303486.unknown _1124303487.unknown _1124303282.unknown _1124303214.unknown _1124302497.unknown _1124302719.unknown _1124302740.unknown _1124302605.unknown _1124302064.unknown _1124302357.unknown _1124302004.unknown _1124300740.unknown _1124301065.unknown _1124301529.unknown _1124301680.unknown _1124301143.unknown _1124300976.unknown _1124301039.unknown _1124300810.unknown _1124300262.unknown _1124300487.unknown _1124300568.unknown _1124300392.unknown _1124300162.unknown _1124295932.unknown _1124295933.unknown _1124294382.unknown _1124295455.unknown _1124295650.unknown _1124295723.unknown _1124295481.unknown _1124295210.unknown _1124295307.unknown _1124295049.unknown _1124294559.unknown _1124294567.unknown _1124294485.unknown _1124293897.unknown _1124294125.unknown _1124294234.unknown _1124294330.unknown _1124294226.unknown _1124294101.unknown _1124294111.unknown _1124294001.unknown _1124294068.unknown _1124293513.unknown _1124293567.unknown _1124293814.unknown _1124293542.unknown _1124293277.unknown _1124293406.unknown _1124293226.unknown _1124292230.unknown _1124292513.unknown _1124292923.unknown _1124292995.unknown _1124293143.unknown _1124292960.unknown _1124292794.unknown _1124292910.unknown _1124292712.unknown _1124292384.unknown _1124292438.unknown _1124292501.unknown _1124292403.unknown _1124292375.unknown _1124292282.unknown _1124292318.unknown _1124292136.unknown _1124292159.unknown _1124274270.unknown _1124292094.unknown _1124274310.unknown _1124274373.unknown _1124274565.unknown _1124274344.unknown _1124274283.unknown _1124273719.unknown _1124274068.unknown _1124274243.unknown _1124274168.unknown _1124273745.unknown _1124273617.unknown