实验8数值分析实验报告8

数值分析课程实验 实验名称 特征值与特征向量的数值计算 1、 实验目的 掌握求矩阵的主特征值（即按模最大的特征值）和主特征向量的幂法； 初步了解幂法的加速。 二、用文字或图表实验过程和结果 算法流程图： 1.幂法 2.反幂法 题目 1． 已知矩阵 用幂法计算该矩阵主特征值和相应的特征向量。（容许误差 ） （其特征值为：6，3，1，对应特征向量为： ） （1） 编写化幂法的程序，求上述矩阵的主特征值和相应特征向量， 分别选择初值： ，观察所需的迭代次数和迭代结果，试说明幂法对初值的选择有什么要求。 （2） 基于原点平移加速的思想，通过对矩阵 （ 的值自己给定！）运用幂法求矩阵 的主特征值和主特征向量，在相同精度要求下，和（1）的结果进行比较，分析其加速效果。 答： （1）程序运行结果： 初值 主特征值 特征向量 迭代次数 6 22 6 33 1 1 由上面的运行结果与矩阵的实际特征值特征向量进行比较，可以看出，当初始向量接近主特征向量时，求出的是主特征值和主特征向量；当初始向量接近其他向量时，得出的并不是主特征值。所以在选取初值时，应尽可能的接近主特征值所对应的向量值。 （2）程序运行结果： 令 =2 初值 主特征值 特征向量 迭代次数 6 13 6 19 3 1 由上述运行结果可以看出，当令 =2时， 在相同精度的要求下，迭代次数显著降低了，这说明加速效果比幂法要好的多。 2． 已知矩阵 用反幂法计算该矩阵按模最小的特征值和相应的特征向量。（容许误差 ） （1） 将幂法的计算程序修改为反幂法的计算程序，对问题进行求解； （2） 已知矩阵 某个特征值的近似值为2.5，试计算该特征值！ 答： （1）程序运行结果： 初值 按模最小特征值 特征向量 迭代次数 1 13 1 13 1 13 由上述运行结果可以看出，用1题所给的各个初始值用反幂法求出的矩阵按模最小的特征值为1，特征向量为 。 （2）程序运行结果： 初值 接近2.5特征值 特征向量 迭代次数 3 9 3 9 3 9 所以，接近2.5的特征值为3。 三、练习与思考题分析解答 幂法收敛速度取决于什么？为什么？ 答： 幂法的收敛速度主要取决 EMBED Equation.DSMT4 因为从任意非零n维向量 出发，令 ，则当k充分大的时候， ，其中 表示向量 的第i个分量。 所以k趋于无穷时， 成立，其中K为某一个正整数。 所以有 ， 从上式可以看出乘幂法的收敛速度主要取决于 的大小， 越接近于1，则迭代收敛速度越慢。 四、本次实验的重点难点分析 本次实验的重点是如何用数值方法求矩阵特征值和特征向量，主要掌握乘幂法和反乘幂法（反迭代法）。同时，要了解运用什么方法对乘幂法进行加速，这里只要求对原点平移法进行编程，并未提及Aitken加速方法和Rayleigh商加速法。本次实验的难点是怎样把数值方法用C语言程序表示出来，其中首要处理的问题是如何表示矩阵，其次是矩阵的求逆和矩阵的乘法，还有就是对循环条件的控制，每个问题都要单独击破，再考虑进去运行速度、存储空间等因素，确实有一定的困难。 4 _1386891108.unknown _1386893052.unknown _1386893714.unknown _1386893790.unknown _1386894087.unknown _1386893224.unknown _1386892736.unknown _1386892923.unknown _1386891120.unknown _1306935996.unknown _1386889282.unknown _1386889621.unknown _1386891023.unknown _1386891039.unknown _1386891006.unknown _1386889805.unknown _1386889429.unknown _1386889474.unknown _1386889350.unknown _1386889245.unknown _1386889039.unknown _1386889053.unknown _1306935048.unknown _1306935965.unknown _1306935134.unknown _1195851686.unknown _1195850615.unknown _1195851045.unknown _1195850561.unknown