2018年春九年级数学人教版单元检测：第二十八章 锐角三角函数

2018春人教版九数学达标检测卷 第二十八章　锐角三角函数 28．1　锐角三角函数 第1课时　正弦和余弦 01　　基础题 1　正弦 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝(B) A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3) 2．(唐山玉田县月考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值(C) A．扩大2倍 B．缩小eq \f(1,2) C．不变 D．无法确定 3．(天津和平区汇文中学单元检测)在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则sinA的值是(C) A.eq \f(5,12) B.eq \f(12,5) C.eq \f(5,13) D.eq \f(12,13) 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若2a＝eq \r(3)c，则∠A的正弦值等于eq \f(\r(3),2)． 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶c＝2∶3，求sinA和sinB的值． 解：在Rt△ABC中， ∠C＝90°，a∶c＝2∶3， 设a＝2k，c＝3k(k>0)， 则b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(5)k. ∴sinA＝eq \f(a,c)＝eq \f(2k,3k)＝eq \f(2,3)， sinB＝eq \f(b,c)＝eq \f(\r(5)k,3k)＝eq \f(\r(5),3). 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(12,13)，AB＝26，求△ABC的周长． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(12,13)，∴BC＝24， AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(262－242)＝10. ∴△ABC的周长为26＋24＋10＝60. 知识点2　余弦 7．(湖州中考)如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A) A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3) 8．(承德六校一模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(D) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5) 　　　 9．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，则cosB的值为(B) A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(3,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5) 02　　中档题 10．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(B) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(10),10) D.eq \f(2\r(5),5) 解析：如图，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，AC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10).则sinA＝eq \f(OC,AC)＝eq \f(\r(2),\r(10))＝eq \f(\r(5),5). 11．(怀化中考改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，AC＝6 cm，求BC的长度． 解：∵sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5)，∴设BC＝4x，AB＝5x. 又∵AC2＋BC2＝AB2， ∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x＝2或x＝－2(舍去)． ∴BC＝4x＝8 cm. 12．如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sinA＝eq \f(3,5)，求DE的长和菱形ABCD的面积． 解：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°. 在Rt△AED中，sinA＝eq \f(DE,AD)，即eq \f(DE,10)＝eq \f(3,5). 解得DE＝6. ∴菱形ABCD的面积为10×6＝60(cm2)． 13．如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求cosP的值． 解：作OC⊥AB于C点． 根据垂径定理， AC＝BC＝4. ∴CP＝4＋2＝6(cm)． 在Rt△OAC中，OC＝eq \r(52－42)＝3(cm)． 在Rt△OCP中，根据勾股定理，得 OP＝eq \r(CO2＋CP2)＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)(cm)． 故cosP＝eq \f(PC,PO)＝eq \f(6,3\r(5))＝eq \f(2\r(5),5). 03　　综合题 14．(鄂州中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝(D) 　 A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 第2课时　锐角三角函数 01　　基础题 知识点1　正切 1．(湖州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq \f(1,2)，则BC的长是(A) A．2 B．8 C．2eq \r(5) D．4eq \r(5) 2．(金华中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(A) A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 3．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(B) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),4) 4．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为eq \f(\r(11),5). 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BC＝2，AB＝3，求tan∠BCD. 解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠A＋∠ACD＝90°. 又∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠A. 在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(32－22)＝eq \r(5). ∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5). ∴tan∠BCD＝tanA＝eq \f(2\r(5),5). 知识点2　锐角三角函数 6．(宜昌中考)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是(C) A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1 7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，则tanB的值为(A) A.eq \f(4,3) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,4) D.eq \f(3,4) 8．(福州中考)如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是eq \o(AB,\s\up8(︵))上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(C) A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα) C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα) 　　　 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24. (1)求AB的长； (2)求sinA，cosA，tanA的值． 解：(1)由勾股定理，得 AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(72＋242)＝25. (2)sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(24,25)，cosA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(7,25)， tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(24,7). [来源:学,科,网Z,X,X,K] 02　　中档题 10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(A) A.eq \f(1,3) B.eq \r(2)－1 C．2－eq \r(3) D.eq \f(1,4) 11．(河北模拟)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(C) A.eq \f(1,3) B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(2\r(2),3) 　　　 12．(泸州中考)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是(A) A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(2),3) 解析：由AD∥BC，可得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的性质，可得eq \f(AD,EB)＝eq \f(AF,EF)＝eq \f(DF,BF)，因为点E是边BC的中点，AD＝BC，所以eq \f(AD,EB)＝eq \f(AF,EF)＝eq \f(DF,BF)＝2.设EF＝x，可得AF＝2x，在Rt△ABE中，易证△AFB∽△BFE，则BF＝eq \r(2)x，再由eq \f(AD,EB)＝eq \f(AF,EF)＝eq \f(DF,BF)＝2，可得DF＝2eq \r(2)x，在Rt△DEF中，tan∠BDE＝eq \f(EF,DF)＝eq \f(x,2\r(2)x)＝eq \f(\r(2),4)，故选A. 13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝eq \f(4,5)，BE＝2，则tan∠DBE＝3． 　　　 14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(\r(3),3)，求cosA，tanB的值． 解：∵sinA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(3),3)， ∴设BC＝eq \r(3)k，AB＝3k(k>0)． 由勾股定理，得 AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(（3k）2－（\r(3)k）2)＝eq \r(6)k. ∴cosA＝eq \f(\r(6),3)，tanB＝eq \r(2). 15．(承德六校一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝eq \f(1,2)，点D在BC上，且BD＝AD，求AC的长和cos∠ADC的值． 解：∵在Rt△ABC中，BC＝8，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,2)， ∴AC＝eq \f(1,2)BC＝4. 设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x， 在Rt△ADC中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5， ∴AD＝5，CD＝8－5＝3. ∴cos∠ADC＝eq \f(DC,AD)＝eq \f(3,5). 03　　综合题 16．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,3)，求tan∠DCF的值． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠D＝90°. ∵eq \f(AB,BC)＝eq \f(2,3)，且由折叠知CF＝BC， ∴eq \f(CD,CF)＝eq \f(2,3). 设CD＝2x，CF＝3x(x>0)， ∴DF＝eq \r(CF2－CD2)＝eq \r(5)x. ∴tan∠DCF＝eq \f(DF,CD)＝eq \f(\r(5)x,2x)＝eq \f(\r(5),2). 第3课时　特殊角的三角函数值 01　　基础题 知识点1　特殊角的三角函数值 1．(天津中考)cos60°的值等于(D) A.eq \r(3) B．1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(1,2) 2．计算eq \r(2)×tan60°的值等于(D) A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \r(5) D.eq \r(6) 3．(防城港中考)计算：cos245°＋sin245°＝(B) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(1,4) D.eq \f(\r(2),2) 4．(百色中考)如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(A) A．6 B．6eq \r(2) C．6eq \r(3) D．12 5．求值：sin60°·tan30°＝eq \f(1,2)． 6．计算： (1)(安徽中考)|－2|×cos60°－(eq \f(1,3))－1； 解：原式＝2×eq \f(1,2)－3＝－2. (2)(泸州中考)(－3)2＋2 0170－eq \r(18)×sin45°； 解：原式＝9＋1－3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝7. (3)cos30°·tan30°－tan45°； 解：原式＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)－1＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2). (4)eq \f(\r(2),2)sin45°＋sin60°·cos45°. 解：原式＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2＋\r(6),4). 知识点2　由三角函数值求特殊角 7．(聊城中考)在Rt△ABC中，cosA＝eq \f(1,2)，那么sinA的值是(B) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,2) 8．(河北模拟)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－eq \f(\r(3),2)|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小(D) A．45° B．60° C．75° D．105° 9．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝eq \f(\r(2),2)，那么下列最确切的结论是(C) A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形 10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2eq \r(3)，则∠A＝60°． 知识点3　用计算器计算三角函数值 11．如图是科学计算器的面板，利用该型号计算器计算eq \r(2)cos55°，按键顺序正确的是(C) A.eq \x(2) eq \x(\r(　)) eq \x(×) eq \x(cos) eq \x(5) eq \x(5) eq \x(＝) B.eq \x(\r(　)) eq \x(2) eq \x(cos) eq \x(5) eq \x(5) eq \x(0) eq \x(＝) C.eq \x(\r(　)) eq \x(2) eq \x(cos) eq \x(5) eq \x(5) eq \x(＝) D.eq \x(2) eq \x(\r(　)) eq \x(5) eq \x(5) eq \x(cos) eq \x(＝) 12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B) A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66 13．已知sinA＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数) 02　　中档题 14．(厦门中考)已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝(A) A．a2 B．2a C．b2 D．b 15．李红同学遇到了这样一道题：eq \r(3)tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D) A．40° B．30° C．20° D．10° 16．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－eq \r(（1－tan60°）2)的值是(B) A．2eq \r(3)－2 B．0 C．2eq \r(3) D．2 17．(邢台县一模)关于x的一元二次方程x2－eq \r(2)x＋cosα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D) A．0° B．30° C．45° D．60° 18．(滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(A) A．2＋eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3＋eq \r(3) D．3eq \r(3) 19．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为27.8°．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°) 　　　 20．利用计算器求∠A＝18°36′的三个锐角三角函数值． 解：sinA＝sin18°36′≈0.319 0， cosA＝cos18°36′≈0.947 8， tanA＝tan18°36′≈0.336 5. 21．计算： (1)(唐山玉田县月考)tan45°－eq \r(3)tan30°＋cos45°； 解：原式＝1－eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(\r(2),2) ＝1－1＋eq \f(\r(2),2) ＝eq \f(\r(2),2). (2)eq \r(2)sin60°＋eq \f(\r(2),2)cos45°－eq \f(\r(3),2)tan60°－eq \r(3)cos30°. 解：原式＝eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)－eq \r(3)×eq \f(\r(3),2) ＝eq \f(\r(6),2)＋eq \f(1,2)－eq \f(3,2)－eq \f(3,2) ＝eq \f(\r(6),2)－eq \f(5,2). 22．先化简，再求代数式eq \f(a2－ab,a2)÷(eq \f(a,b)－eq \f(b,a))的值，其中a＝2cos30°－tan45°，b＝2sin30°. 解：原式＝eq \f(a（a－b）,a2)÷eq \f(a2－b2,ab) ＝eq \f(a（a－b）,a2)·eq \f(ab,（a＋b）（a－b）) ＝eq \f(b,a＋b). ∵a＝2cos30°－tan45°＝2×eq \f(\r(3),2)－1＝eq \r(3)－1， b＝2sin30°＝2×eq \f(1,2)＝1， ∴原式＝eq \f(1,\r(3)－1＋1)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3). 23．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB为2米，一阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米．(精确到0.1米) 解：在Rt△ABC中， ∵∠ABC＝75°，BC＝2， ∴AB＝eq \f(2,cos75°)≈7.727(米)， AC＝2×tan75°≈7.464(米)． ∴AB－AC＝7.727－7.464 ≈0.3(米)． 答：这棵竹子比楼房高出0.3米． 24．若tanA的值是方程x2－(1＋eq \r(3))x＋eq \r(3)＝0的一个根，求锐角A的度数． 解：解方程x2－(1＋eq \r(3))x＋eq \r(3)＝0，得 x1＝1，x2＝eq \r(3). 由题意知tanA＝1或tanA＝eq \r(3). ∴∠A＝45°或60°. 03　　综合题 25．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(B) A．4eq \r(3) B．3eq \r(3) C．2eq \r(3) D.eq \r(3) 28.2　解直角三角形及其应用 28．2.1　解直角三角形 01　　基础题 知识点1　已知两边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(C) A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出 C．计算cosA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出 2．(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(D) A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是(D) A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 　　 4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则coseq \f(A,2)＝eq \f(4,5)． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20eq \r(2)，则∠A＝45°，∠B＝45°，b＝20． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝2eq \r(6)，AC＝6eq \r(2)，解此直角三角形． 解：∵tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2\r(6),6\r(2))＝eq \f(\r(3),3)， ∴∠A＝30°. ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB＝2BC＝4eq \r(6). 知识点2　已知一边和一锐角解直角三角形 7．(兰州中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，BC＝6，则AB＝(D) A．4 B．6 C．8 D．10 8．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为(B) A．4.5 cm2 B．9eq \r(3) cm2 C．18eq \r(3) cm2 D．36 cm2 9．(保定月考)如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为(B) A.eq \r(3) B．1 C.eq \r(2) D．2 10．(牡丹江中考)在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9eq \r(2)，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝eq \f(1,3)，则BD的长为6． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8eq \r(3)，∠A＝60°，解这个直角三角形． 解：∵∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°. ∵sinA＝eq \f(a,c)， ∴a＝c·sinA＝8eq \r(3)×sin60°＝8eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝12. ∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(（8\r(3)）2－122)＝4eq \r(3). 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位) 解：∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°. ∵tanB＝eq \f(AC,BC)， ∴BC＝eq \f(AC,tanB)＝eq \f(4,tan55°)≈2.8. ∵sinB＝eq \f(AC,AB)， ∴AB＝eq \f(AC,sinB)＝eq \f(4,sin55°)≈4.9. 02　　中档题 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为(B) A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D.eq \f(10,cos50°) 14．(随州中考)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(A) A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36° C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36° 　　 15．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是中线，若BC＝5，则△ADC的周长为(B) A．5＋10eq \r(3) B．10＋5eq \r(3) C．15eq \r(3) D．20eq \r(3) 16．(保定月考)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝eq \f(4,5)，AB＝4，求AD的长为(B) A．3 B.eq \f(16,3) C.eq \f(20,3) D.eq \f(16,5) 17．(河北模拟)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝4，BC＝10，CD＝6，则tanC等于(A) A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 　　 提示：连接BD，则△BCD为直角三角形． 18．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝eq \f(3,5)，则对角线AC的长为24． 19．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝3eq \r(3)，则下底BC的长为10． 　　　 03　　综合题 20．探究：已知，如图1，在△ABC中，∠A＝α(0°＜α＜90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子示△ABC的面积； 图1 　　图2 应用：(孝感中考)如图2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，试用含b，c，α的式子表示▱ABCD的面积． 解：探究：过点B作BD⊥AC，垂足为D. ∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝csinα. ∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)bcsinα. 应用：过点C作CE⊥DO于点E. ∴sinα＝eq \f(EC,CO). ∵在▱ABCD中，AC＝a，BD＝b， ∴CO＝eq \f(1,2)a，DO＝eq \f(1,2)b. ∴S△BCD＝eq \f(1,2)CE·BD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)asinα·b ＝eq \f(1,4)absinα. ∴S▱ABCD＝2S△BCD＝eq \f(1,2)absinα. 小专题(五)　“四法”确定三角函数值 方法1　回归定义 1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(4,5)，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值． 解：∵sinA＝eq \f(4,5)＝eq \f(BC,AB)， ∴BC＝eq \f(4,5)AB＝eq \f(4,5)×15＝12. ∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝9. ∴△ABC的周长为9＋12＋15＝36， tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(12,9)＝eq \f(4,3). 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝eq \f(1,3)，AD＝1.求： (1)BC的长； (2)tan∠DAE的值． 解：(1)在△ABC中， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1， ∴DC＝AD＝1. 在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝eq \f(1,3)，AD＝1， ∴AB＝eq \f(AD,sinB)＝3. ∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝2eq \r(2). ∴BC＝BD＋DC＝2eq \r(2)＋1. (2)∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝eq \f(1,2)BC＝eq \r(2)＋eq \f(1,2). ∴DE＝CE－CD＝eq \r(2)－eq \f(1,2). ∴tan∠DAE＝eq \f(DE,AD)＝eq \r(2)－eq \f(1,2). 3．(上海中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE.求： (1)线段BE的长； (2)tan∠ECB的值． 解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3， ∴∠A＝A5°，AB＝3eq \r(2). ∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°. ∴AE＝eq \r(2).∴BE＝AB－AE＝2eq \r(2). (2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H. 在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°， ∴EH＝BH＝2. 又∵BC＝3，∴CH＝1. ∴tan∠ECB＝eq \f(EH,CH)＝2. 方法2　巧设参数 4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D) A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(6),3) 5．(定州模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为(D) A.eq \f(\r(3)－1,7) B.eq \f(1,2) C.eq \f(4\r(3),7) D.eq \f(1,7) 　　　 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)． (1)求证：△ACE≌△AFE； (2)求tan∠CAE的值． 解：(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE＝EF. 在Rt△ACE和Rt△AFE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝FE，,AE＝AE，))∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)． (2)由(1)可知△ACE≌△AFE， ∴AC＝AF，CE＝FE.[来源:Z.xx.k.Com] 设BF＝m，则AC＝AF＝2m，AB＝3m， ∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(9m2－4m2)＝eq \r(5)m. ∴在Rt△ABC中，tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(2m,\r(5)m)＝eq \f(2\r(5),5)m. 在Rt△EFB中，EF＝BF·tanB＝eq \f(2\r(5),5)m， ∴CE＝EF＝eq \f(2\r(5),5)m. ∴在Rt△ACE中，tan∠CAE＝eq \f(CE,AC)＝eq \f(\f(2\r(5),5)m,2m)＝eq \f(\r(5),5). 方法3　等角代换 7．(益阳中考)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(B) A.eq \f(h,sinα) B.eq \f(h,cosα) C.eq \f(h,tanα) D．h·cosα 8．如图，∠1的正切值等于eq \f(1,3)． 　　　 9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是2． 10．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G. (1)求证：△DCF≌△ADG； (2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°. ∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°. ∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°. ∴∠AGD＝∠CFD. 又∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°， ∴∠ADG＝∠DCF. 在△DCF和△ADG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DFC＝∠AGD，,∠DCF＝∠ADG，,DC＝AD，))∴△DCF≌△ADG(AAS)． (2)设正方形ABCD的边长为2a. ∵点E是AB的中点，∴AE＝eq \f(1,2)×2a＝a. 在Rt△ADE中，DE＝eq \r(AD2＋AE2)＝eq \r(（2a）2＋a2)＝eq \r(5)a， ∴sin∠ADG＝eq \f(AE,DE)＝eq \f(a,\r(5)a)＝eq \f(\r(5),5). ∵∠ADG＝∠DCF＝α，∴sinα＝eq \f(\r(5),5). 方法4　构造直角三角形 11．(迁安一模)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2eq \r(2)，CD＝eq \r(2)，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为eq \f(3,2)，则点P的个数为(B) A．1 B．2 C．3 D．4 12．(河北中考改编)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝eq \f(4,3).点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ. (1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小； (2)当tan∠ABP∶tanA＝3∶2时，求点Q与点B间的距离．(结果保留根号) 解：(1)当点Q与B在PD异侧时，由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°得∠BPD＝80°，∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°. 当点Q与B在PD同侧时，如图，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°. ∴∠APB是80°或100°. (2)过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ. ∵tan∠ABP∶tanA＝eq \f(PH,HB)∶eq \f(PH,AH)＝3∶2， ∴AH∶HB＝3∶2. ∵AB＝10，∴AH＝6，HB＝4. 在Rt△PHA中，∵tanA＝eq \f(PH,AH)＝eq \f(4,3)， ∴PH＝8. ∴PQ＝PB＝eq \r(PH2＋HB2)＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5). ∴QB＝eq \r(2)PB＝4eq \r(10). 小专题(六)　走进圆中解直角三角形 1．(衢州中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为(A) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3) 2．如图，已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC＝4，则sinB的值为eq \f(2,3)． 　　　 3．(凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是eq \o(BDC,\s\up8(︵))的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F，E，且eq \o(BF,\s\up8(︵))＝eq \o(AD,\s\up8(︵)). (1)求证：△ADC∽△EBA； (2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠CDA＝180°. 又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠CDA＝∠ABE. ∵eq \o(BF,\s\up8(︵))＝eq \o(AD,\s\up8(︵))，∴∠DCA＝∠BAE. ∴△ADC∽△EBA. (2)∵A是eq \o(BDC,\s\up8(︵))的中点， ∴eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵)).∴AB＝AC＝8. ∵△ADC∽△EBA， ∴∠CAD＝∠AEC，eq \f(DC,BA)＝eq \f(AC,EA)，即eq \f(5,8)＝eq \f(8,AE). ∴AE＝eq \f(64,5). ∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝eq \f(AC,AE)＝eq \f( 8 ,\f(64,5))＝eq \f(5,8). 4．(河北中考)如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧eq \o(CD,\s\up8(︵))于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP. (1)求证：AP＝BQ； (2)当BQ＝4eq \r(3)时，求eq \o(QD,\s\up8(︵))的长；(结果保留π) (3)若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围． 解：(1)证明：连接OQ.∵AP，BQ分别与⊙O相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠APO＝∠BQO＝90°. ∵OA＝OB，OP＝OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO. ∴AP＝BQ. (2)∵BQ＝4eq \r(3)，OB＝eq \f(1,2)AB＝8，∠BQO＝90°， ∴sin∠BOQ＝eq \f(\r(3),2).∴∠BOQ＝60°. ∵OQ＝8×cos60°＝4， ∴eq \o(QD,\s\up8(︵))的长为eq \f(（270－60）π×4,180)＝eq \f(14π,3). (3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM＝4. 当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8. 5．(保定模拟)如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝eq \f(1,2)，AD＝3，求直径AB的长． 解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D＝90°.[来源:Zxxk.Com] ∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵∠DBC＝∠A， ∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠OBC＝90°. ∴BC是⊙O的切线． (2)∵E是弦BD的中点，点O是AB的中点， ∴OE∥AD.∴∠COB＝∠A. ∵∠D＝∠OBC＝90°，∴∠C＝∠ABD. ∵tanC＝eq \f(1,2)，∴tan∠ABD＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(1,2)，即eq \f(3,BD)＝eq \f(1,2). ∴BD＝6. ∴AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5). 6．(河北中考)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)． 发现 (1)当α＝0°，即初始位置时，点P在直线AB上．(填“在”或“不在”) 求当α是多少时，OQ经过点B? (2)在OQ旋转的过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值； (3)如图2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影． 拓展 (4)如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x＞0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围． 探究 (5)当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值． 备用图 解：(1)当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°， ∴α＝60°－45°＝15°. (2)在△OAP中，OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时，OA＋AP＝OP成立． ∴AP≥OP－OA＝2－1＝1. ∴当α＝60°时，P，A间的距离最小．PA的最小值为1. (3)设半圆K与BC的交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E. 在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2， ∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°. ∵AD∥BC，∴∠OPB＝∠RPQ＝∠POH＝30°. ∴∠RKQ＝2×30°＝60°. ∴S扇形RKQ＝eq \f(60π×（\f(1,2)）2,360)＝eq \f(π,24). 在Rt△RKE中，RE＝RK·sin60°＝eq \f(\r(3),4)， ∴S△RKP＝eq \f(1,2)PK·RE＝eq \f(\r(3),16).∴S阴影＝eq \f(π,24)＋eq \f(\r(3),16). (4)∵∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，∴△AON∽△BMN. ∴eq \f(AN,BN)＝eq \f(AO,BM)，即eq \f(1－BN,BN)＝eq \f(1,x).∴BN＝eq \f(x,x＋1). 如图4，当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F. BQ＝AF＝eq \r(OQ2－QF2)－OA＝eq \r(32－12)－1＝2eq \r(2)－1. ∴x的取值范围是0＜x≤2eq \r(2)－1. (5)半圆与矩形相切，分三种情况： ①如图③，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于点G. 在Rt△OSK中，OS＝eq \r(OK2－SK2)＝eq \r(（\f(5,2)）2－（\f(3,2)）2)＝2. 在Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan60°＝2eq \r(3)，KO′＝2eq \r(3)－eq \f(3,2). 在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝eq \f(1,2)KO′＝eq \r(3)－eq \f(3,4). 在Rt△OGK中，sinα＝eq \f(KG,OK)＝eq \f(\r(3)－\f(3,4),\f(5,2))＝eq \f(4\r(3)－3,10). ②半圆K与AD切于点T，如图6， 同理可得sinα＝eq \f(KG,OK)＝eq \f(\f(1,2)O′K,\f(5,2))＝eq \f(\f(1,2)（O′T－KT）,\f(5,2))＝eq \f(1,2)×[eq \r(3)×eq \r(（\f(5,2)）2－（\f(1,2)）2－\f(1,2))]＝eq \f(6\r(2)－1,10). ③当半圆K与CD相切时，点Q与点D重合，且D为切点． ∴α＝60°.∴sinα＝sin60°＝eq \f(\r(3),2). 综上所述，sinα的值为eq \f(4\r(3)－3,10)或eq \f(6\r(2)－1,10)或eq \f(\r(3),2). 28.2　应用举例 第1课时　与视角有关的解直角三角形应用题 01　　基础题 知识点1　利用解直角三角形解决简单问题 1．(丽水中考)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离．(精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75) 解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F. 又∵OD⊥CD，∴AE∥OD. ∴∠A＝∠BOD＝70°. 在Rt△AFB中，AB＝2.7， ∴AF＝2.7×cosA≈2.7×0.34＝0.918. ∴AE＝AF＋BC＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1. 答：端点A到地面CD的距离约是1.1 m. 2．(台州中考)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) 解：过A作AC⊥OB于点C， 在Rt△AOC中，∠AOC＝40°， ∴sin40°＝eq \f(AC,OA). 又∵AO＝1.2米， ∴AC＝OA·sin40°≈1.2×0.64＝0.768(米)． ∵AC＝0.768米＜0.8米， ∴车门不会碰到墙． 知识点2　利用视角解直角三角形 3．(石家庄裕华区模拟)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7 m，则树高BC为(用含α的代数式表示)(C) A．7sinα B．7cosα C．7tanα D.eq \f(7,tanα) 4．(临沂中考)如图，两座建筑物的水平距离BC＝30 m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 解：延长CD，交AE于点E，则DE⊥AE， 在Rt△AED中，AE＝BC＝30 m，∠EAD＝30°， ∴ED＝AE·tan30°＝10eq \r(3) m. 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30 m， ∴AB＝30eq \r(3) m. ∴CD＝EC－ED＝AB－ED＝30eq \r(3)－10eq \r(3)＝20eq \r(3)(m)． 02　　中档题 5．(邵阳中考)如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是(20eq \r(3)－20)km. 6．(东营中考)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为eq \f(tanα·tanβ·s,tanβ－tanα)米． 　　　 7．(唐山古冶区一模)如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离． 解：过点D作l1的垂线，垂足为F， ∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°， ∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°. ∴△ADE为等腰三角形．∴DE＝AE＝20. 在Rt△DEF中，EF＝DE·cos60°＝20×eq \f(1,2)＝10. ∵DF⊥AF，∴∠DFB＝90°.∴AC∥DF. 由已知l1∥l2，∴CD∥AF. ∴四边形ACDF为矩形，CD＝AF＝AE＋EF＝30. ∴C，D两点间的距离为30米． 03　　综合题 8．(廊坊安次区二模)小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的俯角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20eq \r(3)米． (1)求出大厦的高度BD； (2)求出小敏家的高度AE. 解：(1)∵AC⊥BD， BD⊥DE，AE⊥DE， ∴四边形AEDC是矩形． ∴AC＝DE＝20eq \r(3)米． ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝45°， ∴BC＝AC＝20eq \r(3)米． 在Rt△ACD中，tan30°＝eq \f(CD,AC)， ∴CD＝AC·tan30°＝20eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝20(米)． ∴BD＝BC＋CD＝(20eq \r(3)＋20)米． ∴大厦的高度BD为(20eq \r(3)＋20)米． (2)∵四边形AEDC是矩形， ∴AE＝CD＝20米． ∴小敏家的高度AE为20米． 第2课时　与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题 01　　基础题 知识点1　利用方向角解直角三角形 1．(河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(D)[来源:Z_xx_k.Com] A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里 2．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是(D) A．25eq \r(3)海里 B．25eq \r(2)海里 C．50海里 D．25海里 　　　 3．(南京中考)如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 解：过点C作CH⊥AD，垂足为H，设CH＝x km， 在Rt△ACH中，∠A＝37°， ∵tanA＝eq \f(CH,AH)， ∴AH＝eq \f(CH,tan37°)＝eq \f(x,tan37°). 在Rt△CEH中，∠CEH＝45°， ∵tan∠CEH＝eq \f(CH,EH)，∴EH＝eq \f(CH,tan45°)＝x. ∵CH⊥AD，BD⊥AD， ∴∠AHC＝∠ADB＝90°. ∴HC∥DB. ∴eq \f(AH,HD)＝eq \f(AC,CB). 又∵C为AB的中点， ∴AC＝CB. ∴AH＝HD. ∴eq \f(x,tan37°)＝x＋5. ∴x＝eq \f(5×tan37°,1－tan37°)≈eq \f(5×0.75,1－0.75)＝15. ∴AE＝AH＋HE＝eq \f(15,tan37°)＋15≈35(km)． 因此，E处距离港口A大约35 km. 知识点2　利用坡度、坡角解直角三角形 4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(B) A．4eq \r(3)米 B．6eq \r(5)米 C．12eq \r(5)米 D．24米 5．已知四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(平直的)分别为300 m，250 m，200 m，200 m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度说法正确的是(B) A．A的最高 B．B的最高 C．C的最高 D．D的最高 6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米．参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732) 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形． 由题意，得BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米， ∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5，BE＝20米， ∴eq \f(BE,AE)＝eq \f(1,2.5).∴AE＝50米． 在Rt△CFD中，∠D＝30°， ∴DF＝eq \f(CF,tanD)＝20eq \r(3)米． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋20eq \r(3)≈90.6(米)． 答：坝底AD的长度约为90.6米． 02　　中档题 7．(唐山丰南区一模)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(C) A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里 8．(青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数．参考数据：sin67°≈eq \f(12,13)，cos67°≈eq \f(5,13)，tan67°≈eq \f(12,5)，eq \r(3)≈1.73) 解：作BD⊥AC于点D. 在Rt△ABD中，∠ABD＝67°， sin∠ABD＝eq \f(AD,AB)≈eq \f(12,13)， ∴AD≈eq \f(12,13)AB＝480 km. cos∠ABD＝eq \f(BD,AB)≈eq \f(5,13)，∴BD≈eq \f(5,13)AB＝200 km. 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°， tan∠CBD＝eq \f(CD,BD)＝eq \f(\r(3),3). ∴CD＝eq \f(\r(3),3)BD≈115 km. ∴AC＝CD＋DA≈595 km. 答：A地到C地之间高铁线路的长约为595 km. 9．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶eq \r(3)，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) 解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H， 在Rt△CEF中， ∵i＝eq \f(EF,CF)＝eq \f(1,\r(3))＝tan∠ECF， ∴∠ECF＝30°. ∴EF＝eq \f(1,2)CE＝10米，CF＝10eq \r(3)米． ∴BH＝EF＝10米， HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10eq \r(3))米． 在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°， ∴AH＝HE＝(25＋10eq \r(3))米． ∴AB＝AH＋HB＝(35＋10eq \r(3))米． 答：楼房AB的高为(35＋10eq \r(3))米． 03　　综合题 10．(连云港中考)如图，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C.已知AB＝1 400米，AC＝1 000米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向． (1)求△ABC的面积； (2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD.试求A，D间的距离．(结果精确到0.1米．参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，eq \r(2)≈1.414) 解：(1)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E. 在Rt△AEC中， ∠CAE＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°， ∴CE＝AC·sin53.2°≈1 000×0.8＝800(米)． ∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CE＝eq \f(1,2)×1 400×800＝560 000(平方米)． (2)连接AD，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则DF∥CE. ∵D是BC的中点， ∴DF＝eq \f(1,2)CE＝400米，BF＝EF＝eq \f(1,2)BE， AE＝AC·cos53.2°≈600米． ∴BE＝BA＋AE＝1 400＋600＝2 000(米)． ∴AF＝eq \f(1,2)BE－AE＝400米． 由勾股定理，得AD＝eq \r(AF2＋DF2)＝eq \r(4002＋4002)＝400eq \r(2)≈565.6(米)． 答：A，D间的距离约为565.6米． 小专题(七)　构造基本图形解直角三角形的应用题 类型1　构造单一直角三角形 1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分BD的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38) 解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°. 在Rt△ABC中，sin A＝eq \f(BC,AB)， ∴BC＝AB·sinA＝2.1×sin54°≈1.701(m)， ∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)． 类型2　母子三角形 2．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A) A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米 3．(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°， ∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°. (2)过点P作PH⊥AB于点H. 在Rt△APH中，∠PAH＝30°，AH＝eq \r(3)PH. 在Rt△BPH中，∠PBH＝60°，BH＝eq \f(\r(3),3)PH. ∴AB＝AH－BH＝eq \f(2\r(3),3)PH＝50. ∴PH＝25eq \r(3)＞25. ∴海监船继续向正东方向航行仍然安全． 类型3　背靠背三角形 4．(天津中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，eq \r(2)取1.414) 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C. 由题意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120. 在Rt△APC中，sinA＝eq \f(PC,PA)，cosA＝eq \f(AC,PA)， ∴PC＝PA·sinA＝120×sin64°. AC＝PA·cosA＝120×cos64°. 在Rt△BPC中，sinB＝eq \f(PC,BP)，tanB＝eq \f(PC,BC)， ∴BP＝eq \f(PC,sinB)＝eq \f(120×sin64°,sin45°)≈eq \f(120×0.90,\f(\r(2),2))≈153. BC＝eq \f(PC,tanB)＝eq \f(PC,tan45°)＝PC＝120×sin64°. ∴BA＝BC＋AC＝120×sin64°＋120×cos64° ≈120×0.90＋120×0.44≈161. 答：BP的长约为153海里，BA的长约为161海里． 5．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间距离为300(eq \r(3)＋1)米．求供水站M分别到小区A，B的距离．(结果可保留根号) 解：作ME⊥AB，垂足为E.设ME＝x米． 在Rt△AME中，∠MAE＝90°－60°＝30°， ∴AM＝2ME＝2x, AE＝eq \f(ME,tan30°)＝eq \r(3)x. 在Rt△BME中，∠MBE＝90°－45°＝45°， ∴ME＝EB＝x，MB＝eq \r(2)x. ∵AE＋BE＝AB＝300(eq \r(3)＋1)， 即eq \r(3)x＋ x＝300(eq \r(3)＋1)，解得x＝300. ∴AM＝2ME＝2x＝600， MB＝eq \r(2)x＝300eq \r(2). 答：供水站M到小区A，B的距离分别是600米、300eq \r(2)米． 6．(德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒．已知∠B＝30°，∠C＝45°. (1)求B，C之间的距离；(保留根号) (2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：eq \r(3)≈1.7，eq \r(2)≈1，4) 解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝10 m. ∵在Rt△ACD中，∠C＝45°， ∴CD＝AD＝10 m. 在Rt△ABD中，tanB＝eq \f(AD,BD)， ∵∠B＝30°， ∴eq \f(\r(3),3)＝eq \f(10,BD). ∴BD＝10eq \r(3) m. ∴BC＝BD＋DC＝(10eq \r(3)＋10)m. 答：B，C之间的距离是(10eq \r(3)＋10)m. (2)这辆汽车超速，理由如下： 由(1)知BC＝(10eq \r(3)＋10)m≈27 m. ∴汽车速度为eq \f(27,0.9)＝30(m/s)＝108 km/h. ∵108＞80， ∴这辆汽车超速． 类型4　与梯形有关的解直角三角形 7．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，斜面坡度i＝1∶eq \r(3)是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：eq \r(3)≈1.732，eq \r(2)≈1.414) 解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F. 在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6， ∴AF＝AB·sinB＝6×sin60°＝3eq \r(3)， BF＝AB·cosB＝6×cos60°＝3. ∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC， ∴四边形AFED是矩形． ∴DE＝AF＝3eq \r(3)，FE＝AD＝4. 在Rt△CDE中，i＝eq \f(ED,EC)＝eq \f(1,\r(3))， ∴EC＝eq \r(3)ED＝eq \r(3)×3eq \r(3)＝9. ∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16. ∴S梯形ABCD＝eq \f(1,2)(AD＋BC)·DE ＝eq \f(1,2)×(4＋16)×3eq \r(3) ≈52.0. 答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0. 章末复习(三)　锐角三角函数 01　　基础题 知识点1　利用定义求锐角三角函数值 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是(C) A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(4,3) 2．(广州中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝eq \f(15,8)，则AB＝17． 3．(龙岩中考)如图，若点A的坐标为(1，eq \r(3))，则sin∠1＝eq \f(\r(3),2)． 　　 知识点2　特殊角的三角函数值 4．(贵港一模)若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(C) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2) 5．在△ABC中，若cosA＝eq \f(\r(2),2)，tanB＝eq \r(3)，则这个三角形一定是(D) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 6．(武威中考)已知α，β均为锐角，且满足|sinα－eq \f(1,2)|＋eq \r(（tanβ－1）2)＝0，则α＋β＝75°． 知识点3　解直角三角形 7．如图是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tanA＝eq \f(\r(3),3)，则边BC的长为(C) A．30eq \r(3) cm B．20eq \r(3) cm C．10eq \r(3) cm D．5eq \r(3) cm 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝4eq \r(3)，则AD的长为4． 　　　 知识点4　解直角三角形的应用 9．(宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) 10．(唐山玉田县模拟)如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝(21＋7eq \r(3))米．(结果保留根号) 　 11．(绍兴中考)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶点D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m．(结果精确到0.1 m．参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32) (1)求∠BCD的度数． (2)求教学楼的高BD. 解：(1)过点C作CE⊥BD于点E，则∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°. (2)由已知得CE＝AB＝30 m， 在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°≈30×0.36＝10.8(m)， 在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°≈30×0.32＝9.6(m)， ∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.8＋9.6＝20.4(m)． 答：教学楼的高约为20.4 m. 02　　中档题 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝eq \f(b,a).则下列关系式中不成立的是(D) A．tanA·cotA＝1[来源:Z#xx#k.Com] B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 13．(重庆中考B卷)如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)(A) A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米 14．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝eq \f(1,3)，cosC＝eq \f(\r(2),2)，AC＝eq \r(2).求： (1)BC的长； (2)sin∠ADC的值． 解：(1)过点A作AE⊥BC于点E， ∵cosC＝eq \f(\r(2),2)， ∴∠C＝45°. ∴在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1， AE＝AE·sinC＝1. 在Rt△ABE中，tanB＝eq \f(1,3)，即eq \f(AE,BE)＝eq \f(1,3)， ∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝4. (2)∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝eq \f(1,2)BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1. ∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°. ∴sin∠ADC＝eq \f(\r(2),2). 15．(白银中考)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 　　 解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x， 在Rt△DEB中，tan∠DBE＝eq \f(DE,BE). ∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°. 又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE. ∴132＋x＝xtan65°，解得x≈115.8. ∴DE≈248米． 答：观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米． 03　　综合题 16．(唐山路南区一模)如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm. (1)当∠AOB＝20°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm) (2)保持∠AOB＝20°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm) (参考数据：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940) 解：(1)连接BA，作OC⊥AB于点C.由题意可得，OA＝OB＝10 cm，∠OCB＝90°，∠AOB＝20°， ∴∠BOC＝10°. ∴AB＝2BC＝2OB·sin10°≈2×10×0.174≈3.5(cm)，即所作圆的半径约为3.5 cm. (2)作AD⊥OB于点D，作AE＝AB. ∵保持∠AOB＝20°不变，则折断的部分为BE. ∵∠AOB＝20°，OA＝OB，∠ODA＝90°， ∴∠OAB＝80°，∠OAD＝70°. ∴∠BAD＝10°. ∴BE＝2BD＝2AB·sin10°≈2×3.5×0.174≈1.2(cm)，即铅笔芯折断部分的长度是1.2 cm.