计量经济分析(张晓桐老师)-博士生讲义13乘积季节模型

乘积季节模型 (Multiplicative seasonal model) 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。在经济领域中，季节性序列更是到处可见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。描述这类序列的方法之一是乘积季节模型。 设季节序列的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。首先用季节差分的方法消除周期性变化。季节差分算子定义为， (s = 1- Ls (2.88) 若季节性时间序列用yt示，则一次季节差分表示为 (s yt = (1- Ls) yt = yt - yt - s (2.89) 对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均时间序列模型。 (P (Ls) (sD yt = (Q (Ls) ut (2.90) 对于上述模型，相当于假定ut是平稳的、非自相关的。当ut非平稳且存在自相关时，则可以把ut描述为 (p (L) ( d ut = (q (L) vt (2.91) 其中vt为白噪声过程，p, q分别表示自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示ut的差分次数。由上式得 ut = (p-1 (L) ( -d (q (L) vt (2.92) 把 (2.92) 式代入 (2.90) 式，于是得到乘积季节模型的一般表达式。 (p (L) (P (Ls) ( d (sD yt = (q (L) (Q (Ls) vt (2.93) 其中下标p, q, P, Q分别表示自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示差分和季节性差分次数。上式称作 (p, d, q) ( (P, D, Q)s 阶乘积季节模型。保证上式具有平稳性的条件是 (p (L) (P (Ls) = 0的根在单位圆外；保证上式具有可逆性的条件是 (q (L) (Q (Ls) = 0的根在单位圆外。当P = D = Q = 0时，乘积季节模型退化为ARIMA模型；当P = D = Q = p = q = d = 0时，乘积季节模型退化为白噪声模型。 (1, 1, 1) ( (1, 1, 1)12 阶乘积季节模型表达为 (1- (1 L) (1- (1 L12) ( (12 yt = (1- (1 L) (1- (1 L12) vt ( (12 yt具有平稳性的条件是 ( (1 ( < 1，( (1 ( < 1，( (12 yt具有可逆性的条件是 ( (1 ( < 1，( (1 ( < 1。 (0, 1, 1) ( (0, 1, 1)12 阶乘积月度模型表达为 ( (12 yt = (1- (1 L) (1- (1 L12) vt (2.94) 变量( (12 yt用DLOG(Y,1,12)表示，(2.94) 式的EViews估计命令是 DLOG(Y,1,12) MA(1) SMA(12) 注意：（1）如果模型中既含有移动平均项又含有季节移动平均项，写表达式时，两个特征多项式是相乘关系。 由(2.94) 式得 ((12 yt = (1- (1 L) (vt - (1 vt – 12 ) = vt - (1 L vt - (1 vt – 12 + (1 (1 L vt – 12 ((12 yt = vt - (1 vt –1 - (1 vt – 12 + (1 (1 vt – 13 (EViews: DLOG(Y,1,12) MA(1) MA(12) MA(13) ) 这是一个非季节模型表达式。进一步化简 ( (yt – yt - 12) = vt - (1 vt –1 - (1 vt – 12 + (1 (1 vt – 13 ( yt – ( yt - 12 = vt - (1 vt –1 - (1 vt – 12 + (1 (1 vt – 13 用于预测的模型型式是 yt = yt -1 + yt - 12 – yt – 13 + vt - (1 vt –1 - (1 vt – 12 + (1 (1 vt – 13 (2.95) 从上式可以看出乘积季节模型可以展开为ARIMA模型。只是模型的阶数较高而已。 对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度s的识别可以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相关图和偏相关图分析得到。 以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不是呈线性衰减趋势，而是在变化周期的整倍数点上出现绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为该时间序列可以用乘积季节模型描述。 建立乘积季节模型， （1）首先要确定d, D。通过差分和季节差分把原序列变换为一个平稳的序列。令 xt = ( d (sD yt （2）然后用xt 建立 (p (L) (P (Ls) xt = (q (L) (Q (Ls) vt模型。乘积季节模型参数的估计与前面介绍的估计方法相同。利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。举例如下。 例2.2（文件名：b2c3）：社会商品零售额月度数据（yt）曲线见图2.17。yt与时间呈指数关系且存在递增型异方差。对数的社会商品零售额月度数据（Ln yt）曲线见图2.18。Lnyt与时间近似呈线性关系（异方差问题也得到抑制）。 图2.17 yt 图2.18 Lnyt 通过Lnyt的相关图和偏相关图（图2.19）可以看到Lnyt是一个非平稳序列（相关图衰减很慢）且Lnyt与其12倍数的滞后期存在自回归关系。 图2.19 Lnyt的相关图（下）和偏相关图（上） 对Lnyt进行一阶差分，得 (Lnyt（图2.21）。从 (Lnyt的相关图和偏相关图（图2.20）可以看到，通过差分 (Lnyt的平稳性得到很大改进，但与其12倍数的滞后期存在显著的自相关关系。 对Lnyt进行一阶季节差分，得 (12 Lnyt（图2.23）。从 (12 Lnyt的相关图和偏相关图（图2.25）可以看到 (12 Lnyt仍然是非平稳的。 图2.20 (Lnyt的相关图（下）和偏相关图（上） 图2.21 (Ln yt 图2.22 (2Ln yt 图2.23 (12 Lnyt 图2.24 ( (12 Lnyt = xt 图2.25 (12 Lnyt的相关图（下）和偏相关图（上） 图2.26 ( (12 Lnyt的相关图（下）和偏相关图（上） 对Lnyt进行一阶差分和一阶季节差分，得 ((12 Lnyt（见图2.24）。从xt 的相关图和偏相关图（见图2.26）可以看到((12 Lnyt近似为一个平稳过程。 分别估计yt 的 (1, 1, 1) ( (1, 1, 0)12 ，(1, 1, 0) ( (1, 1, 0)12和(0, 1, 0) ( (1, 1, 1)12 阶乘积季节模型，得结果如下 估计的 (1, 1, 1) ( (1, 1, 0)12 模型是： (1+ 0.60 L) (1 + 0.43 L12) ( (12 Lnyt = (1 + 0.48 L) vt (2.96) (4.4) (5.6) (2.9) R2 = 0.33, DW = 2.04, F = 28.3, s.e. = 0.036, Q15 = 8.32, Q40 = 17.9 EViews估计命令是DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1)。输出结果如下： 注意输出结果和(2.96) 式的写法。不要把估计系数的符号写错。 (1, 1, 0) ( (1, 1, 0)12 模型的估计结果是： (1+ 0.29 L) (1 + 0.45 L12) ( (12 Lnyt = vt (2.96) (3.4) (5.6) R2 = 0.28, DW = 1.67, F = 45.9, s.e. = 0.037, Q15 = 6.73, Q40 = 19.1 (0, 1, 1) ( (0, 1, 1)12模型的估计结果是： ( (12 Lnyt = (1- 0.35 L) (1 - 0.61 L12) vt (2.97) (- 4.4) (- 9.1) R2 = 0.36, DW = 1.86, F = 71.9, s.e. = 0.038, Q15 = 6.42, Q40 = 25.16 上式变换为， (Ln yt – ( Lnyt - 12 = vt - 0.35 vt –1 - 0.61 vt – 12 + 0.2135 vt – 13 用于预测的模型型式是 Lnyt = Lnyt -1 +Ln yt - 12 –Lnyt – 13 + vt - 0.35 vt –1 - 0.61 vt – 12 + 0.2135 vt – 13 (2.98) 注意：在EViews估计命令中把变量写作DLOG(Y,1,12)，好处是预测时可直接预测Y,，也可以预测( (12 Lnyt。 例2.3 香港季节GDP数据的拟合（季节时间序列模型file：HongKong） 1990~1997年香港季度GDP曲线见图2.27。1980~1997年GDP随时间呈指数增长。1997年由于遭受东南亚金融危机的影响，经济发展处于停滞状态，1998~2002年底GDP总量几乎没有增长。另一个特征是GDP随时间呈递增型异方差。所以，用对数的季度GDP数据（LnGDPt，曲线见图2.28）建立季节时间序列模型。 图2.27 GDPt 图2.28 LnGDPt 通过LnGDPt的相关图和偏相关图（图2.33）可以看到LnGDPt是一个非平稳序列（相关图衰减得很慢）。对LnGDPt进行一阶差分，得 DLnGDPt（见图2.29）。DLnGDPt的平稳性得到很大改进，但其季节因素影响还很大。从 DLnGDPt的相关图和偏相关图（图2.34）也可以明显地看到这个特征。若对LnGDPt直接进行一次四阶差分（季节差分），得D4LnGDPt见图2.30。其波动性也很大。 在DLnGDPt的基础上进行一阶季节差分，或在D4LnGDPt基础上进行一阶非季节差分，得 D4DLnGDPt（图2.32）。其相关图和偏相关图见图2.35。D4DLnGDPt中已经基本消除了季节变化因素。在D4DLnGDPt的基础上建立时间序列模型。 图2.29 DLnGDPt ,（s.d. = 0.062） 图2.30 D4LnGDPt,（s.d. = 0.076） 图2.31 D2LnGDPt ,（s.d. = 0.062） 图2.32 D4DLnGDPt,（s.d. = 0.029） 图2.33 LnGDPt的相关图和偏相关图 图2.34 DLnGDPt的相关图和偏相关图 图2.35 D4DLnGDPt的相关和偏相关图 图2.36模型(2.99)误差项的相关和偏相关图 通过对D4DLnGDPt的相关和偏相关图分析，应该建立(1, 1, 0) ( (1, 1, 0)12 模型。EViews估计命令是 DLOG(Y,1,4) AR(1) SAR(12) MA(1)。 EViews输出结果如下： 图2.26 (2,1,2)((1,1,1)4模型误差项序列 估计结果是：D4DLnGDPt = - 0.0024 + ut (-2.6) (1-1.20 L+0.67 L2) (1 - 0.35 L4) ut = (1 - 1.16 L+ 0.97 L2) (1 - 0.95 L4) vt (2.99) (14.5) (-9.0) (2.9) (55.7) (83.9) (-32.3) R2 = 0.57, DW = 2.01, F = 16.3, s.e. = 0.020, Q15 = 10.4 (1-1.20 L+0.67 L2) (1-0.35 L4) (D4DLnGDPt +0.0024) = (1-1.16 L+ 0.97 L2) (1-0.95 L4) vt (1-1.20 L+0.67 L2-0.35 L4+0.42 L5-0.2345 L6) (D4DLnGDPt +0.0024) = (1-1.16 L+0.97L2 -0.95 L4+1.102L5-0.9215 L6) vt (1-1.20 L+0.67 L2-0.35 L4+0.42 L5-0.2345 L6) D4DLnGDPt +0.00073 = (1-1.16 L+0.97L2 -0.95 L4+1.102L5-0.9215 L6) vt (1-1.20 L+0.67 L2-0.35 L4+0.42 L5-0.2345 L6) (1- L) (1-L4)LnGDPt = -0.00073 + (1-1.16 L+0.97L2 -0.95 L4+1.102L5-0.9215 L6) vt (1-1.20 L+0.67 L2-0.35 L4+0.42 L5-0.2345 L6) (1- L- L4+ L5) LnGDPt = -0.00073 + (1-1.16 L+0.97L2 -0.95 L4+1.102L5-0.9215 L6) vt (1-1.20 L+0.67 L2-0.35 L4+0.42 L5-0.2345 L6) (1- L- L4+ L5) LnGDPt = -0.00073 + (1-1.16 L+0.97L2 -0.95 L4+1.102L5-0.9215 L6) vt 2 5