数学运算精讲数学运算之行程问题专题

数学运算之行程问题专题 行程问题的“三原色”路程、速度、时间。问题千变万化，归根结底就是这三者之间的变化。行测问题细分来看有四大类：一是相遇问题；二是追及问题；三是流水问题；四是相关问题。 1、相遇问题： 相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量--------路程、速度、时间。相遇问题的核心就是速度和。 路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以示成: 路程= 速度×时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程÷时间, 时间= 路程÷速度. 一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起了AB这段路程,如果两人同时出发,那有: (1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程 (2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间= 速度和×相遇时间 例1:甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原每小时少走1千米，那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米？ 　　【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢？就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。 　　【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米） 这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和×时间=（相隔的）路程。但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。但在实际问题中、两人可能在不同的时间出发,或因题目的其他条件使一般的相遇问题变得非常复杂,要小心审题,耐心推敲. 对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。 例2:上午9时,小宇和弟弟同时从家出发去学校参加活动,小宇骑自行车,每分钟行300米;弟弟步行、每分钟行70米.小宇到达学校后,呆了30分钟后立即返回家中、途中遇到正前往学校的弟弟时是10时10分.你知道从家到学校有多远吗? 虽然小宇和弟弟同时从家中出发,似乎不符合相遇问题的条件,但在整个的行走过程中隐含著一个相遇问题,即小宇从学校返回,而弟弟正在途中向学校走去,直到两人相遇.我们可以用图示法将二人的行走路线表示出来,以便於理解.从图中可以看出两人共同走的路程是从家到学校路程的2倍.那只需求出两人共走了多少路程,则从家到学校这段路程可求.两人共走的路程,即小宇骑自行车的速度×所走的时间加上弟弟的步行速度×所走的时间解2从9点到10点10分,共有70分钟,因为小宇呆了30分钟所以小宇走了分钟,弟弟一直没停,则弟弟走了70分钟. 答:从家到学校距离8450米. 例3有甲,乙两列火车,甲车长96米,每秒钟行驶26米,乙车长104米,每秒钟行驶24米,两车相向而行、从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开、需要多少秒钟? 假设乙列车停止不动,那易知甲行走的路程为两个列车的车身长200米.而实际上乙列车没有停,它的速度是24米秒,也就相当於乙列车把它的速度给了甲列车,使自己的速度为0.相当於甲车速度为50米秒,那从相遇到离开的时间=列车长度和/速度和. 例4:田田坐在行驶的列车上,发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他窗口,后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒.已知货车车长180米,求货车的速度? 田田坐在列车上,货车用6秒通过他的窗口,这是一个相遇问题,是田田与货车相遇,因此与列车车长无关.假设田田不动,则货车行驶了一个货车车长,用时6秒.由速度和=全程/相遇时间,可求田田与货车的速度和,田田的速度即列车的速度.那只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度,此问题可解. 例5（用比例关系）学校田径场的环形跑道周长为400米，甲、乙两人同时从跑道上的A点出发背向跑步，两人第一次相遇后，继续往前跑，甲在跑26又2/3秒第一次回到A点，乙再跑1分钟也第一次回到A点，求甲乙两人的速度。 设甲乙二人相遇的时间是X 由题意得知，乙开始X秒所行的距离甲行了：26又2/3秒 那么甲乙的速度比是：X：80/3=3X：80 甲开始X秒所行的距离乙行了60秒， 即甲乙的速度比也是：60：X 所以有：3X：80=60：X X=40秒 那么甲乙的速度比是：60：40=3：2 又甲乙的速度和是：400/40=10米/秒 所以甲的速度是：10*3/[3+2]=6米/秒，乙的速度是：10*2/5=4米/秒。 2:追及问题：两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。这样的问题一般称为追及问题。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差×时间=追及（或领先的）路程。追及问题的核心就是速度差。 　　例1：甲、乙两人联系跑步，若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙，若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距多少米？ A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】C。解析：甲乙的速度差为12÷6=2米/秒，则乙的速度为2×5÷2=5米/秒，如果乙先跑9秒，甲再追乙，那么10秒后，两人相距5×9－2×10=25米。 例2 小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间? 　　分析 此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在 顺水中的速度是船速+水速．水壶飘流的速度只等于水速。 解：路程差÷船速=追及时间 2÷4=0．5（小时）． 答：他们二人追回水壶需用0．5小时。 3、流水问题。 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到.此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 　　顺水速度=船速+水速，（1） 　　逆水速度=船速-水速.（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速，是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。 　　根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 　　水速=顺水速度-船速， 　　船速=顺水速度-水速。 　　由公式（2）可以得到： 　　水速=船速-逆水速度， 　　船速=逆水速度+水速。 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量。 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 　　船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 　　水速=（顺水速度-逆水速度）÷2。 例1 甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。 分析 根据题意，要想求出船速和水速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度和逆水速度可按行程问题的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间求出。 　　解： 　　顺水速度：208÷8=26（千米/小时） 　　逆水速度：208÷13=16（千米/小时） 　　船速：（26+16）÷2=21（千米/小时） 　　水速：（26—16）÷2=5（千米/小时） 　　答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。 例2 某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 分析 要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。 　　解： 　　从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时）， 　　甲乙两地路程：18×8=144（千米）， 　　从乙地到甲地的逆水速度：15—3=12（千米/小时）， 　　返回时逆行用的时间：144÷12＝12（小时）。 　　答：从乙地返回甲地需要12小时。 例3 甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？ 分析 要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速.由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度.在此基础上再用和差问题解法求出水速。 　　解： 　　轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时）， 　　顺流航行的时间：（35—5）÷2=15（小时）， 　　轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时）， 　　顺流速度：360÷15=24（千米/小时）， 　　水速：（24—18）÷2=3（千米/小时）， 　　帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时）， 　　帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小时）， 　　帆船往返两港所用时间： 　　360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。 　 例4 某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是： A．2.5：1 B．3：1 C．3.5：1 D．4：1 （2005年中央真题） 解析1：典型流水问题。如果设逆水速度为V，设顺水速度是逆水速度的K倍，则可列如下方程： 　　21/KV+4 =12/KV+7 　　将V约掉，解得K=3 解析2，推荐。注意一个关系量，两次时间相等，也就是说，第二天虽然顺流少行了9km而节约的时间与逆流多行的3km所花的时间抵消了。两者时间相等。时间一定，速度比等于路程比，故顺逆比为 21-12/7-4=3:1 4、相关问题 例3 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A．80级 B．100级 C．120级 D．140级 （2005年中央真题） 解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下， （X+2）×40=（X+3/2）×50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100 所以，答案为B。 五、特殊的思维方法。 　　 　　整体的思维方法 　　例1C、D两地间的公路长96千米，小张骑自行车自C往D，小王骑摩托车自D往C，他们同时出发，经过80分两人相遇，小王到C地后马上折回，在第一次相遇后40分追上小张，小王到D地后马上折回，问再过多少时间小张与小王再相遇？ 　　分析与解：依题意小张、小王三次相遇情况可画示意图（2）。这道题如果从常规思路入手，运用相遇问题的基本数量关系来求解是非常不易的。但可根据题中小张、小兰三次相遇各自的车速不变和在相距96千米两地其同时相向而行相遇时间不变，进行整体思维。从图（2）可以看到：第三次相遇时，小王小张和走了3个全程，所花的时间是80×3=240（分）。可见，从第二次相遇到第三次相遇所经过的时间的综合算式是：80×3-80-40=120（分）。 六、精选例题及解答 例1. 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，甲、乙两地间的距离是多少？ 分析：用公式路程差÷速度差=时间。 解：1×2÷（5-4）=2小时。 甲乙两地间的距离为：（5+4）×2=18（千米） 例 2. 小张从甲地到乙地步行需要36分，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分。他们同时出发，几分后两人相遇？ 解：小张速度：小王速度=1:3. 两人相遇所需时间36÷（1+3）=9（分） 例 3. 一列火车长152米，它的速度是每小时63.36千米。一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过要8秒，这个人的步行速度是每秒多少米？ 分析：相向而行的计算公式 ： 路程=速度和×相遇时间。注意单位换算成同一单位。 解：63.36千米/小时=17.6米/秒 这个人的步行速度是：152÷8-17.6=1.4米/秒 例 4. 兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 解：他们第10次相遇时所用时间30÷（1.2+1.3）×10=120秒 由1.2×120÷30=4………24此时妹妹已跑了4圈零24米。妹妹还需走6米才能回到出发点。 例 5. 甲、乙两人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙。若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。那么甲、乙两人的速度是多少？ 解：甲乙两人速度差10÷5=2（米/秒） 乙的速度2×4÷2=4（米/秒） 甲的速度4+2=6（米/秒） 例6. 一只狗追赶一只野兔，狗跳5次的时间兔子能跳6次，狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等。兔子跳出550米后狗才开始追赶，那么狗跳多少米才能追上兔子呢？ 解: 狗跳5次的时间兔子能跳6次， 则狗跳20次的时间兔子能跳24次；又因为狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等，所以兔子跳24次的距离与狗跳5×7次的距离相等，狗与野兔的速度比为5×7：4×6=35：24。狗比兔子多35-24=11。 由速度比等于路程比（时间一定）得550×=1750(米) 例7. 如图，甲在南北路上，由北向南行进，乙在东西路上，由东向西行进。甲出发点在两条路交叉点北1120米，乙出发点在交叉点上。两人同时出发，4分钟后，甲、乙两人所在的位置距交叉点的路程相等（这时甲仍在交叉点北）。再经过52分钟后，两人所在的位置又距交叉点路程相等（这时甲在交叉点南）。求甲、乙两人的速度。 分析：要认真挖掘题中的隐含条件：（1）4分钟后两人所在位置距交叉点相等，说明甲离交叉点的距离等于乙走过的路程，即两人共走了1120米。(2)由于甲在交叉口北1120米处出发，乙在交叉口处出发，经过（4+52）分钟后两人距交叉口等距，说明乙比甲多走了1120米。 解:甲、乙两人每分钟走的距离和1120÷4=280（米） 甲、乙两人每分钟走的距离差1120÷（4+52）=20（米） 甲每分钟走的距离（280－20）÷2= 130（米） 乙每分钟走的距离（280 +20）÷2= 150（米） 例8、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。A、B两地相距多远？ 分析：我们先画出示意图 1（图1中P、M、N分别为第一次、第二次、第三次相遇地点） 设：AB两地的距离为“1”.由甲、乙两车的速度可以推知：在相同时内, 乙车所行的路程是甲行路程的=,从而甲、乙两车所行的路程分别占他们共同行完路程的 和 解： 第二次相遇两车共行了全程的3倍，甲行了全程的3×=1，乙行了全程的3×=1，此时AM=全程的=。　第二次相遇两车共行了全程的5倍，乙行了全程的5×=2，NB=全程的，此时AN=全程的,MN=全程的(－)==40千米，所以A、B两地相距 40÷=90千米 注意：为了保证计算正确，应当在示意图中标上三次相遇时甲、乙两车行的方向。 例9、甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 　　分析：要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇时共跑了多远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，乙、甲的速度比为8：7 ，由于在相同的时间内，走过的路程比也是8：7。所以这段时间内甲共行1400米。由此得解。 解：他们第十次相遇时，共跑了300×10=3000米。此时甲跑了 3000×=1400米 　　由　1400÷300=4（圈）……200（米） 300-200=100（米）。因此甲还需跑 100米才能回到出发点 例 10、有甲、乙、丙三人，甲每小时行3千米，乙每小时行4千米，丙每小时行5千米。甲从A地，乙、丙从B地同时相向出发。丙遇到甲后立即返回，再遇到乙，这时恰好从出发时间开始算经过了10小时。求A、B两地之间的距离。 分析：画出示意图 2： 　　图 2 　由相同时间内甲、乙、丙所走路程之比等于他们速度之比，则 　图 2中，AC：CB：DB=3:5:4 则 CD:DB=1:4 所以 CD= DB 由丙、乙速度比为5：4。得 CP：PD：=5：4 PD=CD=DB。PB=10PD。PB 即为乙10小时走的距离 PB=4×10=40千米 PD=4千米 DB=40－4=36千米 ，得甲、丙相遇时间为36÷4=9小时， 所以 AB=（4+5+3）×9 =72千米。 解法（二） 丙10小时比乙多走的路程：2CP=5×10-4×10=10（千米），则CP=5（千米） 丙走路程CP所用时间：5÷5=1（小时） 所以甲、丙二人的相遇时间：10- 1=9（小时）。 A、B两地间的距离：（3+5）×9=72（千米）。 　　答：A、B两地间的距离为72千米。 例11.张老师从北京乘坐飞机回沈阳，原计划八点到机场，结果提前于七点到达。他的儿子接他的车尚未到达。张老师就边散步边往家走，走了一段路后，车到了，此时张老师乘车回家，结果提前10分钟到家，请问张老师散步走了多少时间？ 解：因为汽车提前10分钟到家，这节省的时间正好是车接到张老师的地点到机场距离,车所行时间的2倍，所以这个距离车应走5分钟。所以车接到张老师时是七点五十五分，因此张老师走了55分钟。 例12 .甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。 　　画图如下： 分析 结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500（米）。 　　又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为每分钟 50-40＝10（米），这样就可求出乙从B到C的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。 　　解：①甲和丙15分钟的相遇路程： 　　（40＋60）×15=1500（米）。 　　②乙和丙的速度差：每分钟 50-40=10（米）。 　　③甲和乙的相遇时间： 1500÷10=150（分钟）。 　　④A、B两地间的距离： 　　（50＋60）×150＝16500（米）＝16.5千米。 　　答：A、B两地间的距离是16.5千米. 例13 . 甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？ 　　先画图如下： 分析与解： 结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察： 设甲乙两地距离为a 　　①第一阶段——从出发到二人相遇： 　　小强走的路程=a+100米， 　　小明走的路程=a-100米。 　　②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2a-100米+300米=2a+200米， 　　小明走的路程=100+300=400（米）。 从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷2＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300（米）。 例14．一只船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头间距离。 解： 顺水速度与逆水速度之比为（20+4）︰（20－4）=24︰16=3︰2 因为路程一定时,速度与时间成反比，所以顺水时间︰逆水时间=2︰3 甲乙两码头距离为 =120（千米） 例15.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 　　先画图如下： 分析 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。 　　同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。 　　解：50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分） 　　（80+50）×6＝130×6=780（米） 答：A、B间的距离为780米 例16.上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明、再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？ 解法（一）.从爸爸第一次追上小明到第二次追上这一段时间内，小明走的路程是8-4=4（千米），而爸爸行了4+8=12（千米），因此，摩托车与自行车的速度比是12∶4=3∶1.小明全程骑车行8千米，爸爸来回总共行4+12=16（千米），还因晚出发而少用8分钟，从上面算出的速度比得知，小明骑车行8千米，爸爸如同时出发应该骑24千米.现在少用8分钟，少骑24-16=8（千米），因此推算出摩托车的速度是每分钟1千米.爸爸总共骑了16千米追上小明，需16分钟，此时小明走了 8+16=24（分钟），所以此时是8点32分. 解法(二) 这从爸爸第一次追上小明到第二追上小明，小明走了4千米，爸爸 走了三个4千米，所以小明的速度是时是爸爸速度的倍。 爸爸从家到第一次追上小明，比小明多走了4×（1－1/3）=8/3千米，共用了8分钟，所以小明的速度是 8/3÷8=1/3米， 从爸爸从家出发到第二次追上小明，小明 共走了8千米，所用时间为8÷=24 分 所以现在是8点32分 解法(三)同上,先得出小明的速度是时是爸爸速度的倍. 爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米,若爸爸与小明同时出发,则爸爸应走出12千米,但是由于爸爸晚出发8分钟,所以只走了4千米,所以爸爸8分钟应走8千米. 由于爸爸从出发 到第二次追上小明共走了16千米, 所以爸爸用了16分钟,此时离小明出发共用了8+16=24分钟, 所以爸爸第二次追上小明时是8点32分 例17．甲乙两地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回。去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。已知自行车的上坡速度是每小时10千米，求自行车下坡的速度 解：设自行车下坡的速度为x，因为某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回。去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分，共用了8小时，由于是往返一次 ，所以上坡行了48公里，下坡也行了48公里。上坡所需是间是 ：48÷10=4.8下坡所需是间是:8-4.8=3.2.所以 x=48÷3.2=15(千米／小时) 例18．某人从家到单位时,1/3的路程骑车，2/3的路程乘车；从单位回家时，前3/8时间骑车，后5/8时间乘车．结果去单位的时间比回家所用时间多０．５小时 已知他骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米，则此人从家到单位的距离是多少千米？ 解:设从家到单位的距离是s千米.则从家到单位用的时间为: S÷3÷8+ S÷3×2÷16=S/12 设从单位回家所用时间为t, 则 t ×8+ t×16= S.得t=S/13 因为S/12－S/13=0.5,解得S=78千米 例19．甲、乙二人分别以每小时3千米和5千米的速度从A、B两地相向而行．相遇后二人继续往前走，如果甲从相遇点到达B地共行4小时，那么A、B两地相距多少千米？ 解:因为甲、乙二人速度分别为3千米和5千米.则在相同的时间内所走路程比为3:5,两人相遇时,乙从B地到相遇点已走了全程的,由于甲从相遇点到达B地共行4小时, 应走全程的,所以甲走全程的时间为:4÷5/8=小时. 所以A、B两地相距 3×32/5=19.2千米. 练习： 1. 一列客车从甲站开往乙站，每小时行65千米，一列货车从乙站开往甲站，每小时行60千米，已知货车比客车早开出5分，两车相遇的地点距甲乙两站中点10千米，甲乙两站之间的距离是多少千米？ 2．汽车往返于甲、乙两地之间，上行速度为每小时30千米，下行速度为每小时60千米，求往返的平均速度． 3．甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端．如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差80米时俩人第二次相遇，求跑道的长是多少米？ 4．快慢两列火车的长分别是200米、300米，它们相向而行．坐在慢车上的人见快车通过此人窗口的时间是8秒，则坐在快车上的人见慢车通过此人窗口所用的时间是多少秒？ 5．甲、乙二人步行的速度相等，骑自行车的速度也相等，他们都要由A处到B处．甲计划骑自行车和步行所经过的路程相等；乙计划骑自行车和步行的时间相等．谁先到达目的地？ 6．甲、乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行．甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米．与甲同时、同地、同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，……这只狗就这样往返于甲、乙之间直到二人相遇而止，则相遇时这只狗共跑了多少千米？ 7．一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行．这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米．它们每爬行1秒，3秒，5秒，………（连续奇数），就调头爬行．那么，它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？ 8．铁路与公路平行．公路上有一个人在行走，速度是每小时4千米，一列火车追上并超过这个人用了6秒．公路上还有一辆汽车与火车同向行驶，速度是每小时67千米，火车追上并超过这辆汽车用了48秒，则火车速度为多少？长度为多少？ 9．一列长110米的列车，以每小时30千米的速度向北驶去，14点10分火车追上一个向北走的工人，15秒后离开工人，14点16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开学生．问工人、学生何时相遇？ 10．在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么相邻两车间隔多少分？ 参考答案： 1. 630千米 2. 40千米/小时。 3. 200米。略解：第一次相遇两人共跑半圈，此时甲跑60米。第二次相遇两人共跑一圈，此时甲跑 半圈+（80-60）米 则 60×2=半圈+（80-60）半圈=100米，跑道长200米 4. 12秒 5. 甲先到 6. 25千米 7. 解：1.26米=126厘米， 126÷2÷（5.5+3.5）=7秒 1+3+5+7+9+11+13=49秒 8. 解：设火车长为x千米，列方程得 67×+x=（4×+x）×8 x=0.12 （4×+0.12 ）÷=76（千米/小时） 火车长为120米 9. 解：火车速度30千米/小时=米/秒 工人速度（15×-110）÷15=1米/秒 学生速度（110-12×）÷12=米/秒 从14点16分算起，工人、学生相遇所需时间 （-1）×6÷（1+）=24分。所以工人、学生在14时40分相遇 10. 解：设小光每10分钟行a，则小明每10分钟行3a，当公共汽车赶上小光时，小明已走了3a，从此时算起再过10分，公共汽车追上小明，此时小明已走了6a，在此10分钟内，公共汽车应走（6－1）=5a，所以公共汽车的速度是小光的5倍，它每10分走5a，2分钟走a，所以每隔（10－2）=8分发一辆车。 50道习题及详解 1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离. 解：第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米， 通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米， 所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。 2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？ 解：那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差 所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（60+75）=4860米。 3．A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 解：根据：第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。这样根据总结：2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。 4、小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题） 解：原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是=100×30=3000米。 5．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？ 　　解：画示意图如下. 　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了 　　3.5×3＝10.5（千米）. 　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是 　　10.5-2＝8.5（千米）. 　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了 　　3.5×7＝24.5（千米）， 　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）. 　　就知道第四次相遇处，离乙村 　　8.5-7.5=1（千米）. 　　答：第四次相遇地点离乙村1千米. 6 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 　　解：画一张示意图： 　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于 　　这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是 　　1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）. 　　这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要 　　130÷2=65（分钟）. 　　从乙地到甲地需要的时间是 　　130＋65=195（分钟）＝3小时15分. 　　答：小李从乙地到甲地需要3小时15分. 7 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？ 　　解：画一张示意图： 　　设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位. 　　有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了. 　　慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7 小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）. 　　现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是 　　14÷（2＋3）＝2.8（小时）. 　　慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了 　　7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）. 　　答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分. 8 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？ 　　解：设原速度是1. 　　 　　％后，所用时间缩短到原时间的 　　这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比. 　　用原速行驶需要 　　同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的 　　 　　如果一开始就加速25％，可少时间 　　现在只少了40分钟， 72-40＝32（分钟）. 　　说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间 　 　　真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长 　　答：甲、乙两地相距270千米. 9．一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达。如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？ (常规较容易101刚考过) 解：设原速度是1. 后来速度为1+20%=1.2 　　 　　速度比值： 　　这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比. 时间比值 ：6：5 这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时。 原来时间就是=1×6=6小时。 　　 　　同样道理，车速提高30％，速度比值：1：（1+30%）=1：1.3 时间比值：1.3：1 这样也节省了0.3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为1.3÷0.3=13/3 所以前后的时间比值为（6-13/3）：13/3=5：13。所以总共行驶了全程的5/（5+13）=5/18 10．甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，出发时，甲、乙的速度比是 5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B时，乙离A地还有10千米。那么A，B两地相距多少千米？ 解：相遇后速度比值为[5×（1-20%）]：[4×（1+20%）]=5：6，假设全程为9份，甲走了5份，乙走了4份，之后速度发生变化，这样甲到达B地，甲又走了4份，根据速度变化后的比值，乙应该走了4×6÷5=24/5份，这样距A地还有5-24/5份，所以全程为10÷（1/5）×9=450千米。 11、　A、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行，同时从A地去B地。甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段时间，这样乙到达占地时，甲离B地还有200米。甲修车的时间内，乙走了多少米? 解： 由甲共走了10000—200=9800(米)，可推出在甲走的同时乙共走了9800÷4=2450(米)，从而又可推出在甲修车的时间内乙走了10000—2450=7550(米)。列算式为 　　　　　 10000一(10000—200)÷4=7550(米) 答：甲修车的时间内乙走了7550米。 12、爷爷坐汽车，小李骑自行车，沿一条公路同时从A地去B地。汽车每小时行40千米，是自行车速度的2．5倍。结果爷爷比小李提前3小时到达B地。A、B两地间的路程是多少千米? 解法一：根据“汽车的速度是自行车的2．5倍”可知，同时从A地到B地，骑自行车所花时间是汽车的2．5倍，也就是要比坐汽车多花1．5倍的时间，其对应的具体量是3小时，可知坐车要3÷(2.5一1)=2(小时)，A、B两地问的路程为40×2=80(千米)。即 解法二：汽车到B地时，自行车离B地(40÷2．5×3)=48(千米)，这48千米就是自行车比汽车一共少走的路程，除以自行车每小时比汽车少走的路程，就可以得出汽车走完全程所用的时间，也就可以求出两地距离为 13、如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向而行。它们第一次相遇在离Ａ点8厘米处的B点，第二次相遇在离c点处6厘米的Ｄ点，问，这个圆周的长是多少? 解： 如上图所示，第一次相遇，两只小虫共爬 行了半个圆周，其中从Ａ点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两 只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从Ａ点出发的应爬行8×3=24(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为8×3—6=18(厘米)，一个圆周长就是： 　　　　 (8×3—6)×2=36(厘米) 答：这个圆周的长是36厘米。 14、两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时? 解法一：由于货车和客车的速度不同，而要走的路程相同，所以货车和客车走完全程所需的时间不同，客车比货车多消耗的时间就是它比货车提早开出的时间。列算式为 　　　 60×15÷50—15=3(小时) 解法二：①同时出发，货车到达某地时客车距离某地还有 　　 15、小方从家去学校，如果他每小时比原来多走1.5千米，他走这段路只需原来时间的 ；如果他每小时比原来少走1.5千米，那么他走这段路的时间比原来时间多几分之几? 解：速度提高后，所用的时间是原来的 ，可知速度是原来的l ，原来的速度是1.5÷(1 一1)=6(千米)。 6一1.5=4.5(千米)，相当于原来速度的 ，所用时间比原来多l÷ 一1= 。列算式为 16、王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推车步行。步行速度只有骑车速度的 ，结果这天用了36分钟才到学校。王刚家到学校有多少千米? 解法一：王刚这天比平时多用36—20=16(分钟)。这是因为步行比骑车慢 所以步行了步行24分钟的路程骑车只需24× =8(分钟)，所以骑车8分钟行2千米，骑车20分钟行2×(20÷8)=5(千米)。列算式为 解法二：设走2千米路，原计划所用时间X分钟，根据速度比等于时间的反比列出比例式1：3=X：[X+(36—20)]，得出原来行2千米需8分钟，每分钟行2÷8= (千米)，从而可求出全长为 17、甲、乙两人分别从Ａ、B两地同时相向出发。相遇后，甲继续向B地走，乙马上返回，往Ｂ地走。甲从Ａ地到达B地。 比乙返回Ｂ地迟0．5小时。已知甲的速度是乙的 。甲从Ａ地到达地Ｂ共用了多少小时? 解：相遇时，甲、乙两人所用时间相同。甲从Ａ地到达B地比乙返回B地迟0．5小时，即从相遇点到B地这同一段路程中，甲比乙多用0．5小时。可求出从相遇点到B地甲用了0．5÷(1一 )=2(小时)，相遇时，把乙行的路程看做“l”，甲行的路程为 ，从而可求 18、一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行，A的速度为每秒5厘米，B的速度为每秒1．5厘米，C的速度为每秒2．5厘米．问3只甲虫爬出多少时间后第一次到达同一位置? 解：我们先考虑B、C两只甲虫什么时候到达同一位置，C与B相差20厘米，C追上B需要20÷(2．5—1．5)=20(秒)．而20秒后每次追及又需60÷(2.5-1.5)=60(秒)；再考虑 A与C，它们第一次到达同一位置要20÷(5—2．5)=8(秒)，而8秒后，每次追及又需60÷(5--2．5)=24（秒)．可分别列出A与C、B与C相遇的时间，推导出3只甲虫相遇的时间 解：(1)C第一次追上B所需时间20÷(2．5—1．5)=20(秒)． (2)以后每次C追上B所需时间： 60÷(2．5—1．5)=60(秒)． (3)C追上B所需的秒数依次为： 20，80，140，200，…． (4)A第一次追上C所需时间：20÷(5—2．5)=8(秒)． (5)以后A每次追上C所需时间：60÷(5--2．5)=24（秒) (6)A追上C所需的秒数依次为： 8，32，56，80，104…． 19、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 解：　先画图如下： 【方法一】 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。 　　同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。 　50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分） 　　（80+50）×6＝130×6=780（米） 　　答：A、B间的距离为780米。 【方法二】设甲的速度是x米/分钟 那么有(x-50)×26=(x+50)×6 解得x=80 所以两地距离为(80+50)×6=780米 20.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快，两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 解析：由甲、乙两人下山的速度是上山的1.5倍，有： ⑴甲、乙相遇时，甲下山600米路程所需时间，相当于甲上山走600÷1.5=400米的时间。所以甲、乙以上山的速度走一小时，甲比乙多走600+400=1000米。 ⑵乙到山顶时，甲走到半山腰，也就是甲下山走了 的路程。而走这 路程所需时间，相当于甲上山走山坡长度 ÷1.5= 的时间。所以在这段时间内，如 保持上山的速度，乙走了一个山坡的长度，甲走了1+ = 个山坡的长度。所以，甲上山的速度是乙的 倍。 用差倍问题求解甲的速度，甲每小时走：1000÷（ -1）× =4000米。 根据⑴的结论，甲以上山的速度走1小时的路程比山坡长度多400，所以山坡长3600米。 1小时后，甲已下坡600米，还有3600-600=3000米。所以，甲再用3000÷6000=0.5小时。 总上所述，甲一共用了1+0.5=1.5小时。 评注： 本题关键在转化，把下山的距离再转化为上山的距离，这种转化是在保证时间相等的情况下。通过转化，可以理清思路。但是也要分清哪些距离是上山走的，哪些是下山走的。 21.某人沿电车线路行走，没12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔？ 解析：设两车的距离为单位1。在车追人时，一辆车用12分钟追上距离为1的人。所以车与人的速度差为每分钟1÷12= 。 在车与人迎面相遇时，人与车4分钟由相距1变为相遇，所以车与人的速度和为每分钟1÷4= 。 根据和差问题公式，车的速度为每分钟（ + ）÷2= 。 则发车间隔为1÷ =6分钟。 22.龟兔赛跑，全程5.2千米，兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑；兔子边跑边玩，它先跑了1分钟后玩了15分钟，又跑了2分钟后玩15分钟，再跑3分钟后玩15分钟，......。那么先到达终点比后到达终点的快多少分钟？ 解析：乌龟用时：5.2÷3×60=104分钟；兔子总共跑了：5.2÷20×60=15.6分钟。而我们有：15.6=1+2+3+4+5+0.6 按照题目条件，从上式中我们可以知道兔子一共休息了5次，共15×5=75分钟。所以兔子共用时：15.6+75=90.6分钟。 兔子先到达终点，比后到达终点的乌龟快：104-90.6=13.4分钟。 23.A、C两地相距2千米，C、B两地相距5千米。甲、乙两人同时从C地出发，甲向B地走，到达B地后立即返回；乙向A地走，到达A地后立即返回。如果甲速度是乙速度的1.5倍，那么在乙到达D地时，还未能与甲相遇，他们还相距0.5千米，这时甲距C地多少千米？ 解析：由甲速是乙速的1.5倍的条件，可知甲路程是乙路程的1.5倍。设CD距离为x千米，则乙走的路程是（4+x）千米，甲路程为（4+x）×1.5千米或（5×2-x-0.5）千米。列方程得： （4+x）×1.5=5×2-x-0.5 x=1.4 这时甲距C地：1.4+0.5=1.9千米。 24．张明和李军分别从甲、乙两地同时想向而行。张明平均每小时行5千米；而李军第一小时行1千米，第二小时行3千米，第三小时行5千米，……（连续奇数）。两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 解析：解答此题的关键是去相遇时间。由于两人在中点相遇，因此李军的平均速度也是5千米/小时。“5”就是几个连续奇数的中间数。因为5是1、3、5、7、9这五个连续奇数的中间数，所以，从出发到相遇经过了5个小时。甲、乙两地距离为5×5×2=50千米。 25.甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 分析： 在相同的时间内，乙行了（200-20）=180（米），丙行了200-25=75（米），则丙的速度是乙的速度的175÷180= ，那么，在乙走20米的时间内，丙只能走：20× =19 （米），因此，当乙到达终点时，丙离终点还有25-19 =5 （米）。 解：25-20× =25-20 =25-19 =5 （米）。 26.老师教同学们做游戏：在一个周长为114米的圆形跑道上，两个同学从一条直径的两端同时出发沿圆周开始跑，1秒钟后他们都调头跑，再过3秒他们又调头跑，依次照1、3、5……分别都调头而跑，每秒两人分别跑5.5米和3.5米，那么经过几秒，他们初次相遇？ 解析：⑴半圆周长为144÷2=72（米）先不考虑往返，两人相遇时间为：72÷（5.5+3.5）=8（秒） ⑵初次相遇所需时间为：1+3+5+……+15=64（秒）。 27.甲、乙两地间有一条公路，王明从甲地骑自行车前往乙地，同时有一辆客车从乙地开往甲地。40分钟后王明与客车在途中相遇，客车到达甲地后立即折回乙地，在第一次相遇后又经过10分钟客车在途中追上了王明。客车到达乙地后又折回甲地，这样一直下去。当王明骑车到达乙地时，客车一共追上（指客车和王明同向）王明几次？ 解析：设王明10分钟所走的路程为a米，则王明40分钟所走的路程为4a米，则客车在10分钟所走的路程为4a×2+a=9a米，客车的速度是王明速度的9a÷a=9倍。 王明走一个甲、乙全程则客车走9个甲、乙全程，其中5个为乙到甲地方向，4个为甲到乙地方向，即客车一共追上王明4次。 28．迪斯尼乐园里冒失的米老鼠和唐老鸭把火车面对面的开上了同一条铁轨，米老鼠的速度为每秒10米，唐老鸭的速度为每秒8米。由于没有及时刹车，结果两列火车相撞。假如米老鼠和唐老鸭在相撞前多少秒同时紧急刹车，不仅可以避免两车相撞，两车车头还能保持3米的距离。（紧急刹车后米老鼠和唐老鸭的小火车分别向前滑行30米）。 答案：(30×2+3)÷(10+8)=3.5秒。 29．A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙两人的速度未必相同），假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第十二次相遇时，甲跑完几圈又几米？ 解析：甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了100×3=300米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是300-60=240米，一圈是480米。 第一次相遇时甲跑了240-100=140米，以后每次相遇甲又跑了140×2=280米，所以第十二次相遇时甲共跑了：140+280×11=3220=6圈340米。 30.甲、乙两人步行的速度之比是7：5，甲、乙分别由A、B两地同时出发。如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？ 解析：（1）设甲追上乙要x小时。 因为相向而行时，两人的距离÷两人的速度和=0.5小时，同向而行时，两人的距离÷两人的速度差=x小时。 甲、乙两人的速度之比是7：5，所以 = 解得：x=3 （2）根据路程之比等于速度之比可知，相遇时甲行7份，乙行5份（总路程12份），0.5小时内甲比乙多行7-5=2份。追及时甲要追上乙，需要多行12份，即12÷2×0.5=3小时。 31.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？ 解析：因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2 相遇后，甲、乙两人的速度比为〔3×（1+20﹪）〕：〔2×（1+30﹪）〕=3.6:2.6= 18:13到达B地时， 即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是18：13，即乙的路程为2× =1 。乙从相遇后到达A还要行3份的路程，还剩下3-1 =1 (份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是14÷1 =9（千米）。A、B两地有这样的3+2=5（份），因此A、B两地的总路程为： [3×(1+20%)]:[2×(1+30%)]=18:13 14÷(3-2× )=14÷1 =9(千米) 9×（3+2）=45（千米） 答：A、B两地的距离是45千米。 32．一条船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了10小时，甲、乙两港相距多少千米？ 解析： 平时逆行与顺行所用的时间比为2:1，设水流的速度为x，则9+x=2（9-x），x=3。那么下暴雨时，水流的速度是3×2=6（千米），顺水速度就是9+6=15（千米），逆水速度就是9-6=3（千米）。逆行与顺行的速度比是15:3=5:1。逆行用的时间就是10× =(小时)，两港之间的距离是3× =25（千米）。 33.姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，他们回家要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车再骑车去某地省时间，还是直接从公园门口步行向东去某地省时间。姐姐算了一下：已知骑车与步行的速度之比是4︰1，从公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算。那么，公园门口到他们家的距离有多少米？ 解析：从题中“公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算”，可以知道，从公园门口到某地距离是2千米时，则两者时间相同。设公园门口到家的距离是x千米。 = 8-4x=x+2 x=1.2 答：从公园门口到他们家的距离有1.2米。 34.猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却要跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 解析：此题是追及问题，需要根据 求出追及时间t. 由“它跑5步的路程，兔子要跑9步”可得相同路程步数的比为5：9；由“猎犬跑2步的时间，兔子却要跑3步”可得相同时间步数的比为2：3=6：9。把“兔子跑9步”的距离作为单位1，同一时间内猎犬跑单位1的 。时间一定则速度与路程成正比，所以猎犬与兔子的速度比为6：5，即速度差为（1- ）= ，因此猎犬至少跑10÷ =60米才能追上兔子。 35甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站100米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站300米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？ 　　先画图如下： 分析与解：结合上图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察： 　　①第一阶段——从出发到二人相遇： 　　小强走的路程=一个甲、乙距离+100米， 　　小明走的路程=一个甲、乙距离-100米。 　　②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程=2个甲、乙距离-100米+300米=2个甲、乙距离+200米， 小明走的路程=100+300=400（米）。 　　从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路是第一阶段的2倍，所以，小明第二阶段所走的路也是第一阶段的2倍，即第一阶段应走400÷2＝200（米），从而可求出甲、乙之间的距离为200＋100=300（米）。 36、甲、乙二人同时从A地去280千米外的B地，两人同时出发，甲先乘车到达某一地点后改为步行，车沿原路返回接乙，结果两人同时到达B地。已知甲、乙二人步行的速度是5千米/小时，汽车的速度是每小时55千米。问甲下车的地点距B还有多少千米？ 【分析】：甲、乙二人走的路程均分为步行、乘车两部分，两人速度相等，这说明，二人乘车的路程和步行的路程分别相等．由于二人步行的速度为每小时5千米，乘车的速度为每小时55千米，所以，在相同的时间里，乘车所走的路程是步行所走路程的11倍． 【解】：注意到乘车速度是人的11倍，那么相同时间下走的距离也是步行的11倍 由于甲乙同时到达因此两人步行的距离相同，把这个距离看做1份 可以设甲在c下车，车回去在d接上了乙 因此AD=BC AC+CD=11AD=11份，所以2AC=12份。故AC是6份 全长AB就是7份=280千米 所以一份是40千米 37、如图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分走90米，乙每分走70米。问：至少经过多长时间甲才能看到乙？ 【解答】当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了90×15÷300=4.5（条边），位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲总共走了5条边后就可以看到乙了，共需要 小时。 38、某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？ 解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒）， 　　某列车的速度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒） 　　某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米）， 　　两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）. 39、甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？ 答案： 从甲到乙顺水速度：234÷9＝26（千米/小时）。 　　从乙到甲逆水速度：234÷13＝18（千米/小时）。 　　船速是：（26+18）÷2=22（千米/小时）。 　　水速是：（26-18）÷2＝4（千米/小时）。 40、两港相距560千米，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多用了35小时。乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？ 【解】：先求出甲船往返航行的时间分别是： 小时， 小时。再求出甲船逆水速度每小时 千米，顺水速度每小时 千米，因此甲船在静水中的速度是每小时 千米，水流的速度是每小时 千米，乙船在静水中的速度是每小时 千米，所以乙船往返一次所需要的时间是 小时。 41、甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时。现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？ 分析与解：要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速。由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间.并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度。在此基础上再用和差问题解法求出水速。 解：轮船逆流航行的时间：（35+5）÷2=20（小时），顺流航行的时间：（35－5）÷2=15（小时），轮船逆流速度：360÷20=18（千米/小时），顺流速度：360÷15=24（千米/小时）， 水速：（24—18）÷2=3（千米/小时），帆船的顺流速度：12＋3＝15（千米/小时）， 帆船的逆水速度：12—3=9（千米/小时），帆船往返两港所用时间： 　　360÷15＋360÷9＝24+40=64（小时）。 　　答：机帆船往返两港要64小时。 42、 某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？ 分析与解：本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出。但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度。 解：船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）。 　　　暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）。 　　　暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小时）。 　　　暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）。 答：逆水而上需要18小时。 43、一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。这列火车长多少米？ 分析与解：画出示意图 　　 如图 ：火车8秒钟行的路程是火车的全长，20秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长（360米）所用的时间是（20-8）秒钟，即可求出火车的速度。 解火车的速度是360÷（20-8）=30（米/秒）。 　　火车长30×8=240（米）。 答：这列火车长240米 44、铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？ 【解】：分析：本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。 法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得 （x-1）×22=（x-3）×26。 解得x=14。所以火车的车身长为　（14-1）×22=286（米）。 　法二：直接设火车的车长是x, 那么等量关系就在于火车的速度上。 可得：x/26＋3＝x/22＋1 这样直接也可以x=286米 法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。 两次的追及时间比是：22：26＝11：13 所以可得：（V车－1）：（V车－3）＝13：11 可得V车＝14米/秒 所以火车的车长是（14-1）×22=286（米） 答：这列火车的车身总长为286米。 45、一条单线铁路上顺次有A、B、C、D、E五个车站，它们之间的距离依次是48、40、10、70千米。甲、乙两列火车分别从A、E两站相对开出，甲车先开4分钟，每小时行驶60千米，乙车每小时行驶50千米。两车只能在车站停车，互相让道错车。两车应在哪一车站会车（相遇），才能使停车等候的时间最短？先到的火车至少要停车多少时间？ 【解答】 A、E两站相距 千米，甲先开4分钟，行驶了 千米，若不考虑靠站错车，两列火车经过 小时相遇，相遇地点距离E点 千米，恰在C、D段的重点处，则可以考虑让甲车在C处等候或乙车在D处等候。 若让甲车在C处等候，等候时间为 小时； 若让乙车在D处等候，等候时间为 小时。 比较可知，两车应在D处会车，先导的火车至少要停车 小时，即10分钟。 46、 乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时？ 分析与解：乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）。 　　水流速度：（60-30）÷2＝15（千米/小时）.甲船顺水速度：12O÷3＝4O（千米/小时）。 　　甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。 　　甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）。 47、现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？ 分析与解：3点时分针指12，时针指3。分针在时针后5×3＝15（个）格. INCLUDEPICTURE "http://resource.hkedu.sh.cn/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14184.JPG" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://resource.hkedu.sh.cn/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14185.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 　　 48、有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？ 解：10时整，分针与时针距离是10格，需要追击的距离是（60-10）格，分针走60格，时针走5格，即分针走1格，时针走5/60=1/12格。 第一次重合经过   （60-10）/（1-1/12）=54（6/11）（分） 第二次重合再经过  60/（1-1/12）=65（5/11）（分） 答：经过54（6/11）分钟，分针与时针第一次重合；再经过65（5/11）分钟，分针与时针第二次重合。 2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？ 分析与解：在2点整时，分针落后时针5×2=10（个）格，当分针与时针第一次成直角时，分针超过时针60×（90÷360）=15（个）格，因此在这段时间内分针要比时针多走10+15=25（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为： 　　 　　 49、在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？ 分析与解：分两种情况进行讨论。①分针与时针的夹角为180°角： 　　当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走 （分钟）。 ②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合： 9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷(1-1/12)＝49又1/11（分钟） 50、晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？ 分析与解：这是一个钟面上的追及问题。分针每分钟走1格，时针每分钟走1/12格，相差（1－1/12）格（速度差）。分针与时针成一条直线，是说分针与时针相隔30格（追及路程），两针重合是说分针追上了时针。解略。答案：32又8/11（分钟） _1221306391.unknown _1221317883.unknown _1221396685.unknown _1221396779.unknown _1221396863.unknown _1221396887.unknown _1221396831.unknown _1221396713.unknown _1221396487.unknown _1221396528.unknown _1221395856.unknown _1221306399.unknown _1221308889.unknown _1221316410.unknown _1221317673.unknown _1221308959.unknown _1221308599.unknown _1221308712.unknown _1221306401.unknown _1221308517.unknown _1221306400.unknown _1221306395.unknown _1221306397.unknown _1221306398.unknown _1221306396.unknown _1221306393.unknown _1221306394.unknown _1221306392.unknown _1193920520.unknown _1221306387.unknown _1221306389.unknown _1221306390.unknown _1221306388.unknown _1221306385.unknown _1221306386.unknown _1221306384.unknown _1193905875.unknown _1193919396.unknown _1193920293.unknown _1193920352.unknown _1193919416.unknown _1193919163.unknown _1193919384.unknown _1193919112.unknown _1193905890.unknown _1188798670.unknown _1191038925.unknown _1191041015.unknown _1191041296.unknown _1193905802.unknown _1191041443.unknown _1191041292.unknown _1191040833.unknown _1191040981.unknown _1191040750.unknown _1188798762.unknown _1188798846.unknown _1188798886.unknown _1188798747.unknown _1188798589.unknown _1188798644.unknown _1188798569.unknown