测试技术基础习题答案-江征风(2)

.;..第二章部分题目答案2-21．求正弦信号)2sin()(tTAtx的单边、双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时4/T后，其各频谱如何变化？解：(1)由于22()sin()cos()2xtAtAtTT，符合三角数展开形式，则在2T处：1nA，所以，单边频谱图为图1的（a）。对)2sin()(tTAtx进行复指数展开：由于222()sin()()2jtjtTTjAxtAteeT所以，在2T处：2njAC，0nRC，2nIAC，||2nAC，2n在2T处：2njAC，0nRC，2nIAC，||2nAC，2n所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。02TAnA02T2TnRC02T2T2A2AnIC0|Cn|2A2A2T2T022n2T2T(a)单边幅频图(b)实频图(c)虚频图(d))双边幅频图(e)双边相频图图1正弦信号x(t)的频谱（2）当延迟4/T后，()xt变为2()sin()4TxtAtT，由于222()sin()cos()cos442TTxtAtAtAtTTT，符合三角函数展开形式，则在2T处：1nA，所以，单边频谱图为图2的（a）。对222()sin()sin()cos()42TTxtAtAtAtTTT进行复指数展开，由于222()cos()()2jtjtTTAxtAteeT所以，在2T处：2nAC，2nRAC，0nIC，||2nAC，n.;..在2T处：2nAC，2nRAC，0nIC，||2nAC，n所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。02TAnA02T2T2AnRC2A02T2TnIC0|Cn|2A2A2T2T0n2T2T(a)单边幅频图(b)实频图(c)虚频图(d))双边幅频图(e)双边相频图图2正弦信号x(t)延迟后的频谱2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为tttAtf00005cos513cos31cos4)(求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。解：均值0a=0；该方波各谐波的频率分别为0、03、05⋯；对应的幅值分别为04A、340A、540A⋯，即,...5,3,1,)1(421nnAn，该方波的单边幅频谱图如图3所示。nA00030507A454A...34A...74A0994A图3方波的单边幅频谱2-23试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将()ft看成矩形窗函数与(2)t、(2)t脉冲函数的卷积)。图2.55习题2-23解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数与δ(t-2)、δ(t+2)的卷积：1011)(tttw即，)]2()2([*)()(tttwtf.;..而)2(sin2)()(fCjfWtw，根据时移特性：22)2(fjet；22)2(fjet则)(tf的频谱函数为：)()2(sin2)()2(sin2)]2(()2(([)()]2()2([*)()(442222fjfjfjfjeefCeefCtFtFjfWtttwtf2-24．一时间函数)(tf及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数ttftx0cos)()(设m0[m为)(tf中最高频率分量的角频率]，试出)(tx和)(tx的双边幅频谱)(jX的示意图形，当m0时，)(jX的图形会出现什么样的情况？0t)(tf0mm)(jF(a))(tf的时域波形(b))(tf的频谱图2.56)(tf的时域波形及其频谱解：令ttx01cos)(，则)()()(1txtftx，即为)(tf和t0cos的乘积，所以其图形如图4(a)所示。若)()(11jXtx，)()(jFtf，则)(*)()()()()(11jFjXjXtxtftx由于)]()([21)(001jX，其双边幅频图如图4(b)所示。根据)(*)()()(2121jXjXtxtx，则)(*)]()([21)(*)()(001jFjFjXjX根据)()(*)(jxjjx，)()(*)(00xx和)()(*)(00xx则)]()([21)(*)]()([21)(*)()(00001FFjFjFjXjX|])(||)([|21)(*|])(||)([|21)(*|)(||)(|00001FFjFjFjXjX)(210F表示把)(21F的图形搬移到0处，图形的最大幅值为)(21F；)(210F表示把)(21F的图形搬移到0处，图形的最大幅值为)(21F；|)(|210F表示把|)(|21F的图形搬移到0处，图形的最大幅值为|)(|21F；|)(|210F表示把|)(|21F的图形搬移到0处，图形的最大幅值为|)(|21F；由于)(1tx的频谱图用双边幅频图表示，所以)(tx的双边幅频图|)(|jX如图4(c)所示，当m0时，)(tx的双边幅频图|)(|jX如图4(d)所示。.;..0t)(tx21210|)(|1jX00(a))(tx的时域波形(b)ttx01cos)(的频谱0|)(|jX00m0)(0m2|)(|jF2|)(|jF0|)(|jX002|)(|jF2|)(|jF(c))(tx的频谱(d)m0时，)(tx的频谱图4习题2-23的示意图2-25．图2.57所示周期三角波的表达式为402()402ATAttTxtATAttT求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。)(tx0t0T......0TAA图2.57周期性三角波解：周期三角波的傅立叶级数展开式为：)5cos513cos31(cos8)(020202tttAtx其单边频谱图如图5所示。0003050728A2238A2258A2278A......nA......00030507n(a)幅频图(b)相频图图5周期性三角波的频谱补充：画出0cost、0sint复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双边相频谱，并验.;..证是否满足信号的时移定理。解：0001cos2jtjttee在0处：12nC，12nRC，0nIC，1||2nC，0n在0处：12nC，12nRC，0nIC，1||2nC，0n00012nRC12000nIC00012||nC12000n(a)实频图(b)虚频图(c)双边幅频图(d)双边相频图图6000sin2jtjtjtee在0处：2njC，0nRC，12nIC，1||2nC，2n在0处：2njC，0nRC，12nIC，1||2nC，2n000nRC01212nIC0000012||nC12022n00(a)实频图(b)虚频图(c))双边幅频图(d)双边相频图图70000sincos()cos()22ttt，则002t在0处：相移：0000()()22t在0处：相移：000022t有图6和7比较可知，0sint比0cost在0、0处的相移为2和2，因此满足信号的时移定理。.;..第三章部分题目答案3-19若压电式力传感器灵敏度为90pC/MPa，电荷放大器的灵敏度为0.05V/pC，若压力变化25MPa，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50mm，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联后的总灵敏度为：123ySSSSx，其中S1=90pC/MPa，S2＝0.05V/pC，x=25MPa，y=50mm，则3125040.44442590/0.05/9ymmmmmmSxSSMPapCMPaVpCVV3-20图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。图4.24习题3-20图解：第一个框图为一阶系统，由于66/2315215/217.51sss，而317.51Kss，所以其灵敏度为3;第二个框图的灵敏度为7.3;第三个框图为二阶系统，由于22nn2222nnnn3.322Kssss，所以其灵敏度为3.3；系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。3-21由传递函数为11.5()3.50.5Hss和2n222nn100()1.4Hsss的两个环节，串联组成一个测试系统，问此系统的总灵敏度是多少？解：显然，)(1sH和)(2sH和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式的形式，则1735.05.35.11)(1sssKsHK=322222222227.021004.11002)(nnnnnnnnnssssssKsHK=100而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.3-22用时间常数为2s的一阶装置测周期为2s、4s的正弦信号，试求周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s装置的几倍？解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s时，122211111()0.1572221()1()1(2)2AT.;..1122()arctan()arctan(2)80.972oT正弦信号周期为4s时，222222111()0.3033221()1()1(2)4AT2222()arctan()arctan(2)72.324oT由于21()2()AA，22()72.320.8936()80.97，则周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s装置的2和0.8936倍。3-23用时间常数为2s的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s作正弦规律变化，且温度在500～1000℃范围内变化，试求该装置所指示的最大值和最小值各是多少？解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，输入信号的周期为160s，最大幅值1000，最小幅值500，则该装置所指示的最大值为：122211000100010001000()996.93221()1()1(2)160AT该装置所指示的最小值为：12221500500500500()498.465221()1()1(2)160AT3-24设用时间常数为0.2s的一阶装置测量正弦信号：x(t)=sin4t+0.4sin40t(K=1)，试求其输出信号。解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.2，输入信号x(t)为正弦信号x1(t)=sin4t和x2(t)=0.4sin40t的叠加。对x1(t)：角频率ω1=4，幅值A1=1，初相位φ1=0；则78.0)42.0(11)(11)(2211Ao66.38)42.0arctan()arctan()(11其输出信号的幅值为：A(ω1)*A1=0.78*1=0.78相位为：φ2－φ1=φ(ω1)→φ2=φ(ω1)+φ1=-38.66o其输出信号为：y1(t)=0.78sin(4t-38.66o)对x2(t)：角频率ω2=40，幅值A2=0.4；则124.0)402.0(11)(11)(2222Ao875.82)402.0arctan()arctan()(22其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.124*0.4=0.05相位为：φ2－φ1=φ(ω1)→φ2=φ(ω1)+φ1=-82.875o其输出信号为：y2(t)=0.496sin(4t-82.875o)所以，x(t)为输入信号时，输出信号为：y(t)=y1(t)+y2(t)=0.78sin(4t-38.66o)+0.05sin(4t-82.875o).;..3-25用一阶系统对100Hz正弦信号进行测量，如果振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？如用具有该时间常数的同一系统作50Hz正弦信号的测试，问此时的振幅误差和相位差是多少？1．解：(1)因为1()A，故当||5%0.05≤时，即要求1()0.05A≤，所以2110.05()1≤。化简得221()10.1080.95≤，则4111.081.085.2310s22100sf≤（2分）(2)当作50Hz信号测试时，有（4分）224211111110.98681.32%()1(2)1(2505.2310)1f4arctan()arctan(2)arctan(2505.2310)91950fo3-26已知某线性装置21()10.01A，()arctan0.1，现测得该系统稳态输出y(t)=10sin(30t-45°)，试求系统的输入信号x(t)。解：根据频率保持特性：输入信号的频率ω=30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为：3162.03001.011)(2Ao565.71)301.0arctan()(则输入信号的幅值和相位分别为：A=10/A(ω)=10/0.3162=31.6256φ1=φ2-φ(ω)=-45o+71.565o=26.5651o则输入信号为：x(t)=31.6256sin(30t+26.5651o)3-27将温度计从20℃的空气中突然插入100℃的水中，若温度计的时间常数τ=2.5s，则2s后的温度计指示值是多少？3-28某测量装置的频率响应函数为1()10.05Hjj，试问：1)该系统是什么系统?2)若输入周期信号()2cos100.8cos(10030)xttt，试求其稳态响应y(t)。答:1)一阶系统，2)一阶系统:21()1()A()arctan()当=10时，2211()(10)0.89441()1(0.05*10)AA()(10)arctan()arctan(10*0.05)26.57o当=100时，2211()(100)0.19611()1(0.05*100)AA()(100)arctan()arctan(100*0.05)78.69o所以，000()2(10)cos(10(10))0.8(100)cos(1030(100))1.78cos(1026.56)0.156cos(10108.69)ytAtAttt3-29用时间常数为0.5的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示值的幅值误差小于2%，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s和5s，问幅值误差是多少？.;..解：由题意可知：τ=0.5s,δ=|1-A(2f)|×100％=(1-A(2f))×100％<2%则02.0)25.0(1112f,即f<0.0646Hz被测参数的周期是2s时，f=1/2=0.5Hz,δ=(1-A(2f))×100％=(1-A(2××0.5))×100％=46.3%被测参数的周期是5s时，f=1/5=0.2Hz,δ=(1-A(2f))×100％=(1-A(2××0.2))×100％=15.3%3-30已知某测试系统传递函数110.5Hss，当输入信号分别为1sinxt，2sin4xt时，试分别求系统稳态输出，并比较它们幅值变化和相位变化。解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.5，当输入信号x(t)为正弦信号x1(t)=sint时，信号的角频率ω1=，幅值A1=1，初相位φ1=0；则122111()0.5371()1(0.5)A11()arctan()arctan(0.5)57.52o其输出信号的幅值为：A(ω1)*A1=0.537*1=0.537相位为：φ2－φ1=φ(ω1)→φ2=φ(ω1)+φ1=-57.52o；其输出信号为：y1(t)=0.537sin(t-57.52o)当输入信号为x2(t)=sin4t时，其角频率ω2=4，幅值A2=1，初相位φ1=0；则222211()0.15721()1(0.54)A22()arctan()arctan(0.54)80.96o其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.1572*1=0.1572相位为：φ2－φ1=φ(ω1)→φ2=φ(ω1)+φ1=-80.96o其输出信号为：y2(t)=0.1572sin(4t-80.96o)可以看出，对于信号1sinxt，其幅值由1变为0.537,相位由0o变为-57.52o；对于信号2sin4xt，其幅值由1变为0.1572,相位由0o变为-80.96o；信号2sin4xt的幅值和相位变化大于信号1sinxt的幅值和相位的变化。3-31对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量M的数值为1.5，同时测得其周期为6.28s。设已知装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。答:由于静态增益为3，则max/31.5/30.5MM则22max110.215511ln0.5lnM从而，d222226.281.021110.2155dnT于是，2221.02()20.2151.021.02Hsss当n时，22222nn1111()2.32220.21554[1]4nA.;..n2n22()arctanarctan1121n3-32一种力传感器可作为二阶系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比为0.14，问使用该传感器作频率为500Hz和1000Hz正弦变化的外力测试时，其振幅和相位角各为多少?答:f=500Hz时，222222211()(500)1.5625500500[1](2)[1](2800800nnAfAffffo2250022800()(500)arctanarctan-16.02350011800nnffffff=1000Hz时，222222211()(1000)1.459910001000[1](2)[1](2800800nnAfAffff22100022800()(1000)arctanarctan31.8908100011800nnfffff第五章部分题目答案5-21已知直流电桥Rl=9725，R2=8820，R3=8550，R4=9875，若激励电压Ui=24V，试求输出电压Uo，若R4可调，试求电桥平衡时的R4值。答：1324oi12340.2774()()RRRRUURRRR(V)R4=R1*R3/R2=9427.3Ω。5-22选用电阻值R=100，灵敏度S=2.5的电阻应变片与阻值R=100的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V，当应变片应变为1000μ时，若要使输出电压大于10mV，则可采用何种接桥方式？计算输出电压值(设输出阻抗为无穷大)，并画出接线图。解：63//2.51000102.510dRRRRS而，33oi02.5102.5101025()iRUKUKUKKmVR，要使Uo大于10mV，则要求K>0.4。当为半桥单臂时，K=1/4=0.25；当为半桥双臂时，K=1/2=0.5；当为全桥时，K=1。因此应采用半桥双臂或全桥的接桥方式。.;..半桥双臂接法时，33oi02.5100.52.5101012.5()iRUKUKUmVR全桥法时，33oi02.51012.5101025()iRUKUKUmVR图略。5-23以阻值100，灵敏度S=2的电阻应变片与阻值100的固定电阻组成电桥，供桥电压为4V，并假定负载电阻无穷大，当应变片上的应变分别为1μ和1000μ时，半桥单臂、半桥双臂及全桥的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。解：1）应变为1με时，66//2110210dRRRRS半桥单臂时，输出电压：661ioi042102100.002()444RUUUmVR半桥双臂时，输出电压：66io042102100.004()222URUUmVR全桥时，输出电压：66o021021040.008()iiRUUUmVR2）应变为1000με时，63//2100010210dRRRRS半桥单臂时，输出电压：331ioi042102102()444RUUUmVR半桥双臂时，输出电压：33io042102104()222URUUmVR全桥时，输出电压：33o021021048()iiRUUUmVR半桥单臂、半桥双臂和全桥时，电桥的灵敏度分别为Ui/4,Ui/2和Ui，仅与输入电压有关。5-24设一滤波器的传递函数H(s)=10.00361s＋，(1)试求上、下截止频率；(2)画出其幅频特性示意图。解：滤波器传递函数符合低通滤波器的传递函数形式，因此，该滤波器为一低通滤波器。其中，0.0036。其下截止频率fc1=0Hz，上截止频率为：21144.209722cfgHz。图略。5-25如图5.38所示的周期性方波信号，让它通过一理想带通滤波器，该滤波器的增益为0dB，带宽B=30Hz，中心频率f0＝20Hz，试求滤波器输出波形的幅频谱及均值x。解:020lg0dBxAA，则0xAA，即滤波器的增益为1。方波的周期为：/21/24T，所以1/12T，0224T周期性方波信号的三角函数展开为：000411()(sinsin3sin5)35Aytttt带宽B=30Hz，中心频率f0＝20Hz，则120202ccfff，2130ccBff.;..解上述两式，则fc2=35Hz，fc1=5Hz。而0对于的频率为112fTHz，30对于的频率为：36fHz。因此，滤波器仅能使得y(t)的基波输出，而高于基波的谐波被全部衰减掉。故滤波器的输出为：4()sin24Aytt因此，输出波形的均值即为0。第六章部分题目答案6-16已知某信号的自相关函数(0)500cosπxR。试求：(1)该信号的均值x；(2)均方值2x；(3)自功率谱()xSf。解：(1)自相关函数满足cos2)(20xRx的形式，同时根据周期信号的自相关函数也是周期函数，则原信号（函数）为)sin()(0tXtx的形式，因此信号的均值为0。(2)当τ＝0时，自相关函数即为均方值，即500)0cos(500)0(222xxxxR(3)自功率谱)(jfSx即为自相关函数的频谱，而自相互函数为余弦函数，由)]()([21]2[cos00ffffftF则cos2)(20xRx的频率f=1/2，故)21(250)21(250)]21()21([2500]cos500[)(ffffFjfSx6-17求自相关函数20()ecos2(0)xRf的自谱密度函数，并画出它们的图形。解：在时延域，自相关函数)(xR为)0()(21ex和022cos)(fx两信号的乘积，因此，自相关函数的自谱密度函数为该两信号的卷积。由表2-4可知：)(1x的频谱为：fjjfXtueex221)()0)(()0()(1221)(2x的频谱为：)]()([21)(2cos)(00202ffffjfXfx所以，)(xR的自谱密度函数为：.;..202202022000002102)(44)()(44)()(221)(22121)]()([21*221)(*)()()0(2cos)(ffffjffffjffjffjfffffjjfXjfXjfSfeRxx)(1jfX、)(2jfX及)(jfSx的图形如下：f0)(1jfX21021f0f0f)(2jfX0410f0f)(jfSxf